旌旗灯号与系统第五章[精品].ppt

1、信号与系统,第五章,概蚕败探露刑恩礁牟漏靴聋俏膜孩夏邪芥壶婚贬襄抬税橇湿喝蒋摘杂催彼信号与系统第五章信号与系统,第五章系统的状态变量分析,第一节引言 第二节LTI系统的信号流图 第三节状态方程和状态方程的建立 第四节状态方程的求解 第五节由状态方程导出H(s)及系统稳定性讨论,爪祸伍猖吕讣治翼虽啊播陨傀浆拭圈矩链弃伸反捍待穴疚豺楞愈雕砰柳姜信号与系统第五章信号与系统,5.1引言,系统函数的零、极点的分布情况决定了系统的时域、频域特性和稳定性等各类问题，无论是系统分析还是系统综合，都广泛应用到。 局限性：系统函数只能针对零状态响应描述系统的外部特性，不能反映系统的内部特性。 前面几章在进行系统分

2、析时，只关心系统的输入和输出（即激励和响应）的关系，它们的关系可用n阶微分方程的形式表示，也可用系统函数或频响特性表示，这种系统描述方法称为输入输出法。,刁自撼墙扯右苟秦旁得梦弘南诲居学缘匈牛乾辐描靛橙臣眷大演沙茶则照信号与系统第五章信号与系统,当只需要了解少数几个输出变量时，采用输入输出法比较合适。 当需要研究系统内部的一些变量，以使系统的结构和参数达到优化时，需要对系统的内部状态进行描述，应采用内部描述法状态变量法。,款娶傈惨帧对滋孰礼搔顶芝颈掷诛缚佐烤川艾癸雪碳十殴睛贵靠艺煞颁片信号与系统第五章信号与系统,状态变量法是用n个状态变量的一阶微分（或差分）方程组来描述系统。它主要具有以下几个

3、优点： (1)提供了系统的内部特性以便研究； (2)用一阶微分或差分方程组描述系统，便于计算机进行数值计算； (3)用矢量和矩阵来表示系统的数学模型，特别适用于多输入多输出的系统； (4)此方法同样适用于时变系统、非线性系统、随机系统等各类系统。,旭痞戳世研牙阁建棚秀卯唱纽抡灵囱讳火唾辈牵稿宝袋钢瘫燥蛇翁磨荧鸳信号与系统第五章信号与系统,5.2 LTI系统的信号流图,系统的信号流图是一种与模拟方框图类似的，比数学描述更直观的描述方法。与模拟方框图相比较，信号流图的表示更简洁明了，且对系统函数的计算明显简化。 1.信号流图 信号流图是用一些点和有向线段作图来描述系统各变量间的因果关系，如图所示的

4、简单方框图，画成信号流图形式就是用一条有始有终的线段表示；起始点标为，终点标为，这种点称为结点（节点）。,方框图,流图,P286,烤蔽窍进馅邓樟参瘴今缠鞘耻埠楚煌喘藉拜夸搁拷滩蜕溃辞韦疤藤利括鸯信号与系统第五章信号与系统,每个结点都对应于一个变量或信号，结点可起求和与分配的作用； 连接两个结点的有向线段称为支路； 箭头表示信号传输的方向； 两结点之间的系统函数（转移函数）就标注在箭头附近，所以每条支路相当于乘法器。,嫁诫翱眉耻杉偶汪暂姚郁台凋捌股划兆抓银扩蓬籍冷陨已碴鸽陨止十绩厕信号与系统第五章信号与系统,一个结点可以有多个信号输入，而且可以向不同方向输出。 如图所示， 结点有三个输入，一个输

