高三数学教案函数的和、差、积、商的导数(1)

1、课题： 3 3 函数的和、差、积、商的导数(1)教学目的：1. 理解两个函数的和 ( 或差 ) 的导数法则，学会用法则求一些函数的导数2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数教学重点： 用定义推导函数的和、差、积的求导法则教学难点： 函数的积的求导法则的推导授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、复习引入：1.导数的定义： 设函数 yf ( x) 在 xx0 处附近有定义，如果x0 时，y 与x 的比y（也叫函数的平均变化率）有极限即y 无限趋近于某个常数，xx我们把这个极限值叫做函数y f (x) 在 xx0 处的 导数 ，记作

2、y/x x0，即f / ( x0 )limf (x0x)f (x0 )x 0x2. 导数的几何意义： 是曲线 y f (x) 上点（ x0 , f ( x0 ) ）处的切线的斜率因此，如果 yf ( x) 在点 x0 可导，则曲线 yf (x) 在点（ x0 , f (x0 ) ）处的切线方程为 yf (x0 ) f / ( x0 )( x x0 )3. 导函数 ( 导数 ): 如果函数 y f (x) 在开区间 (a, b) 内的每点处都有导数，此时对于每一个 x(a,b) ，都对应着一个确定的导数f / (x) ，从而构成了一个新的函数 f / (x) ,称这个函数 f / (x) 为函数

3、 yf ( x) 在开区间内的 导函数 ，简称导数 ，4.可导 : 如果函数yf (x) 在开区间 ( a,b) 内每一点都有导数，则称函数yf (x) 在开区间 ( a, b) 内可导第 1页共 5页5. 可导与连续的关系： 如果函数 y=f(x)在点 x0 处可导， 那么函数 y=f(x)在点x0 处连续， 反之不成立 . 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件 .6. 求函数 y f (x) 的导数的一般方法 ：（ 1）求函数的改变量yf ( xx)f ( x)（ 2）求平均变化率yf ( xx)f ( x)xxy（ 3）取极限，得导数y / f (x)limx 0x7

4、. 常见函数的导数公式：C0 ； ( x n )nx n 1 ； (sin x)cos x ； (cos x)sin x二、讲解新课：法则 1两个函数的和 ( 或差 ) 的导数，等于这两个函数的导数的和(或差 )，即(uv)uv证明：令 yf ( x)u(x)v( x) ，yu( xx)v( xx) u( x)v(x) u( xx)u( x)v(xx)v( x)uv ，yuv ，xxxlimylimuvlimuvxxxxlimx 0x 0x 0x 0 x即u(x) ()u ( )v ()v xxx法则 2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导

5、数，即(uv)u vuv证明：令 yf ( x)u(x)v( x) ，则yu( xx) v( xx) - u( x)v(x)u( xx)v(xx) - u( x) v(xx) + u(x)v(xx) -u( x)v( x) ，第 2页共 5页yu( xx) u( x) v(xx) + u(x) v( xx)v(x)xxx因为 v( x) 在点 x 处可导，所以它在点x处连续，于是当x0时，v( xx)v(x) ，从而limylimu( xx)u( x)v(xx) +u( x)limxxx 0x 0x 0v( xx)v( x)xu ( x)v( x)u( x)v (x) ，即y(uv)u vuv

6、 说明： (uv)u v ，(uv)uv ；(Cu) C uCu 0Cu Cu 常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数两个可导函数的和、差、积一定可导；两个不可导函数和、差、积不一定不可导三、讲解范例：例 1 求 y=x3+sin x 的导数 .解： y =( x3+sin x) =( x3) +(sin x) =3x2+cos x 例 2 求 y=x4x2 x+3 的导数 .解： y =( x4 x2 x+3) =( x4) ( x2) x +3 =4x3 2x 1，例 3 求 y2x33x25x4 的导数解：y3x26x 5例 4 求 y(2 x23)(3 x2)的导数解：y( 2

7、x23) (3x2)(2 x23)(3x2)4x(3x 2) (2x 23) 318 x28x 9例 5 y=3x2+xcos x，求导数 y .22解： y =(3 x +xcos x) =(3 x ) +( xcos x) =3 2x+x cos x+x(cos x) =6x+cosx+xsin x例 6 y=5x10sin x 2x cos x9，求 y .解： y =(5 x10sin x 2x cos x 9) =(5 x10sin x) (2x cos x) 9=5( x10) sin x+5x10(sin x) 2(x ) cos x+2x (cos x) 0第 3页共 5页11

8、=5 10x9sin x+5x10 cosx ( 2 1 x 2 cos x 2 x sin x)2=50x9sin x+5x10cos x 1cos x+2x sin xx=(50 x9+2 x )sin x+(5 x10 1)cos xx四、课堂练习：1. 求函数的导数 .(1)y=2 x3+3x2 5x+4解： (2 x3+3x2-5 x+4) =(2 x3) +(3 x2) -(5 x) +4 =2 3x2+32x-5=6 x2+6x-5(2) y=sin x x+1解： y =(sin x x+1) =(sin x) x +1 =cosx 1(3) y=(3 x2+1)(2 x)解：

9、 y =(3 x2+1)(2 x) =(3 x2+1) (2 x)+(3 x2+1)(2 x) 22=3 2x(2 x)+(3 x +1)( 1)= 9x +12x 1(4) y=(1+ x2)cos x解： y =(1+ x2)cos x =(1+ x2) cos x+(1+ x2)(cos x) =2 cosx+(1+x2)( sinx)=2xcosx(1+x2)sinxx2. 填空：(1) (3 x2+1)(4 x2 3) =( )(4x2 3)+(3 x2+1)( )解： (3 x2+1)(4 x2 3) =(3 x2+1) (4 x23)+(3 x2+1)(4 x2 3) =3 2x(4 x2 3)+(3 x2+1)(4 2x)=(6 x)(4 x2 3)+(3 x2+1)(8 x)(2)(x3sinx) =( )x2sin+ 3( )x x解： ( x3sin x) =( x3) sin x+x3(sinx) =(3) x2sin x+x2(cos x)3. 判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正. (3+ x2)(2 x3) =2x(2 x3)+3 x2 (3+ x2)解：不正确 . (3+ x) 2(2 x3) =(3+ x2) (2 x3) (3 x2)(2 x3) =2