高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质作业布置讲解苏教版选修1

1、最新教学推荐2.3.2双曲线的几何性质 基础达标 1x2y22x2y21已知双曲线 C： a2 b21( a0， b0) 与双曲线 C： 4 16 1 有相同的渐近线，且C1 的右焦点为 F(5 ，0) ，则 a _， b _.x2y2b22解析：双曲线4 16 1 的渐近线为 y2x，则 a 2，即 b 2a，又 c5，a b c2，所以 a 1， b 2.答案： 1 22双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为 (0,2)，则双曲线的标准方程是_解析：由题意得2a 2b 22 c，即 a b2 c，又因为 a 2，所以 b2c 2，所以c2a2b2 424 ( 2c

2、2)2，即c2 42c 80，所以c 2 2， 2，所求的双曲bby2x2线的标准方程是4 4 1.y2x2答案： 1443已知双曲线C经过点 (1,1)，它的一条渐近线方程为y3x，则双曲线 C的标准方程是 _y2 3x2 ( 0) ，将点 (1,1)解析：设双曲线的方程为代入可得 2，故双曲线C的标准方程是x2y22 2 1.3x2y2答案： 2 2 13x2y24已知双曲线 9 16 1 的右顶点为 A，右焦点为 F. 过点 F 作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点，则的面积为 _BAFB解析：由题意求出双曲线中3， 4， 5，则双曲线渐近线方程为y 4，不妨abc3x4设直线

3、 BF斜率为 3，可求出直线BF的方程为4x 3y 200，将式代入双曲线方程解32113232得 yB 15，则 S AFB2AF|yB| 2( c a) 15 15.32答案：155已知双曲线x2y222a2 2 1( a0，b0) 的两条渐近线均和圆C：x y 6x 5 0 相切， 且b双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为 _解析：双曲线的渐近线方程为ay 0 和bx 0，圆心为 (3,0)，半径r2. 由圆|3 b|bxay心到直线的距离为r 22C的圆心，所以2 2 2，所以 4a 5b ，又双曲线的右焦点为圆a b2222x2y2c 3，即 9 a b ， a 5， b

4、4.故所求双曲线的方程为5 4 1.1最新教学推荐x2y2答案： 5 4 1226如图，双曲线 xy22 1(a，0) 的两顶点为 1， 2，虚轴两端点为1， 2，两焦点abbAAB BF B F B ，切点分别为A， B， C，D. 则为 F ， F . 若以 A A 为直径的圆内切于菱形12121122(1) 双曲线的离心率e _；S1(2) 菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD的面积 S2 的比值 S2 _.解析： (1)由题意可得a b2 c2 bc， a4 3a2c2 c4 0， e4 3e2 1 0， e2 3 51 5.2， e2bc12bc2bc22Sb c(

5、2) 设 sin 22， cos 22，24 2sin cos 2bc2a2b cb cSa4a b2 c22 1 2 5 e 2 2 .1525答案： (1)(2)22x2y27已知 F1、 F2 是双曲线 a2 b2 1( a0， b0) 的左、右焦点，过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线的左支交于 A， B 两点，若 ABF2 是正三角形，试求该双曲线的离心率1解：由 ABF2 是正三角形，则在Rt AF1F2 中，有 AF2F130， AF1 2AF2，又AF2AF1 2a， AF2 4a， AF1 2a，又 F1F2 2c，又在 Rt中有2222221 211 22，即 4a 4

6、 16， 3.AFFAF F FAFcaex2y28设双曲线 a2 b2 1( a1，b0) 的焦距为2c，直线 l过 ( a, 0) 、(0 ，b) 两点，且点 (1,0)到直线 l 的距离与点 ( 1,0) 到直线 l 的距离之和 s 4c，求双曲线的离心率e 的取值范围5解：直线l过 (a,0) 、 (0 ， ) 两点，得到直线方程为bxay 0.babab由点到直线的距离公式，且a1，得点 (1,0)到直线 l的距离为 d a2 b2，1ab4242ab同理得到点 ( 1,0)到直线 l 的距离为 d2a2 b2，由 s 5c 得到 c 5c . 将 bc2 a2 代入式的平方，整理得