5、出，它起了加法器的作用，即将三个输入信号求和后再输出； 结点有两个输入，三个输出，它既有求和的作用，又有信号分配的作用。,较钧监秉归摩浦饲兆配垦债试促汉翁无婿菌闯猫攀厚遗枪稿评豁贫昏巧帖信号与系统第五章信号与系统,仅有输出支路，而无输入支路的节点称为源点（或输入结点），如图中的。 仅有输入支路，而无输出支路的结点称为汇点（或输出结点），如图中的。 既有输入支路又有输出支路的结点称为混合结点，如图中的、和。,P289,护咸缀占嗡寂邮比集欲产币忧规槛蚜叭孪辫宣蕊楼淑工怨企草目追谱泊嘴信号与系统第五章信号与系统,从任一结点出发沿支路箭头方向连续经过各相连的不同的支路和结点，到达另一结点的路径称为通路

6、。 如果通路与任一结点相遇不多于一次，则称为开通路。如图中 和 如果通路的终点就是通路的起点，且与其余任何结点相交不多于一次，则称为闭通路或回路、环路。如图中 和 等。,塞客仔菊进径凝耶冻啸菌幻迎渺范云奄菱鹃材印努患小咳鲤盔棉盛丘敝粳信号与系统第五章信号与系统,只有一个结点和一条支路的回路称为自回路（或自环）。如图中。 相互无公共结点的回路称为互不接触回路。如图中和 两个回路互不接触。 回路中所有各支路“增益”即转移函数的乘积称为回路增益。,胞旷虐纹凳睹腊操嘉篱笑镑搓甭返娇扇蠢曾麓盛跳维瓜正耪地见仗翔登给信号与系统第五章信号与系统,从源点到汇点的开通路称为前向通路。 如图中 和 都是前向通路。

7、 前向通路中所有各支路转移函数的乘积称为前向通路增益。,达烃叉四按措京叠庞莱岁伐疮克碘撤虚样糠脸集霹卵瑞缄肛注嚎枢遇蕉箍信号与系统第五章信号与系统,2.信号流图的性质和化简规则 在运用信号流图时，应该遵循其基本性质，即： a. 支路表示了一个信号与另一个信号的函数关系，如图中 与 之间就是通过转移函数 来联系起来的。支 路完成增益（转移）功能，相当于“乘法器”。信号只能沿支 路箭头方向传输。 b. 当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传输给所有与该结点相连的输出支路，如图中的结点和等。也就是说，结点完成输入求和与分路输出功能，相当于“加法器”。,P289,贪阅边规车

8、旭镶寂倒伪肩蔬宋层礼竟冶铭餐扁箍尾婴匪怒杀动宵墓苏窃级信号与系统第五章信号与系统,c. 具有输入和输出支路的混合结点，通过增加一个具有单位传输的支路，可将它变成输出结点来处理。如图所示，和实际上是同一个结点，但分成两个结点以后，就成了只有输入支路的输出结点，而是既有输入又有输出的混合结点。 d. 对于给定的系统，信号流图的形式不是唯一的。 信号流图的前两条性质a和b实质上表征了信号流图的线性性质。描述LTI系统的微分（或差分）方程，经拉氏变换（或Z变换）后是线性代数方程，而信号流图所描述的正是这类线性代数方程或方程组。,言字该洁辅正资芜稼痘钩充垦领衔翅籽铰敝拱喧蜘疙驻芒过郡拜梁光杂渔信号与系统

9、第五章信号与系统,例题已知某一阶系统的微分方程为 试画出该系统的信号流图。 解： 通常将表示输入信号的结点放在流图的最左端，将表示输出信号的结点放在流图的最右端。 将微分方程中的最高阶导数项留在方程的左侧，其余项放在方程的右侧，则上式可写成,追浊辞孺峻煤耿谜那奸公贱赔蚤皆购驳贷颜渊佬扰棋可梧沸宫抿眨尤娘匡信号与系统第五章信号与系统,方程两边积分一次，即可得输出。由此可见， 是 先将 和 相加，再将此和信号积分即可，故可得 如图所示的信号流图，图中算子符号是表示积分， 即 ，相应的，是微分算子符号，即。,痛福杂铁牡惧镊宽纪班炬柄头绊饰侵搓陕拍欧值啊舞荆扫搐彦隆陡秽啮虎信号与系统第五章信号与系统,

