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文档简介

1、Getschgorin(盖尔)圆盘定理,第1页 共16页,1、本次课的主要内容及目标,（一）掌握用矩阵的元素来确定A的特征值的 分布区域。 （二）理解Gerschgorin的定义1、2，推论及定理1、2、4。 （三）了解特征值的隔离方法,第2页 共16页,定义1 对方阵 ，称,为矩阵 的行盖尔（Gerschgorin）圆。称并集 为矩阵 的行盖尔（Gerschgorin）区域。这里称盖尔圆的半径为,类似地，可定义矩阵 的列盖尔圆。,第3页 共16页,定理1（Gerschgorin圆盘定理1）,设 ， 则A的任一特征值,其中 为矩阵A的盖尔区域,证明,第4页 共16页,定理1的证明：,设 有特征

2、对 ，这里 ，则,其中 又 可知：当i=k时,有 从而 即证,第5页 共16页,例 1 矩阵,的三个行Gerschgorin圆分别是：,提问：有没有对A的特征值更精确的估计方法？,第6页 共16页,应用盖尔圆定理估计矩阵的特征值时，往往希望每个盖尔圆中只含它的一个特征值，当 的若干个盖尔圆相交时，通常用隔离的方法将特征值隔离。,第7页 共16页,因为相似变换不改变特征值，为了得到特征值的更加准确的估计，Gerschgorin发现可以将矩阵A变换为其相似矩阵 ，以减少Gerschgorin圆的半径，达到隔离 Gerschgorin 圆的目的。为计算方便，常常取 为对角矩阵。,思路：,第8页 共1

3、6页,特征值的隔离,选取正数d1,d2,.dn,并设对角矩阵 构造与A相似的矩阵B： 则A与B有相同的特征值。适当选取正数 ，有可能使B的每一个盖尔圆包含A的一个特征值，选取正数的一般原则是：欲使A的第i个盖尔圆缩小，可取 1，其余取1，此时B的其余盖尔圆适量缩小；,第9页 共16页,例 2 矩阵,经过对角相似变换 后，得,第10页 共16页,三个行Gerschgorin圆分别收缩为：,第11页 共16页,定理1只说明了矩阵A的特征值均在其全部盖尔圆的并集中，而未明确在哪个连通部分中有几个特征值，为此，需下面的定理：,定理2 （Gerschgorin）对方阵,（1）矩阵 的特征值都位于其行盖尔区域内；,（2）若矩阵 有 个盖尔圆构成的并集 是连通区域，并且与其余 个盖尔圆均不相交，则 中恰好有 的 个特征值。,推论3、4P138,第12页 共16页,定义2 对方阵 ，如果,则称矩阵 为按行对角占优矩阵。如果,则称矩阵 为按行严格对角占优矩阵。,第13页 共16页,定理4 设方阵 为行（或列）严格对角占优的，则,（1）A为可逆矩阵，且 这里,证明P140,第15页 共16页,（2）若A的所有主对角元均为正数，则A的所有特征值都有正实部；,（3）若A为Hermite阵，且A的所有主对角元都是正数，则A的所有特征值均为正数。,证明P141,证明,第16页 共

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