材料力学课件-扭转

1、1,第五章 扭转,Chapter Five,Torsion,2,本章内容小结,本章基本要求,5.1 圆轴扭转的应力与强度,5.2 圆轴扭转的变形与刚度,5.3 圆轴扭转的超静定问题,背景材料,5.4 矩形截面轴扭转,3,背 景 材 料,汽车传动轴,齿轮传动轴,4,背 景 材 料,机器中的传动轴,直升机的旋转轴,5,理解导出受扭圆轴横截面上切应力公式的方法。,掌握圆轴扭转时横截面上的切应力分布规律，并能熟练地进行圆轴扭转的强度和刚度的计算。,能进行简单的扭转超静定问题的分析计算。,了解矩形截面杆件扭转时最大切应力和变形的计算方法。,本 章 基 本 要 求, 横截面在扭转时始终保持是平面。, 横截

2、面上的半径在扭转时始终保持是直线。,6,m=Fd,1.直接计算,5.1.1 传动轴的外力偶矩,m,5.1 圆轴扭转的应力与强度,2.按输入功率和转速计算,电机每秒输入功,外力偶作功完成,轴转速n （r/min）,输出功率Pk （kW） 求：外力偶矩 m,Ps(马力）735.5N.m/s,7,8 kNm,画出以下外力偶矩作用轴的扭矩图（单位：kNm）。,3 kNm,6 kNm,动脑又动笔,从轴的扭转强度考虑， 这种布置合理？,如何布置更合理？,8,5.1.2 圆轴扭转时横截面上的应力,推导思路,几何关系 ( 平截面假设 ),物理关系 ( Hooke 定律 ),力学关系 ( 切应力对轴的合力矩即截

3、面上的扭矩 ),切应变与相对转角之间的关系,切应力与相对转角之间的关系,相对转角表达式及切应力表达式,9,切应力公式推导,几何关系 ( 平截面假设 ),在外表面处的切应变,在离轴心 r 处的切应变,物理关系 ( Hooke 定律 ), 是外表面沿轴线方向上的切应变。,d 是前后两个端面的相对转角。,10,11,切应力公式推导,力学关系,( 切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩 ),12,切应力在横截面上的分布规律,13,低碳钢试件： 沿横截面断开。,铸铁试件： 沿与轴线约成45的螺旋线断开。,5.1.3 圆轴扭转时斜截面上的应力,14,1. 点M的应力单元体如图(b)：,(a),(b),t,t,(

4、c),2. 斜截面上的应力； 取分离体如图(d)：,(d),5.1.3 圆轴扭转时斜截面上的应力,15,n,t,转角规定： 轴正向转至截面外法线,逆时针：为“+” 顺时针：为“”,由平衡方程：,解得：,5.1.3 圆轴扭转时斜截面上的应力,16, = 0, = 45, = 45, = 90,t,圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角 = 45的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。,5.1.3 圆轴扭转时斜截面上的应力,17,强度条件,重要数据,5.1.4 圆轴扭转的强度计算,薄壁管截面,对于等截面圆轴：,18,强度计算三方面：, 校核强度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷

5、：,强度条件,5.1.4 圆轴扭转的强度计算,对于等截面圆轴：,19,例 如图的轴的许用切应力为 60 MPa ， 校核强度。若将实心圆轴改为内外径之比为 0.7 的空心圆轴，在强度相等的条件下，求空心圆轴外径，并求两者的重量比。,轴是安全的。,（1）内力扭矩图：,强度相等,解,（2）求最大工作应力，并校核强度,即须使抗扭截面系数 Wp 相等,（3）等强度下的空心圆轴外径,20,例 如图的轴的许用切应力为 60 MPa ， 校核强度。若将实心圆轴改为内外径之比为 0.7 的空心圆轴，在强度相等的条件下，求空心圆轴外径，并求两者的重量比。,21,例 如图的轴的许用切应力为 60 MPa ， 校核

6、强度。若将实心圆轴改为内外径之比为 0.7 的空心圆轴，在强度相等的条件下，求空心圆轴外径，并求两者的重量比。,强度相等，使抗扭截面系数 相等,解,（3）等强度下的空心圆轴外径,实心轴,空心轴,取 D1 为 66 mm 。,（4）两者重量比,22,例5.3 图中结构由两段等截面圆轴构成。圆轴总长度为 L ，全长上作用着均布力偶矩 t 。材料许用切应力为 。要使圆轴重量为最轻，确定两段轴的长度 L1 和 L2 ，以及直径 d1 和 d2 。,分析,直径的确定必须满足强度条件。,L1 区段必须以 B 截面强度为准。,L2 区段必须以 C 截面强度为准。,L1 的大小制约了d1 的大小。,以 L1

7、为设计变量，将体积表达为L1 的函数。,扭矩图,23,例5.3 图中结构由两段等截面圆轴构成。圆轴总长度为 L ，全长上作用着均布力偶矩 t 。材料许用切应力为 。要使圆轴重量为最轻，确定两段轴的长度 L1 和 L2 ，以及直径 d1 和 d2 。,在 AB 段中，B 截面的扭矩最大,在 BC 段中，C 截面的扭矩最大,解,（1）按强度要求确定圆轴直径,24,25,轴的体积,要使轴的体积为最小，应有,解,（2）求使圆轴重量为最轻的圆轴长度,26,分析 圆轴横截面上只有切应力。,原则上切应力乘以微元面积并在指定区域上的积分构成其合力。,由于切应力方向在各处并不一致，因此不能直接积分。,应将切应力

