专题复习--一元二次方程及应用讲座.ppt

1、一元二次方程及应用,课题,学习目标,学习目标,了解一元二次方程及相关概念，会用适当的方法 解一元二次方程，能以一元二次方程为工具解决一些 简单的实际问题。,知识回顾,一元二次方程的概念,知识回顾,只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程.,一元二次方程的一般形式,ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a0）,a为二次项系数,b为一次项系数,二次项系数a为什么不等于0呢？,判别一个方程是一元二次方程的重要条件！,解法,一元二次方程的解法,当b2-4ac0时，方程有两个不相等的实数根； 当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2-4ac0时，方程没有实数根.

2、,最常用的方法是因式分解法； 最通用的方法是公式法； 最具有局限性的方法是直接开平方法； 最繁琐的方法是配方法.,比较,用一元二次方程解决问题,实际问题,数学问题,数学模型（一元二次方程）,检验,类型,思路,（1）面积（体积）问题； （2）增长率问题； （3）经济问题； （4）运动问题； ,（1）审（2）设（3）列 （4）解（5）验（6）答,步骤,典型问题一：概念类问题,典型问题,类型一：概念类问题,分析：根据概念中的三个要素可知方程（2）不是整式方程，方程（3）中含x3项，方程（4）含有x、y两个未知数。,D,关于x的方程（m+3)x|m|-1-2x+4=0是一元二次方程，则m= .,分析：

3、解决此类问题的关键是抓住未知数项的最高次幂是2次，同时注意二次项系数不为0的限制。,解：由题意得： |m|-1=2且m+30,解得 m=3,3,点评：解答此类问题的关键是把握一元二次方程的三个要素，即一是整式方程；二是方程中只含有一个未知数；三是合并后含有未知数的项的最高次幂是二次。,例2,典型问题,A,反馈练习,反馈练习1,1.下列方程是一元二次方程的是（ ）,2.若关于x的方程 是一元二次方程，则a= 。,点拨：根据一元二次方程的概念容易判别B与D选项是错误的，C选项经化简后的方程为7x=0，显然不是一元二次方程.,点拨：由题意知a2-2=2且a-20. 解得：a=-2,-2,典型问题二:

4、解法类（解方程）,类型二：解法类问题（解方程）,分析：利用配方法解方程的实质就是利用完全平方公式将方程的一边变形为某个整式的平方，另一边为常数，再利用直接开平方法解方程.,解法1：化二次项系数为1,解法2：方程两边同乘以8,加上一次项系数一半的平方,典型问题,用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0的关键是将方程变形为（kx+m)2=n的形式，一般来说有两条途径：一是方程两边同除以a，二是方程两边同乘以4a.,点评,ax2+bx+c=04a2X2+4abx=-4ac4a2X2+4abx+b2=b2-4ac(2ax+b)2=b2-4ac,变形过程简洁明了，利于配方，更容易推导一元二次方程的求根

5、公式.,（1） 2（x-1)2=32 （2） -3X2+4x=2,（1）解法一：（x-1)2=16 x-1=4 x1=5,X2=-3,归纳：当方程经过简单的变形后化为(X+h)2=k(k0)时,一般使用开平方法.,解法二：（x-1)2-16=0 （x-1+4）（x-1-4)=0 x-5=0或x+3=0 x1=5,X2=-3,归纳：当方程经过简单的变形后一边为0，另一边易于分解成两个一次式的积，一般使用因式分解法.,典型问题,(2) 3x2+4x=2,解：原方程可变形为 3x2+4x-2=0,a=3,b=4,c=-2 b2-4ac=42+43（-2）=400,根的判别式b2-4ac的值是判断一元

6、二次方程根情况的重要方法.,反馈练习2,反馈练习,请用四种方法解方程：（2x-3)2=x2,解,解法一（因式分解法）： （2x-3)2-x2=0 (2x-3+x)(2x-3-x)=0 (3x-3)(x-3)=0 x1=1,x2=3,解法二（直接开平方法）： 2x-3 =x或2x-3 =-x x1=1,x2=3,解法三（公式法）： 原方程可化为x2-4x+3=0 b2-4ac=4,代入公式 x1=1,x2=3,解法四（配方法）： 原方程可化为x2-4x=-3 x2-4x+4=-3+4 (x-2)2=1 x-2=1 x1=1,x2=3,典型问题二:解法类（判别式）,典型问题,类型二：解法类问题（判