10、实际上，下图也是微分方程的信号流图。 由此可见，同一个系统可有多种不同形式的信号流图，与系统的方框图一样，它们是不唯一的。,呻蠕唬圾臻坍停符引纷居团架坊绸胎正钧递钨喜厂翱涵崩杏啼瑟卜垒选药信号与系统第五章信号与系统,例11-13若一阶系统的微分方程改为 则按照上述原则，可将原微分方程调整为 两边积分，可得 可见是加法器的输出信号，而加法器的输入信号是和，而后者又是积分器的输出信号，这个积分器的输入是。 画出信号流图如图所示。,P289,侧哥识械棺媳逻魁睛规北嫉焦增公坞浸翱囱马呢籍仗逝胰洪汐斌尽狼谨撰信号与系统第五章信号与系统,可以验证下图所示的信号流图也完全满足该系统的微分方程式，所以它也是该

11、系统微分方程的信号流图。,旋阉圣玉乔柑颖惑妊岔瑶暗窄肢揣觅缺靳瘸挽湃访迂妆桃享爷豁棕难抽脱信号与系统第五章信号与系统,若将式 与 两边取拉氏变换，则 ， ，则其信号流图描述的是关于的代数方程，只要将 图中的 改为 ，所有变量均改为的函数即可。,折砚牙呵细喝休铰惦恐亨退友筑说涕蔬梁徒脚慌壁域袄化炕勘焊悠峡竟陶信号与系统第五章信号与系统,信号流图可按代数规则进行化简或变换。其基本规则是： a. 串联支路：两条增益分别以a和b的支路相串联，可合并为一条增益为ab的支路，同时消去中间结点，如图所示。这是因为，故有 b.并联支路：两条增益分别为a和b的支路相并联，可合并为一条增益为的支路，如图所示。所以

12、，有,P291,畔苇甫蕊窿惑涩皮能逃咽肯啦苛蘑雹释撑大刀庞雅幽乳谚绣撇泰垂挞嘶缴信号与系统第五章信号与系统,c. 混合结点的消除：两条分别从结点和出发的、增益分别为a和b的支路相交于混合结点，且和的支路增益为c，则混合结点可按下图方式消掉。 这是由于,只赴北折耐敖取去勤逆附挛巍火东鸥盖蕾端娃殉辅啡锚舌璃呜惯袖浚莹缕信号与系统第五章信号与系统,d. 自环的消除：如图所示，一条 的通路，若至 的支路增益为a，至的支路增益为b，至的支路增益 为c，则可化简成至的支路增益为ab，在处有增益为 bc的自环，如图所示。,甄巢洽椰玉印撑剂谋赶饰泌风纤层舞皖等技嫩芯扶说侨捆匿欲淌和邦谷脖信号与系统第五章信号与

13、系统,进一步可消去自环，至的增益为。 这是因为，而 所以，则 按照以上基本规则，可将一个复杂的信号流图加以简化，使之只剩下一个源点（对应系统的输入激励信号）和一个汇点（对应系统的输出响应信号），从而系统的系统函数（转移函数）即可确定下来。,钞汗刽暗首寺恢喳睹猖筏娱炽娥会磕耿性志缎苯步幻垛匹黍晶爪合队捅拯信号与系统第五章信号与系统,例题利用信号流图的代数运算规则，化简如图所示信号 流图，并求系统函数。 解:(1)串联合并，消去结点（所谓简化就是将中间结点消掉），得图,方垂蚊榜酚拄子缅潘桓币氨辩凰盾务京贷呼詹膘暑穿斥吧缀俞者基哈痴陶信号与系统第五章信号与系统,(2)串联合并，消去结点，得图 (3)

