点、直线、平面之间的位置关系.ppt

1、点、直线、平面之间的位置关系,一、主干知识 1.线面平行与垂直的判定定理、性质定理：,2.面面平行与垂直的判定定理、性质定理：,二、重要关系的转化 1.平行关系的转化：,2.垂直关系的转化： 线线垂直 线面垂直 面面垂直,判定定理 性质定理,判定定理 性质定理,1.(2013浙江高考)设m,n是两条不同的直线，,是两个不同的平面( ) A.若m,n,则mn B.若m,m,则 C.若mn,m,则n D.若m,则m 【解析】选C.A项，当m,n时，m,n可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；B项，当m,m时，,可能平行也可能相交，故错误;C项，当mn，m时，n,故正确;D项，当m,时，m可能与平

2、行，可能在内，也可能与相交，故错误，故选C.,2.(2013新课标全国卷)已知m,n为异面直线，m平面, n平面.直线l满足lm,ln,l ,l ,则( ) A.且l B.且l C.与相交，且交线垂直于l D.与相交，且交线平行于l,【解析】选D.根据所给的已知条件作图，如图所示.由图可知 与相交，且交线平行于l,故选D.,3.(2013济南模拟)已知两条直线a，b与两个平面，b，则下列命题中正确的是( ) 若a，则ab；若ab，则a； 若b，则；若，则b. A. B. C. D. 【解析】选A.根据线面垂直的性质可知正确.中，当ab时，也有可能为a，所以错误.中垂直于同一直线的两个平面平行，

3、所以正确.中的结论也有可能为b，所以错误.所以命题正确的有，选A.,4.(2013昆明模拟)若,是两个不同的平面，下列四个条 件：存在一条直线a，a,a；存在一个平面， ,；存在两条平行直线a,b,a,b,a, b；存在两条异面直线a,b,a,b,a,b. 其中可以是的充分条件的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【解析】选C.可以；,也有可能相交，所以不正确； ,也有可能相交，所以不正确；根据异面直线的性质 可知可以，所以可以是的充分条件的有2个，选C.,热点考向 1 空间位置关系命题真假的判断 【典例1】(1)已知m，n是两条不同直线，,是两个不同平面，给出四个命题： =m,

4、n,nm,则 m,m,则 m,n,mn,则 m,n,mn，则 其中正确的命题是( ) A. B. C. D.,(2)(2013济南模拟) 设m,n是空间两条直线，,是空间两个平面，则下列选项中不正确的是( ) A.当m时，“n”是“mn”的必要不充分条件 B.当m时，“m”是“”的充分不必要条件 C.当n时，“n”是“”成立的充要条件 D.当m时，“n”是“mn”的充分不必要条件,【解题探究】 (1)m,mn，则n与平面有怎样的位置关系？ 提示：n或n在平面内. (2)mn,m，则n与平面有怎样的位置关系? 提示：n或n在平面内.,【解析】(1)选B.由面面平行的判定定理知,正确,中由m,mn

5、知n或n在平面内,又n，从而,故正确,不正确，选B. (2)选A.对于选项A,当mn,m时n或n在平面内,故A不正确.,【方法总结】求解空间线面位置关系的组合判断题的两大思路 (1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理逐项判断. (2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定.,【变式训练】(2013杭州模拟)设l是直线，是两个不 同的平面( ) A.若l,l，则 B.若l，l，则 C.若,l,则l D.若, l,则l 【解析】选B.对于A：若l,l，则，可能相交,故 A错;对于B：若l，则平面内必存在一条

6、直线m与l平行， 则m，又m，故,从而B正确.对于C：若， l，则l可能在平面内，故C错.对于D：若，l， 则l可能与平行，故D错.,热点考向 2 平行关系的证明 【典例2】在如图所示的多面体ABCDE中， AB平面ACD，DE平面ACD，且AC=AD= CD=DE=2，AB=1. (1)请在线段CE上找到点F的位置，使得 恰有直线BF平面ACD，并证明. (2)求多面体ABCDE的体积.,【解题探究】 (1)证明BF平面ACD的两个关键： 由AB平面ACD，DE平面ACD可得到结论：_ 根据 及AB与DE的关系可联想到点F的位置是：_ _. (2)求多面体ABCDE体积的两个要点： 多面体A

