高三数学教案小结与复习1

1、课题：小结与复习（一）教学目的： 提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力授课类型： 复习课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、知识点汇总：1. 知识网络导数的概念导数的几何意义、物理意义常见函数的导数导导数的运算导数的运算法则数函数的单调性导数的应用函数的极值函数的最值.2. 方法总结(1) 导数的概念是本章学习的关键，它不但提供了一般的求导方法，并且常见函数的导数，函数的和、差、积、商的导数法则，复合函数的求导法则等都是由定义得出的；(2) 导数的概念实质是函数值相对于自变量的变化率， 是变量的变化速度在数学上的一种抽象；(3) 在导数的定义中 “比值

2、y 叫做函数 y f ( x) 在 x0 到 x0x 之间的平x均变化率”；(4) 复合函数的求导，应分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解为基本初等函数或较简单寒暑，然后用复合函数求导法则求导；(5) 用导数方法判别或证明函数在给定区间上的单调性， 相对与定义法解决单调性问题是十分简捷的；(6) 函数极值的确定，实际是建立在对函数单调性的认识基础上的；(7) 在实际问题中，若函数只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是第 1页共 7页最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较；(8) 理解和掌握导数及其有关概念是本章学习的基础；会对简单的初等函数进行求导是本章的重点；会求一些

3、实际问题的最大值与最小值是培养能力的关键3. 概念与公式(1)导数的定义： 设函数 yf ( x) 在 xx0处附近有定义， 如果 x0时，y 与 x 的比y（也叫函数的平均变化率） 有极限即y 无限趋近于某个常数，xx我们把这个极限值叫做函数yf (x) 在 xx0 处的 导数 ，记作 y/x x0，即f / ( x0 )limf (x0x)f (x0 )x 0x(2)导数的几何意义： 是曲线 yf ( x) 上点（ x0 , f ( x0 ) ）处的切线的斜率因此，如果 yf ( x) 在点 x0 可导，则曲线yf (x) 在点（ x0 , f (x0 ) ）处的切线方程为 yf (x0

4、)f / (x0 )(xx0 )(3)导函数 ( 导数 ):如果函数 yf ( x) 在开区间 ( a, b) 内的每点处都有导数，此时对于每一个x(a,b) ，都对应着一个确定的导数f / (x) ，从而构成了一个新的函数f / (x) , 称这个函数f/ (x) 为函数 yf ( x) 在开区间内的 导函数 ，简称导数 ，(4)可导 : 如果函数 yf ( x) 在开区间 (a,b) 内每一点都有导数，则称函数yf (x) 在开区间 ( a, b) 内可导(5)可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点 x0 处可导， 那么函数y=f(x)在点x0 处连续， 反之不成立 . 函数具有连续性

5、是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件 .(6)求函数 yf ( x) 的导数的一般方法：（ 1）求函数的改变量yf ( xx)f ( x)第 2页共 7页（ 2）求平均变化率yf ( xx)f ( x)xxy（ 3）取极限，得导数 y / f (x)limx 0x(7) 常见函数的导数公式：C 0 ； ( x n )nx n1 ； (sin x)cos x ； (cos x)sin x(8)法则 1u( x)v( x) u ( x) v ( x) 法则 2u(x)v( x)u ( x)v(x)u( x)v (x) , Cu (x)Cu ( x)u vuv 法则 3u(v0)vv2(9)复

6、合函数的导数： 设函数 u=(x)在点 x 处有导数 u x= (x)，函数y=f(u)在点 x 的对应点 u 处有导数 yu=f (u)，则复合函数 y=f(x) 在点 x 处也有导数，且 yxyu ux或 f x(x)= f (u) (x).(10)复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代(11) 对数函数的导数：(ln x)1(log ax)1 log a exx(12)指数函数的导数：(ex )ex(ax )a x ln a(13) 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内 y / 0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如

7、果在这个区间内 y / f (x1 )（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点(18)判别 f(x )是极大、 极小值的方法 : 若 x0 满足 f ( x0 ) 0 ，且在 x0 的两侧0f ( x) 的导数异号，则 x0 是 f ( x) 的极值点， f ( x0 ) 是极值，并且如果f ( x) 在x0 两侧满足“左正右负”，则 x0 是 f ( x) 的极大值点，f ( x0 ) 是极大值；如果f ( x) 在 x0 两侧满足 “左负右正” ，则 x0 是 f ( x) 的极小值点，f (x0 )