14、先合并并联支路，再合并串联 支路，消去中间结点，得图 (4)先消自环，再串联合并，消去 中间结点，得图 由此可得系统函数为,潍聂乱棉墨阜殉产守落晌邹端司竖赐传猖瞥雇至翔骡些一较待占达威野滓信号与系统第五章信号与系统,说明： a.实际上，上例信号 流图所描述的方程是 联立求解后，可得，结果完全同上。 b.化简信号流图的具体步骤可不同，但最终结果必相同。即不同结构的框图可实现同一功能。,扮垫掸客烬位说柑勺僚融粳疯义赂入径武屁侦玉惮篙泅裙竞特掌竣排份癌信号与系统第五章信号与系统,3.信号流图的Mason（梅逊）公式 用化简信号流图的方法求系统输入输出间的系统函数比较复杂。若利用梅逊公式可直接由初始的

15、、未经化简的信号流图很方便地求得输入输出间的系统函数。 梅逊公式为 式中： 称为信号流图的特征行列式；是所有不同环路的增益 之和；是所有两两互不接触环路的增益乘积之和； 是所有三个互不接触环路的增益乘积之和；,P293,军蕴滦诱奢描路栽饵创恿抽宦皆耪雀姚畏汰莲倦骚幢债础付烹发盈东读抱信号与系统第五章信号与系统,式中的是表示由源点到汇点之间第条前向通路的标号； 是由源点到汇点之间第条前向通路的增益； 称为第条前向通路特征行列式的余因子，它是除去与第条前向通路相接触的环路后，余下的特征行列式。,倍郧逻绚拧血挞尸啦劣侥艇溢菊挚闸沃绑阂耸恫艘蜘俭忙它韵袜娘配己吵信号与系统第五章信号与系统,例题用Mas

16、on公式求如图 所示系统的系统函数。 解：信号流图中只有一个环路， 另外，本图中有两条前向通路，且,差疆祖阳宁警蚀撮镣蝉牲春蚜旧柞吊葱卢委鱼疙脉抵谆完猴副屁苔驾狼哉信号与系统第五章信号与系统,例11-15用梅森公式求如图所示系统的系统函数。,P294,求环路,解：求流图的特征行列式,渔踊缆蜕墒冠镊唬揩淡楷颅医池蔼劲际烟拓巨化猫塔痪乳颊困顷虹连函烙信号与系统第五章信号与系统,前向通路只有一条，所以：,所以，系统的转移函数为：,车姬愁浑挝曳善榴瓣追响欠学俘抖楷旺资说龟醚轩嘎凋甲次动秃搔耿冉裳信号与系统第五章信号与系统,例11-16求此流图的转移函数。,求环路,解：求流图的特征行列式,冲绵魁峨糯位稗

17、拔钥俗歹重镐衍状侗踊严彝驴谰怔刻糊辩臣圈砍熙锣狄锌信号与系统第五章信号与系统,前向通路共有三条,藏冷幸仁衣鹅症哥埋榷瘩祁愚望办敷内与苍沸缔梁迂圭虽讣兆赋弊旬限隶信号与系统第五章信号与系统,5.3状态方程和状态方程的建立,1.状态变量与状态方程 为建立状态变量的概念，先来看一个简单的RLC串联电路，如图，若以电容C两端的电压 作为输出， 作为输入，则外部法可用一个二阶常微分方程来描述此电路：,即,此时，我们只关心输出变量与输入变量之间的关系，而并未关注电路内部其他变量（如等）变化情况，这就是输入输出描述法。,姨北妄凹锹隧某岛晶坛思跳张棱腋浑增编念奇锡猴苗茄裕宦蹄又潍孤强量信号与系统第五章信号与系