7、BCDE是规则图形吗? 提示：多面体ABCDE是以点C为顶点,平面ABED为底面的四棱锥. 多面体ABCDE的高易求吗? 提示：ACD中AD边的中线长就是多面体ABCDE的高.,ABED,点F,是CE的中点,【解析】如图，(1)由已知AB平面ACD，DE平面ACD， 所以ABED， 设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点， 连接FH，AH，则FH 所以FH AB， 所以四边形ABFH是平行四边形， 所以BFAH， 又因为BF平面ACD，AH平面ACD，所以BF平面ACD.,(2)取AD中点G，连接CG.因为AB平面ACD, 所以CGAB，又 CGAD,ABAD=A,所以CG平面ABED,即C

8、G为四棱锥C-ABED的 高，求得 所以VC-ABED=,【互动探究】若本题条件不变，试求直线CE与平面ABED所成角 的正弦值. 【解析】连接EG，由本题(2)解析知CG平面ABED，所以CEG 即为直线CE与平面ABED所成的角，设为，在RtCEG中，有,【方法总结】 1.证明线线平行的常用方法 (1)利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行. (2)利用平行四边形进行转换. (3)利用三角形中位线定理证明. (4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明.,2.证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证明线线平行. (2)利用面面平行的性质定理，把证明

9、线面平行转化为证明面面平行. 3.证明面面平行的方法 证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行.,【变式备选】如图所示，已知六棱锥 P-ABCDEF的底面是正六边形，PA平 面ABC，AB=2， M是PA的中点. (1)求证：平面PCD平面MBE. (2)求四棱锥M-BCDE的体积.,【解析】(1)连接AD交BE于点G，连接MG，则点G是正六边形的中心，所以G是线段AD的中点. 因为M是PA的中点，所以MGPD. 因为PD平面MBE，MG平面MBE， 所以PD平面MBE. 因为DCBE,DC平面MB

10、E，BE平面MBE， 所以DC平面MBE. 因为PDDC=D, 所以平面PCD平面MBE.,(2)因为六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC， AB=2， M是PA的中点， 所以所求棱锥的高为 底面面积为 所以所求棱锥的体积为：,热点考向 3 垂直关系的证明 【典例3】(2013黄冈模拟)如图, 三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1B1B为 正方形,侧面BB1C1C为菱形,CBB1= 60,ABB1C. (1)求证:平面AA1B1B平面BB1C1C. (2)若AB=2,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.,【解题探究】 (1)根据条件和面面垂直的判定定理可知,要证平面AA1B

11、1B平 面BB1C1C,只需证明什么? 提示：只需证明AB平面BB1C1C. (2)求三棱柱ABC-A1B1C1体积的两个关键： 由平面AA1B1B平面BB1C1C可求得点C到平面AA1B1B的距离为 ，从而可求三棱锥 的体积为 . 根据 知, 三棱柱ABC-A1B1C1与三棱锥C-ABB1 的体积的关系是 .,【解析】(1)由侧面AA1B1B为正方形，知ABBB1. 又ABB1C，BB1B1CB1，所以AB平面BB1C1C， 又AB平面AA1B1B，所以平面AA1B1B平面BB1C1C. (2)由题意，CBCB1，设O是BB1的中点，连接CO，则COBB1. 由(1)知，CO平面AA1B1B

12、，且 连接AB1，则 因为 故三棱柱ABC-A1B1C1的体积,【方法总结】 1.证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直. (2)利用勾股定理逆定理. (3)利用线面垂直的性质，即要证明线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可.,2.证明线面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直. (2)利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证明面面垂直. (3)利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等.,3.证明面面垂直的方法 证明面面垂直常用面面垂

