高一数学教案：47二倍角的正弦、余弦、正切(3)

1、课题： 4 7 二倍角的正弦、余弦、正切（3）教学目的：要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力教学重点：二倍角公式的应用教学难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式授课类型：新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：二倍角公式 :sin 22sincos； ( S2 )cos2cos2sin 2； (C 2 )tan 22 tan； (T2)1 tan2cos 22 cos21cos212sin 2(C 2)cos21cos 2,sin 21cos 222二、讲解新课：1积化和差公式的推导si

2、n(+) + sin() = 2sincos1sincos= 2 sin(+) + sin()sin(+)sin() = 2cossin1cossin= 2 sin(+ )sin()cos(+) + cos() = 2cos cos1coscos= 2 cos(+) + cos()cos(+)cos() =2sin sin1sin sin=2 cos(+ )cos()2和差化积公式的推导第 1页共 8页若令+= ，= ，则2，2代入得：sincos1 sin()sin()1 (sin sin )22222222sinsin2 sincos22sinsin2 cossin22coscos2 co

3、s2cos2coscos2 sin2sin23半角公式sin1cos,cos1cos,tan1cos221cos222tansin1cos1 cossin2证： 1在 cos 212 sin 2中，以代 2， 2代即得：cos12 sin 2sin 21 cos2222 在 cos 22cos21中，以代 2， 2 代即得：cos2cos21cos21cos222tan 21cos3 以上结果相除得：21cos1cos1(12 sin2)sin22tansin22 sincoscos2242sin2 sincossin222tan1 cos2211cos2 cos22第 2页共 8页4万能公式

4、2 tan2 ,1tan22 tansincos2 ,tan21 tan21tan21 tan2222sin2 sincos2 tansin2221sin 2cos2tan2证： 11222coscos22sin 21tan22cos21222sin1tan2cos222sin2 sincos2 tan222tancoscos22sin 21tan2322三、讲解范例：2 sincos5例 1 已知 sin3cos+ 4sin 2，求 3cos 2的值2sincos5解： sin3cos cos0 (否则 2 =5 )2tan1 tan53解之得： tan= 23(1tan 2)42 tan3

5、(122 )42 27原式1tan 21tan 212212250 ， tan11例 2 已知 2，=3 ， tan =7 ，求 2+tan 22 tan3tan(2)tan 2tantan 21解：141tan 2tan3220 22又 tan2 0， tan 0，2272+=4第 3页共 8页1tan例 3 已知 sincos=2 ，2，求2 和 tan 的值2 tan21tan21121tan212222tan解： sincos=2tan24 tan30化简得：22tan4161227222 22tan20tan27即 22 tan2( 27)4272747tan221 ( 2 7)21

6、0 4 7 5 2 731tan211例 4已知 coscos= 2 ， sinsin=3 ，求 sin(+)的值1sin12 sin解： coscos=2 ，22212 cossin1sinsin=3 ，223sin0tan3tan3222222tan2312sin()2229131tan124例 5 求证： sin3 sin3 + cos3 cos3 = cos32证：左边= (sin3sin )sin2+ (cos3 cos )cos2第 4页共 8页11=2 (cos4cos2 )sin2+2 (cos4 + cos2 )cos21111=2 cos4 sin2+ 2 cos2 sin

7、2+ 2 cos4 cos2+ 2 cos2 cos2111=2 cos4 cos2 + 2 cos2 = 2 cos2 (cos4 + 1)1=2 cos2 2cos22 = cos32 = 右边原式得证四、课堂练习：1 已知、为锐角，且3sin2 2sin2 1， 3sin2 2sin2 0求证： 2 2证法 1：由已知得 3sin2 cos23sin2 2sin2cos2sin(2)2tan(2 )sin 2cos(2)2得 tan 2、为锐角 0 2 ，0 2， 2 0， 2 2 2 2 2 2， 2 2证法 2：由已知可得：3sin2 cos23sin2 2sin2 cos（ 2）

8、cos cos2 sin sin23 cos 3sin2 sin 2 sin2 3sin2 cos sin 3sin cos 0第 5页共 8页3又由 2（ 0， 2） 2 2证法 3：由已知可得3 sin3 sin22cos22 sin 2 sin（ 2） sin cos2 cos sin23 sin 3sin2 2 cos sin2 3sin（ sin2 cos2） 3sin又由，得3sin cos sin2 2 2，得 9sin4 9sin2 cos2 11sin 3 ，即 sin（ 2） 13又 0 22 2 2评述：一般地，若所求角在 （ 0，）上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求

9、角在 （ 2 ，2 )上，则一般取此角的正弦较为简便；当然，若已知条件与正切函数关系比较密切，也可考虑取此角的正切2 在 ABC 中， sinA 是 cos（B C）与 cos（B C）的等差中项，试求 (1)tanB tanC 的值(2)证明 tanB（ 1 tanC） cot （ 45 C）(1)解： ABC中， sinA sin（ B C） 2sin（ BC） cos（ B C） cos（ B C） 2sinBcosC 2cosBsinC 2cosBcosC cosBcosC 0 tanB tanC 11tanC（2）证明：又由上：tan 1 tanC（ 1 tanC） 1tan C（

10、1 tanC） tan （45 C）（ 1 tanC）cot（ 45 C）sin 40 (12 cos 40 )3 求值： 2 cos2 40cos40 1第 6页共 8页sin 40 2 sin 40cos 40sin 40sin 80解：原式cos80 cos40cos80cos402sin 60cos2032cos60tan 60cos 20五、小结通过这节课的学习，要掌握推导积化和差、和差化积公式（不要求记，半角公式和万能公式的方法，要知道它们的互化关系 另外，要注意半角公式的推导与正确使用六、课后作业：151 如果 cos 5， 2 3 ,则 sin 2的值等于 ()A.10B.10

11、C.15D. 1555552设 5 6且 cos 2 a,则 sin 4 等于 ()1a1 aC.1 a1 aA.B.2D.2223已知 tan76 4，则 tan7 的值约为 ()A. 174B. 174C. 8D. 817154 tan 12 cot 12 的值等于A5 已知 sinAcosA 1， 0，则tan 6 6 已知 tan、 tan是方程 7 2 8 1 0 的两根，则 tan2 x7设 25sin2 sin 240且是第二象限角，求tan 228已知 cos2 3，求 sin4 cos4的值sin 4xcos2 xcos xx求证 1 cos4 x1cos 2x 1tan .9cos x21参考答案： 1 C2 D3 A4 23 5