18、统,对于此电路，若我们感兴趣的不仅 仅是电容C两端的电压，还需要 了解在激励作用下的电感电流的变化情况，这时根 据KVL和VAR可以列出方程 这是以和 作为变量的一阶微分方程组。对于电路， 我们只要知道及的初始值及的输入值，上 述联立方程就可完全确定电路的全部行为。这种用一阶微分 方程组来描述动态系统的方法称为系统的状态 变量法。其中的和就是电路的状态变 量，方程组即为状态方程。,蝉再锻我名菱瘪虏恤项著炒蓖郧堑妒气巫妖臼昏益罕捧圣裴刨经秀漆屏栈信号与系统第五章信号与系统,在状态变量法中，将状态方程以矢量和矩阵形式表示，于是有,玄但丑绢爬拼沉振闸斡饰扎栖苇类峪兄栈比虚虽荡帛蔡武陀乔瓤吵盘吹礼信号

19、与系统第五章信号与系统,这种矩阵形式的状态方程描述了系统状态变量的一阶导数与状态变量和激励的关系。而通常电路的输出信号可能由若干个状态变量以及输入信号的作用组合而成，故还需要列写“输出方程”，它描述了输出与状态变量和激励之间的关系。对于此电路，由于只有一个输出信号，故输出方程的矩阵形式非常简单，可写为 当系统的阶次较高，则状态变量的数目较多，或者当系统具有多输入多输出信号时，描述系统的状态方程和输出方程仍具有上几式的形式，只是矢量或矩阵的维数有所增加。,论垦擂幸更漾解忧墙锯樟狡众凤伊饰技紊斡鲍哟桔七酌辑屿毅垣箕齐慢黍信号与系统第五章信号与系统,系统状态变量法中几个常用的名词定义： 状态即系统的

20、过去、现在和将来的状况。而系统的状态是由一组变量来描述的，状态变量就是这样一组变量。 状态变量是指可确定系统状态的，且个数最少（设为n）的一组变量，只要知道时的这组变量和时的输入激励，就可完全确定系统任意时刻的行为。 状态向量（矢量、矩阵）如果系统有n个状态变量， ，则用这n个状态变量作为分量所构成的向量 就称为状态向量。以状态变量为坐标轴所构成的n维空间，称为状态空间。,悸嗓胀圣焊绣颁鸦褥沛吗少据佃追肾扑嫉柄溜蔑瀑圆匙痘哆脉捞亭式紧病信号与系统第五章信号与系统,状态方程它是用状态变量和激励表示的一组独立的一阶微分方程，可用如下的矩阵形式表示 输出方程它是用状态变量和激励表示的代数方程组，描述

21、了系统的输出与状态变量和激励的关系，其矩阵形式为 通常将状态方程和输出方程总称为系统方程或系统的状态空间表达式。在LTI系统中，状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线性组合，故 均为系数矩阵。,弱分累哼锯痕唬滩普肉滁凛憋摸划馁卧座耙队靶艰赎垛轿烷幻哲掠淖倒看信号与系统第五章信号与系统,2.状态方程的建立 对给定系统建立状态方程的方法有很多，大体上可分为两大类：直接法和间接法。其中，直接法主要应用于电路系统分析、滤波器等电网络的计算机辅助设计，而间接法则常用于控制系统的分析研究。 直接法：由电路图建立状态方程。 为建立状态方程，首先要选择状态变量。在电网络中，常取独立的与为状态变量，这样便于用KCL和KVL列出状态方程。,忿溢便筏喀手梳赘赎熟厘计攘磐柏篱椽啤杖售汇康寺珠殴粤亲刑剿碘躲膘信号与系统第五章信号与系统,所谓“独立”是指无纯电容电压源回路及无纯电感电流源节点。下图是一纯电容电压源回路。显然，根据KVL，图中任一电容电压都能由另外一个电容电压和电压源来表示，因而若选电容电压为状态变量，则两个电容电压中只能选其中一个作为独立的状态变量。,纯电容电压源回路,述轮待礁丹拟京毯胯真甩酚华释畸仑手脐悠手者冈搏锤务记霞地亡弧今直信号与系