13、直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决.,【变式训练】(2013江西高考)如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中，ABCD，ADAB，AB=2，AD= AA1=3，E为CD上一点， DE=1，EC=3. (1)证明：BE平面BB1C1C. (2)求点B1到平面EA1C1的距离.,【解析】(1)过点B作CD的垂线交CD于点F，则 EF=AB-DE=1，FC=2. 在RtBFE中， 在RtCFB中， 在BEC中，因为BE2+BC2=9=EC2, 所以BEBC,又由BB1

14、平面ABCD得BEBB1, 又BB1BC=B,故BE平面BB1C1C. (2) 在RtA1D1C1中，,同理， 则 设点B1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1-EA1C1的体积为 从而,【典例】如图1，在RtABC中，C=90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图2.,(1)求证：DE平面A1CB. (2)求证：A1FBE. (3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由.,【解析】(1)因为D,E分别是AC,AB的中点, 所以DEBC, 又因为DE平面A1CB,BC平面A1CB,所以DE平面A1CB.

15、 (2)因为DEBC，ACBC,所以DEAC, 所以DEA1D,DECD.因为A1DCD=D,所以DE平面A1DC. 因为A1F平面A1DC,所以DEA1F. 又因为A1FCD，CDDE=D， 所以A1F平面BCDE, 因为BE平面BCDE,所以A1FBE.,(3)存在.取A1B的中点Q，A1C的中点P， 连接DP，PQ，QE. 则PQBC，所以PQDE. 由(2)知DE平面A1DC， 所以DEA1C，所以PQA1C. 因为A1D=DC,所以A1DC是等腰三角形. 又因为点P为A1C的中点，所以A1CPD. 因为PDPQ=P,所以A1C平面PQED， 即A1C平面DEQ.,【方法总结】 1.解

16、决折叠问题的关键点 (1)搞清翻折前后哪些量改变、哪些量不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口. (2)把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决.,2.求解探索性问题的一般步骤 (1)假设其存在，被探索的点一般为线段的中点、三等分、四等分点或垂足. (2)在假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾结论就否定假设.,转化与化归思想 解决立体几何中的探索性问题 【思想诠释】 1.主要类型：(1)对平行或垂直关系的探索.(2)对条件或结论不完备的开放性问题的探索. 2.解题思路：

17、首先假设其存在,然后在这个假设下推理论证,如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设,若推出了矛盾就否定假设.,3.注意事项：(1)解决此类问题的关键是通过条件与所求把要探索的问题确定下来. (2)在转化过程中要有理有据,不能凭空猜测.,【典例】 (12分)(2013西城模拟)如图，直三 棱柱ABC-A1B1C1中，ACBC,AC=BC=CC1 =2,M,N分别为AC，B1C1的中点. (1)求线段MN的长. (2)求证：MN平面ABB1A1. (3)线段CC1上是否存在点Q，使A1B平 面MNQ？说明理由.,【审题】分析信息，形成思路 (1)切入点:从证明AC平面BCC1B1入手. 关注点:

18、注意条件CC1平面ABC的应用. (2)切入点:根据M,N分别为AC,B1C1的中点,联想到三角形中位线,从而作出辅助线. 关注点:注意侧面BCC1B1是正方形. (3)切入点:从确定点Q的位置入手. 关注点:点Q的位置确定后,以此为条件进行证明.,【解题】规范步骤，水到渠成 (1)连接CN.因为ABC-A1B1C1是直三棱柱， 所以CC1平面ABC， 所以ACCC1 2分 因为ACBC， 所以AC平面BCC1B1. 因为MC=1， CN= 所以 4分,(2)取AB中点D，连接DM，DB1. 在ABC中，因为M为AC的中点，所以DMBC， 在矩 形B1BCC1中，因为N为B1C1的中点，所以B1NBC， 所以DMB1N，DM=B1N.所以四边形MDB1N为平行四边形，所以 MNDB1.7分