7、4c4 25a2c2 25a40，4c22两边同除以 a 后令 a2 x，得到4x 25x250，2最新教学推荐解得5 x5，4c5又 e a x ，故 2 e5. 能力提升 1设直线 l 过双曲线 C的一个焦点， 且与 C的一条对称轴垂直， l与 C交于 A，B两点，AB为 C的实轴长的2 倍，则 C的离心率为 _x2y2解析：设双曲线的标准方程为a2 b2 1( a0，b0) ，由于直线 l 过双曲线的焦点且与对x2y222c2b4称轴垂直，因此直线l 的方程为 x c 或 x c，代入 a2 b2 1 得 y ba2 1a2， y2 2b2 b ，故，aABa2b2b2依题意 a 4a，

8、 a2 2，c2 a22a2e 1 2， e 3.答案：3x2y2y222已知椭圆 C1： a2 b2 1( ab0) 与双曲线 C2：x 4 1有公共的焦点， C2 的一条渐近线与以 C 的长轴为直径的圆相交于2A，B两点，若 C 恰好将线段 AB三等分，则 b _.1122解析：2 的一条渐近线为y 2 ，设渐近线与椭圆1： x2y2 1( 0) 的交点分别为CxCaba b222a 22a2x2y2C( x1, 2x1) ， D( x2, 2x2) ，则 OC x14x1 3 ，即 x1 45，又由 C( x1, 2x1) 在 C1： a2 b2 1 上，14a2所以有 4545b2 1

9、，又由椭圆1：x2y21(0) 与双曲线2：2y2225，2 2x 1 有公共的焦点可得abCaba bC42 1由可得 b 2.1答案：23已知双曲线的中心在原点， 焦点1、 2 在坐标轴上， 离心率为2，且过点(4 ， 10) FFM(1)求双曲线方程；(2)若点 N(3 ， m) 在双曲线上，求证： NFNF 0；12(3)求 F1NF2 的面积解： (1) e2，故可设等轴双曲线的方程为x2 y2 ( 0) ，过点 M(4 ，10) ， 16 10 ， 6.x2y2双曲线方程为6 6 1.(2) 证明：由 (1) 可知：在双曲线中， a b 6， c 2 3. F1( 2 3， 0)

10、， F2(2 3， 0) 1 ( 23 3， ) ，2 (23 3， ) NFmNFm2 NFNF ( 2 33) (23 3) m1223 m.3最新教学推荐22点 N(3 ， m) 在双曲线上， 9 m6，m 3. NFNF 0.12(3) F1NF2 的底 F1F2 43，高 h | m| 3， F1NF2 的面积 S 6.000x2y24 P( x，y )( x a) 是双曲线 E： a2 b21( a0， b0) 上一点， M， N分别是双曲线 E1的左，右顶点，直线PM， PN的斜率之积为 5.(1) 求双曲线的离心率；(2) 过双曲线 E 的右焦点且斜率为1 的直线交双曲线于A，

11、 B两点， O为坐标原点， C为双曲线上一点，满足 ，求 的值OCOA OB2222解： (1) 由点 P( x000xyx0y0，y )(x a)在双曲线 a2 b2 1 上，有 a2 b2 1.由题意有y0y01222222c30x a ，可得 a 5b ， c a b6b ，e.x a5a500x2 5y2 5b2，得 4x210cx 35b2 0.(2) 联立y x c，5x xc12 ，2设 A( x1，y1) ， B( x2，y2) ，则35b2x1x2.4设 (3，3) ， 3 x1x2，即 xOC xyOCOA OBy3 y1 y2.又为双曲线上一点，即222，有Cx3 53 5by( x1 x2) 2 5( y1 y2) 2