概率论与数理统计教案 第讲 大数定律及中心极限定理

1、概率论与数理统计教案 第11讲 大数定律及中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象. 研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种: 与大数定律中心极限定理定理1 (契比雪夫大数定律的特殊情况) 设 X1, X2, 是相互独立的随机变量序列，它们具有相同的数学期望和方差，即 E(Xi)=? ， D(Xi)=? 2 ，i=1,2, 则对任意的? ?0，有

2、契比雪夫 证明见书p145契比雪夫大数定律表明，当n充分大时，与 ? 偏差很小的概率接近于1. 契比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述当 n 很大时，X1, , Xn 的算术平均值在概率意义下接近于它们公共的均值? 设 Y1, Y2, Yn , 是随机变量序列，a 是一个常数。若对任意的? ?0，有则称序列Y1, Y2, Yn , 依概率收敛于常数a . 记为依概率收敛有什么性质呢?依概率收敛于有以下性质若又 g(x, y) 设在点 (a, b) 连续，则这样, 上述 定理1又可叙述为:定理1 设 X1, X2, 是相互独立的随机变量序列，它们具有相同的数学期望和方差，即 E(Xi)=?

3、 ， D(Xi)=? 2 ，i=1,2, 则序列依概率收敛于 ? ，即定理2（辛钦大数定律） 设X1, X2, 是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)= ? ，i=1, 2, 则对任给? >0,辛钦辛钦大数定律的证明从略 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.定理3（伯努利大数定律） 设Sn是n重伯努利试验中事件A发生的 次数，p 是一次试验中事件A发生的概率，则对任给的> 0，或 伯努利大数定律的证明见书p146 伯努利大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率Sn/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小. 伯努利大数定律提供了通过试验来确定

4、事件概率的方法. 中心极限定理的客观背景 在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的. 而其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的。 该结论得益于高斯对测量误差分布的研究.这种随机变量往往近似地服从正态分布。例如：考虑炮弹的射击误差。设靶心为坐标原点，弹着点的坐标为( X, Y )， X, Y 分别表示弹着点与靶心的横向和纵向误差。我们来看造成误差的原因是什么？炮身在每次射击后，因震动而造成的微小偏差每发炮弹内炸药的数量和质量上的微小差异而引起的误差每发炮弹外形上的细小差别引起空气阻力不同，由此出现的误差 而误差X（或Y）是这许多彼此间相互独立的随机

5、小误差的总和，即等等许多原因，每种原因引起一个微小的误差，有的为正，有的为负，都是随机的.一般认为它服从正态分布。 以下我们从数学上来研究这种随机变量之和的分布. 为此, 考虑这种随机变量之和的标准化变量.即考虑取值的概率. 可以证明，满足一定的条件时，上述和的分布函数的极限是标准正态分布. 定理1（列维一林德伯格(LevyLindberg)）设X1, X2 , 是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= >0 ，i=1,2,，则(证明略)当 n 较大时近似服从正态分布 N(0,1)另外，利用该定理，当 n 较大时近似服从正态分布 N(n? , n? 2)特别地近似服从正

6、态分布 N(? , ? 2/n) 这表明，当 n 较大时，可以用正态分布N(? , ? 2/n)近似计算n个相互独立、同分布随机变量的算术平均值有关事件的概率定理2 (棣莫佛拉普拉斯定理） 定理表明，当 n 较大，0<p<1时，可以用正态分布 N(np,np(1-p)近似二项分布. 设随机变量 服从参数n, p(0<p<1)的二项分布，则对任意x，有 (证明见书p150) 例 1 见书p151例1 例 2 见书p151例2例 3 见书p152例3对独立但是不同分布的随机变量序列的场合，有如下中心极限定理。定理3（Liapunov定理）见书 p149这一讲我们介绍了中心极

7、限定理 中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.（第五章到此结束） 下面讲第四，五章的习题课作业：第四章 15，28第五章 1，3，6，7先看一看 第四章的第 3,14 题.1设十只同种电器元件中有两件废品，装配仪器时，从这批元件中任取一只，若是废品，则扔掉重新任取一只，若仍是废品，则再扔掉还取一只。求：在取到正品之前，已取出的废品数X的概率分布，数学期望及方差。2设随机变量X与Y相互独立，且XN(1,2)，YN(0,1)，求Z=2X-Y+3的概率密度。3.已知随机

8、变量X的概率密度为其中常数a>0, >0未知，且知E(X)=1。求常数a, 。 4. 设X，Y是两个互相独立且均服从正态分布 的随机变量，求5.已知随机变量X与Y分别服从 和 , 且X与Y的相关系数 ，设 (1)求Z的数学期望E(Z)和方差D(Z)；(2)求X与Z的相关系数；(3)问X与Z是否相互独立？为什么？6现有n个袋子，每袋装有a只白球和b只黑球(a>0，b>0)，先从第一个袋中摸出一球，记下颜色后就把它放入第二个袋中，照这种办法依次摸下去，最后从第n个袋中摸出一球，并记下颜色。若在这 n次摸球中所得的白球总数为 ，求E( )。 7袋中有N个球，其中白球数X是随机

9、变量，且知其数学期望E(X)=n，(n ?0N)。今从袋中随机摸一球，求获得白球的概率。8袋中有N个球，其中白球数X是随机变量，且知其数学期望E(X)= n，方差D（X）= ( n ?0N)。今从袋中一次摸两球，求这两球恰有一白球的概率。9某厂家的自动生产线，生产一件正品的概率为p (0<p<1)，生产一件次品的概率为q=1-p。生产一件产品的成本为c元，正品的价格为s元，次品不能出售。这样，厂家生产一件正品获利sc元，生产一件次品亏损c元（假定每个产品的生产过程是相互独立的）。若生产了N件产品，问厂家所获利润的期望值是多少？10已知随机变量(X,Y)求：E(X)，E(XY)，P(X<Y)，又问X与Y是否相关？12设随机变量X与Y相互独立，X服从标准正态分布，Y服从参数 =3的泊松分布。令U=X，V= X+bY，求常数b使D（V）=1，且在这种情况下，计算U和V的相关系数 。13设随机变量X在0, 2上服从均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，且X与Y相互独立