8、往两个坐标轴方向分解，再分别求两个分量的积分。,例 设圆轴横截面上的扭矩为 T ，试求其四分之一截面上内力系的合力的大小、方向及作用点。,27,例 设圆轴横截面上的扭矩为 T ，试求其四分之一截面上内力系的合力的大小、方向及作用点。,水平方向和竖直方向分量为,水平方向合力为,解,28,29,竖直方向合力为,对 O 点取矩,总合力为,30,该区域是如何平衡的？,分析与讨论,前端面上应力是如何分布的 ？,顶面上有应力吗 ？,顶面上应力是如何分布的 ？,顶面上的应力合力是怎样的？,前后端面上的应力合力是怎样的？,试对上述各部分合力进行定量计算。,31,例 若密圈螺旋弹簧的平均半径 R 远大于簧丝直径

9、 d，且簧丝倾角小于 5，当轴向压力为 F 时，求簧丝中的最大切应力。,（1）忽略簧丝曲率和倾角 的影响，簧丝中的扭矩及切应力,（2）剪切剪力所引起的切应力可认为是平均分布在断面上,解,32,（4） 弹簧丝的强度条件:,（3）簧丝中的最大切应力精确值： （修正公式，考虑弹簧曲率及剪力的影响）,其中：,称为弹簧指数。,称为曲度系数。,33,圆轴扭转的刚度用两端面的相对转角来表示。,注意 式中 的单位是弧度。,5.2 圆轴扭转的变形与刚度,34,GIp：抗扭刚度 ( torsion stiffness ),单位长度相对转角,刚度条件,35,又 ，,例 若 = 70 MPa，求许用转矩。若端面 AB

10、 的相对转角与端面 BC 相对转角相等，求 L1 。,许用转矩 。,故 。,只需对右半段进行计算。,36,例 总长度为 2h 的钻杆有一半在泥土中。若泥土对于钻杆的阻力矩沿长度均匀分布，钻杆的抗扭刚度为 G IP ，求钻杆的上下端面之间的相对转角。,建立如图的坐标系。,下半段的扭矩,故下半段的相对转角,上半段的扭矩为 m，故上半段的相对转角,故上下端面之间的相对转角,37,例 如图的空心圆轴两截面间的相对转角为 0.4，弹性模量 E 为 210 GPa，求材料的泊松比。,由公式,可得,又有,故有,38,力学家与材料力学史,圆轴扭转的切应力公式是由 Coulomb 于 1784 年首先建立的。,

11、Coulomb 是法国物理学家、力学家。他在摩擦学、电磁学、粘性流体等方面有重要贡献。,Charles-Augustin de Coulomb ( 1736-1806 ),39,5.3 圆轴扭转的超静定问题,求解圆轴扭转的超静定问题的主要思路,在圆轴扭转的超静定问题中，仍然沿用平截面假设。,平衡条件：外力偶矩、不同区域的扭矩构成平衡关系。,物理条件：扭矩与转角之间的线性关系。,协调条件：不同区域的转角关系。,40,例 图中铜套与钢轴紧密结合。若 GCu 和 GSt 已知，求铜套与钢轴中的最大切应力。,平衡条件,物理条件,协调条件,41,42,例 图中铜套与钢轴紧密结合。若 GCu 和 GSt

12、已知，求铜套与钢轴中的最大切应力。,43,平衡条件,物理条件,协调条件,例 在如图的结构中，求两固定端的支反力偶矩。,设两端的支反力偶矩分别为 mA 和 mB,联立解得,44,分析与讨论,试画出该结构的扭矩图。,如果沿用扭矩的符号规定来定义角位移的正负符号，试画出角位移的图形。,转角与扭矩之间是什么关系？,结论 扭转中的外力偶矩 - 扭矩 - 角位移的关系可以与弯曲梁中的横向力 - 剪力 - 弯矩关系相比拟。,45,5.4 矩形截面轴扭转,1. 自由扭转和约束扭转,矩形截面轴自由扭转时不满足平截面假定。,但自由扭转时无轴向应变和轴向应力。,可以利用两端约束来强制满足平截面假定，但由此会产生轴向

13、应力。,46,分析与讨论,横截面上角点处扭转切应力的情况是怎样的？,由此可得到什么结论？,如果角点处存在着切应力，将会导致什么情况产生？,47,2. 矩形截面轴,角点上切应力必为零。, 与 h / b 有关，见有关数表, 与 h / b 有关，见有关数表,最大切应力出现在长边中点,短边中点切应力,轴两端面相对扭角,48,狭长矩形截面,最大切应力,两个端面的相对转角,单位长度上的相对转角,49,例 立柱横截面是长为 2b 、宽为 b 的矩形。两端转矩为 3 kN m，许用切应力为 70 MPa ，试确定尺寸 b 。若材料 G = 80 GPa ，根据所选定的尺寸确定单位长度的相对转角。,转矩在长

14、边中点引起最大切应力。,由 h / b = 2 查表得 = 0.246,取 b = 45 mm。,由 h / b = 2 查表得 = 0.229,50,例 正方形截面轴两端承受转矩而产生自由扭转。在强度相同长度相等的条件下计算圆轴与正方形截面轴的重量比。,转矩 T 在矩形边中点引起最大切应力。,由正方形 h / b = 1 查表得 = 0.208,圆轴,两者重量比即横截面积之比：,51,本 章 内 容 小 结,最大切应力,切应力在横截面上的分布规律,当圆轴各段的轴径和扭矩互不相同时，应综合考虑以确定最大切应力所在的截面。,实心,空心,52,适用于变截面或有分布力偶矩作用的情况。,适用于等截面且无分布力偶矩作用的情况。,分段等截面圆轴应分段求出相对转角再求和。,单位长度上的相对转角,扭转超静定问题,平衡方程 物理方程 协调