7、别式）,分析：应用判别式可不解方程直接判断方程根的情况.,解：由方程知：a=3,b=2,c=-9 b2-4ac=22-43（-9）=1120,原方程有两个不相等的实数根.,点评：一元二次方程根的判别式是一元二次方程根的晴雨表。,解：根据题意，得（-4）2-42m2 m的取值范围是m2.,点拨：由题意知（-4）2-42m0且m0,解得m2且m0,类型三：应用类问题（面积问题）,典型问题三:应用类（面积问题）,分析：本题的关键是用设出的未知数表示出宽度与高度，再根据面积为2m2，列出方程.,解：设窗框的宽度BC=xm，则高度AB=,根据题意得：,解得：,检验：,答：窗框的宽度为1m.,点评：（1）

8、解题步骤；（2）不可忽略题中的限制条件.,典型问题,要求：只需要列出方程.,变式练习1,变式1：用7m长的铝合金改做做成透光面积为2 m2的如左图所示形状的窗框，若窗框的宽（BC）的长为xm,求x的值.（铝合金的宽度忽略不计，3）,点拨：半圆的弧长=x1.5x AB=(7-3.5x)2,变式练习,A,C,B,D,变式2：在长为40m，宽为30m的矩形绿地内铺设三条宽度相等的甬道，使其中两条与AB平行，一条与BC边平行，使得绿化面积为750m2，求这条人行道的宽度？,点拨：设甬道的宽度为xm。,方法1：40 x+230 x-2x2=4030-750,方法2：（40-2x）（30-x)=750,解

9、得：x1=5,x2=45(不合题意，舍去）,答：这条人行道的宽度为5m.,典型例题三:应用类（增长率问题）,类型三：应用类问题（增长率问题）,10月份 25000(1+x)元,10月份 25000(1+x)2元,分析,根据题意，得 25000（1+x)2=36000 即25（1+x)2=36 解这个方程，得 x1=0.2,x2=-2.2(不合题意，舍去） 答：平均每月增长率为20%.,X2=-2.2为什么要舍去呢？,因为9月份利润：25000（1-2.2）0，所以x=-2.2舍去,典型问题,解：设平均每月的增长率为x.,点评,1.基数a、增长后总量b、增长率x之间的关系 b=a(1+x),2.

10、检验是列方程解应用题不可缺少的步骤,既要检验是否为所列方程的根,又要检验数学问题的解是否符合题意.如本题中所求的x2是方程的解，但不合题意，同时也不能认为增长率就是正数.,变式1 ：某服装原价为每件80元，经过两次降价，现在的售价为51.2元，求平均每次降价的百分率？（列出方程）,变式练习2,解：设平均每次降价的百分率为x. 由题意得 80（1-x)2=51.2,点评：基数a、降价后总量b、降价的百分数x之间的关系 b=a(1-x),变式练习,变式2：某产品的生产成本为1000元，进过两次改进技术后该产品的成本为720元，若第一次改进技术成本降低的百分率是第二次的2倍，求第二次成本降低的百分率

11、？,第一次改进技术 1000(1-2x)元,第二次改进技术 1000(1-2x)（1-x)元,分析,则第一次成本降价的百分率为2x. 由题意得 1000（1-2x)(1-x)=720 解得：x1=0.1,x2=1.4(不合题意，舍去） 答：第二次成本降价的百分率为10%.,解：设第二次成本降价的百分率为x，,典型例题三:应用类（经济问题）,类型三：应用类问题（经济问题）,分析,设这种衬衫售价应定为x元.,单位化 每件提价1元，其销售量就减少20件,10,x-50,12000,8000,800,800-20(x-60),典型问题,解：设这种衬衫的售价为x元. 根据题意，得 （x-50)800-2

12、0(x-60)=12000 (x-70)(x-80)=0 x1=70,x2=80 经检验x1=70,x2=80是方程的解，因为使顾客获得更多的优惠，所以x2=80不符合题意，应舍去. 答：这种衬衫的定价应定为70元.,点评： 1.解决此类问题的关键是将相关条件单位化； 2.要理解问题中隐含条件，对所求问题的解进行适当的取舍.,变式 ：某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台

13、冰箱应降价多少元？,变式练习3,点拨,设每台冰箱应降价x元.,400,400-x,4800,3200,8,x1=200， x2=100(不合题意，舍去）,变式练习,典型例题三:应用类（运动问题）,类型三：应用类问题（运动问题）,如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动.经过多长时间P、Q之间的距离是10cm？,例10,E,E,PE=16-3x-2x,PE=3x+2x-16,典型问题,解：经过xs后，P、Q两点之间的距离是10cm.,根据题意，得：(16-2x-3x)2+62=102