8、是极小值(19) 求函数 f(x)的极值的步骤 : (1) 确定函数的定义区间，求导数f (x)(2) 求方程 f (x)=0 的根 (3)用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格 .检查 f (x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x) 在这个根处无极值(20) 函数的最大值和最小值: 在闭区间a, b 上连续的函数f ( x) 在 a,b 上必有最大值与最小值在开区间(a,b) 内连续的函数f (x) 不一定有最大值与最小值函数

9、的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的函数 f (x) 在闭区间a, b 上连续， 是 f (x) 在闭区间 a, b 上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件 (4) 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个(21) 利用导数求函数的最值步骤 : 求 f ( x) 在 ( a, b)内的极值； 将 f (x)的各极值与f ( a) 、 f (b) 比较得出函数f ( x) 在 a, b 上的最值第 4页共 7页二、讲解范例：例 1设 f ( x)=x2 sin 1x0，问 f ( x) 在 x=0 的导数

10、是否存在？xx2x0解： lim f ( x)limx20lim x0.x 0x 0x0x0x 2 sin 10sin 1limf (x)limxlimx0x 0x0xx01x f ( x) 在 x=0 处的左右导数相等， f ( x) 在 x=0 处导数存在，且 f (0)=0.例 2ln x0x 2设 a、 b 为常数 , 问 a、b 为何值时 , 函数 f ( x)=bx在 x=2ax2处可导 .解： lim f ( x)limln xln 2lim1ln xx 2x 2x 2x 2 x2 2lim12ln(1x2)lim 1 ln(1x2 ) x221 ln e1x 2 2 x 22x

11、 2 2222lim f ( x)limaxbln 2a( x2)2abln 2x 2limx2x 2x 2x2lim (a2abln 2 )x 2x2要使 lim (a2axbln 2) 存在 . 则 2a+bln2=0 ，x22lim (a2abln 2)a .x 2x2第 5页共 7页 f ( x) 在 x=2 处可导 .a112a22abln 2 0b ln 2 1例 3 求函数=x3 42+3 +1 的图象过横坐标为0 和 1 的点处的切线间的夹角 .yxx解： y =( x3 4x2+3x+1) =3x28x+3y | x=0=3，y | x=1=3 8+3= 2设 x=0 和 x

12、=1 处的切线的倾斜角分别为、 . tan =31=tan45 ， 45 90tan = 1， 90 180tantan132 .tan( )=tan1 (1) 31 tan =arctan2( 0 0 时， y =( x3) =3x2当 x0 时， y =( x3) = 3x2limx30lim( x2 )0, limx30lim x20x 0x 0x 0x 0 x 0x 0 y=| x3| 在 x=0 左右两侧的导数相等 y=| x3| 在 x=0 处可导且 y| x =0=03x 2x0 y =0x03x2x0三、课堂练习 ：1已知函数 y=f(x) 在区间 (a,b)内可导，且f (x

13、0h) f (x0 h)x0（ a，b）则 limhn 0的值为（）A.f 0(x)B.2 f0)(xC.-2 f 0(x)D. 02.f(x)=ax3+3x 2+2，若 f (-1)=4 ，则 a 的值为（）第 6页共 7页A 19/3B.16/3C.13/3D. 10/33.设 y=8x 2-lnx ，则此函数在区间(0,1/4) 和 (1/2,1) 内分别为（）A 单调递增，单调递减B.单调递增，单调递增C.单调递减，单调递增D.单调递减，单调递减4.设 y=tanx ，则 y =()A.sec2xB.secx tanxC.1/(1+x 2)D. -1/(1+x 2)5.曲线 y=x3 +x- 2 在点 P0 处的切线平行于直线y=4x -1，则点 P0 点的坐标是（）A (0,1)B.(1,0)C.(-1,0)D.(1,4)6.给出下列命题：(1)若函数 f(x)=|x| ，则 f (0)=0；(2)若函数 f(x)=2x 2+1图象上 P(1,3)及邻近上点Q(1+ x,3+ y)，则y =4+2 xx(3)加速度是动点位移函数S(t) 对时间 t 的导数；(4)y=2 cosx+l