工程热力学--基本方程组的数值求解-1

1、基本方程组的数值求解,通用控制方程：,离散代数方程：,SIMPLE(解压力耦合方程的半隐式法) 关于的控制方程系数中有对流项（速度） 为此解其他标量方程前需要获得流场,需要首先求解动量方程 对于不可压流体,压力没有明显的方程,但压力是驱动流动的动力,其速度要满足质量方程 因此,质量方程称为压力场是否正确的校验方程,波形压力场 由于压力只出现一个梯度项,导致满足控制方程的压力场会有无限多个,波形速度场 对于质量方程,由于是梯度,也会出现上述问题,交错网格 速度分量存储于控制容积的边界上 其他变量存储于控制容积网格点上,交错网格下的动量方程离散 假设一个压力场P*,则可以求出速度场 则该速度场要满

2、足质量方程,压力修正,压力和速度修正 假设正确压力为: P为压力修正量,次要影响，可忽略相邻速度修正值所引起，为速度修正的间接影响,求出正确压力 为什么不直接利用压力 和速度 去开始下一次迭代，而必须要求解速度修正值？,这是由于 不满足连续性方程，如果用 去确定新的系数并开始下一次的迭代，会影响迭代收敛速度，并且会使代数方程组前的系数关系 得不到保证。,压力校正方程 对于连续性方程: 其积分方程为: 将速度修正方程带入,压力校正方程,SIMPLE算法,1、假定一个速度分布，记为 ，以此计算动量离散方程中系数及常数项；,2、假定一个初始压力场 ；,3、依次求解动量方程，得到 ；,4、求解压力修正

3、方程，得到压力修正值 ；,5、根据压力修正值 ，得到 和 ；,6、利用改进后的速度场求解其它与速度场耦合的变量；,7、利用改进后的速度场和压力场作为下一次迭代计算的初值，重复上述步骤，直到获得收敛解。,SIMPLE算法,四、差分格式,1差分方程的要求 在计算数学中，为评价差分格式，提出了相容性、稳定性、耗散性、色散性等原则，并发展了一系列的分析方法 为了容易理解，这里从物理的真实性、收敛性及解的精度几方面进行讨论 差分方程可以写为 (5) 式中，取和号下的指数nb表示P点周围的结点。对一维问题，是两项相加，二维问题是四项相加，余此类推。,1）物理上的真实性,差分方程的系数要同号：上述差分方程中

4、，Bnb和BP要同号 在控制面上，通量要保持一致：在计算两个控制体的通量时，要保证在同一面元上有相同的表示式，不然的话，在这个面元上就得引进一个小的源或汇，以便保证参数总的守恒。,2）迭代求解的收敛性,对于非线性方程组的求解，目前还没有成熟的理论，可借用线性代数方程组的原则对差分方程进行一些限制。斯卡巴勒（Scarborough）指出： 所有结点的差分方程，其系数之和需满足 （6） 至少有一个结点，系数之和满足 （7） 对于非线性代数方程，上述条件是充分的，但不一定是必要的,3）解的精确性,要使最后求得的结点与实验符合，除了合理安排差分网格外，恰当地选择差分格式也是重要的因素之一。,2对流项和扩散项的差分,很多差分格式的系数都与参数 、 的比值Peclet数 有关 数表示了对流与扩散作用的相对大小 当 数的绝对值很大时，导热或扩散的作用就可以忽略。这时，对流的作用就把流动上游的信息一直带到下游，而通过扩散向上游传递的下游