高二数学教案抛物线的几何性质1

1、抛物线的简单的几何性质教学目标（一）教学知识点1.抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率.2.抛物线的通径及画法.（二）能力训练要求1.使学生掌握抛物线的几何性质.2.掌握抛物线的画法.（三）德育渗透目标1.培养学生数形结合及方程的思想.2.训练学生分析问题、解决问题的能力.教学重点1.抛物线的几何性质.2.抛物线几何性质的应用.教学难点抛物线几何性质的应用 .教学方法启发引导式教具准备投影片三张第一张：抛物线的几何性质（记作8.6.1 A）第二张：例题（记作8.6.1 B）第三张：练习题（记作8.6.1 C）教学过程.课题导入师前面我们已经学过椭圆与双曲线的几何性质，它们都是通过标准方

2、程的形式研究的 .现在需要大家想想抛物线的标准方程.生共四种形式，分别是y2=2px(p 0),y2=-2px(p 0),x2=2py(p 0),x2=-2py(p0).讲授新课师下面我们根据第一种抛物线的标准方程，也就是 y2=2px(p 0)来研究其几何性质：1.范围因为 p 0，由方程可知x0，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.2.对称性可根据求椭圆与双曲线对称性的方法得到，在y2=2px(p 0)，以 -y 代 y，方程不第1页共6页变，所以抛物线关于x 轴对称 .我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.3.顶点抛物线与它的轴的

3、交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当y=0 时 x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点 .这与椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点不同.4.离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知e=1.抛物线的几何性质是从以上四方面来体现的，下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质 .(打出投影片 8.6.1 A)标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率y2 =2px(0,0)x 轴ppe=1(p0)(,0)x=-22y2=-2px(0,0)x 轴ppe=1(p0)(-,0)x=22x2 =2px(0,0)y 轴ppe=1(p0)(0,)y=-22x2=-2px(

4、0,0)y 轴ppe=1(p0)(0,-)y=22师结合椭圆与双曲线的几何性质对抛物线进行小结：（ 1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；（ 2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；（ 3）抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；（ 4）抛物线的离心率是确定的，为1.下面开始讲例题， （打出投影片 8.6.1 B)例 1已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（ 2，-22 ），求它的标准方程，并用描点法画出图形.第2页共6页分析：根据抛物 关于 x 称，其 点在坐 原点，可知抛物 准方程 2 2 2种 .解：由 意可 准方程形式 y2=2py

5、 点 M（ 2， -22 ）（ -22 ） 2=2p则 p=2因此所求方程是y2=4x.将方程 形 y=2 x ，根据 y=2x 算抛物 在x0的范 内几个点的坐 ，得x01234y022.83.54如 描点画出抛物 的一部分，再利用 称性， 就可以画出抛物 的另一部分 .在抛物 的 准方程y2=2px 中，令 x=p ,则 y=p. 就是2 ，通 焦点而垂直于 x 的直 与抛物 两交点的坐 分 为 ( p ,p)、 ( p ,-p). 两点的 段叫做抛物 的通径，它22的 2p， 就是 准方程中 2p 的几何意 .利用通径可画抛物 的草 .例2探照灯反射 的 截面是抛物 的一部分，光源位于抛

6、物 的焦点 .已知灯口 的直径 60 cm, 灯深 40 cm，求抛物 的 准方程和焦点的位置.分析： 然是求抛物 的 准方程，但是没有直角坐 系，所以首先得建立一适当的坐 系，使反光 的 点做 坐 原点，接着再 一坐 ，才能用待定系数法求抛物 的 准方程.解：如 所示，在探照灯的 截面所在平面建立直角坐 系，使反光 的 点（即抛物 的 点）与原点重合，x 垂直于灯口直径. 抛物 的 准方程是 y2=2px(p 0)，由已知条件可得点 A 的坐 是（ 40， 30），代入方程得302 =2p 40p= 454 所求抛物 的 准方程是y2= 25 x，焦点坐 是（45 ， 0）.28第3页共6页

7、.课堂练习（打出投影片 8.6.1 C)1.顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，一条直角边OA 所在的直线方程为y=2 x，斜边 AB 的长为 53 ，求抛物线方程 .分析：可先设出抛物线方程，然后用待定系数法求p，其中还要用到两点间距离公式 .解：如图所示，设抛物线方程为y2=2px(p 0)y2 x得： A（ p ,p)由22 pxy2OAOB1直线 OB 的方程为y=-xy 1 x由 2y 22 px得： B（8p,-4p）|AB|=53|p )2(p4p) 25 3AB|=(8 p2239p=13所求抛物线方程为 y2=439 x .132.已

8、知直线 l 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若点 A（ -1， 0）和点 B（ 0， 8）关于直线l 的对称点都在C 上，求直线 l 和抛物线 C 的方程 .分析：可先设出直线方程与抛物线方程，由点A、 B 关于直线 l 对称，可求出对称点坐标，分别代入抛物线方程.解：由题可设抛物线C 的方程为y2=2 px(p 0)，直线 l 的方程为y=kx(k 0).设点 A（ -1， 0），点 B（ 0， 8）关于直线l 的对称点A(x,y )、 B(x,y ).1122第4页共6页y1x11y28x2则 2kk2且22y11k1y28 k1x1x2x1k 21x216k 21与k21解得y12ky28(k 21)k 21k 21A、 B在抛物线上4k 2k 21(k 21) 22 p21k21)216k64( k2 p(k 21) 2k21两式相除，消去p，整理得：k2-k-1=0k=15215 时， xk 215当 k=1=k 21=-25SX （） K F （） 5K F5SX0k= 15 不合题意，应舍去 .2把 k= 15 代入得 p= 2 5 .25直线 l 的方程为15245y=2x，抛物线 C 的方程为 y =x.5.课时小结抛