小学运算技巧归纳

1、运算技巧1凑整数法、利用乘法公式法:1）1256183225=解题思路：1256183225=(1258)(425)618=。2）99101=解题思路：99101=(100-1)(100+1)=10000-1=9999。5.2+13.6+3.8+6.449253）计算199819971999的值为解：199819971999=1998-（1998-1）（1998+1）=1998-1998+1=14）199+9999有多少个0？ 解：199+9999 =1+299+9999=（1+99）=100 有4个0.4） 1999999999解法1：1999999999100099999999910009

2、99（1999）100099910001000（9991）10001000.解法2：19999999991999999（1000-1）1999-999（1999-999）1000.练习：1. 199999+9999999999的末尾有多少个零？ (2002个9) (2002个9) (2002个9)解：199999+9999999999(2002个9) (2002个9) (2002个9)=1+299999+9999999999(2002个9) (2002个9) (2002个9）=（1+99999）=（10000）=10的4004次方(2002个9) (2002个0)所以1999999+99999

3、9999999的末尾有4004个零。(2002个9) (2002个9) (2002个9)2. 12345.100的积有多少个0？解：1002=50 1004=25 10016=64 10032=34 10064=136 100个数中有个50+25+6+3+1=85个21005=20 10025=4100中有24个524个0.31256183225的结果有多少个0？解：125=5 25=5 32= 618=2319 共有6个2，5个5。结果有5个0。2观察尾数法1）425683544828= A.2488 B.2486 C.2484 D.2480答案为D。如果几个数的数值较大，又似乎没有什么规律

4、可循，可以先考察几个答案项尾数是否都是唯一的，如果是，那么可以先利用个位数进行运算得到尾数，再从中找出唯一的对应项。如上题，各项的个位数相加=5+3+4+8=20，尾数为0，所以很快可以选出正确答案为D。 2）1111+6789+7897 A、15797 B、14798 C、15698 D、15678 答案A3）22+23+2524= A、1061 B、1062 C、1063 D、1064 答案B。解法：此题只需要计算出：2+3+543基准数法1997+1998+199920002001 A.9993 B.9994 C.9995 D.9996答案为C。当遇到两个以上的数相加，且他们的值相近时，

5、可以找一个中间数作为基准，然后再加上每个加数与基准的差，从而求得他们的和。在该题中，选2000作为基准数，其他数分别比2000少3，少2，少1，和多1，故五个数的和为9995。这种解题方法还可以用于求几个相近数的算术平均数。4、拆分法：1） 111 解：111=100+10+1111=（100+10+1）=100+10+1=+=2）7=6327- 7=6327=0+6327=6327+632710000+63271=6327(+10000+1)=6327直接写：7=63273）949393-929494解：原式=94（9300+93）-92（9400+94）=9493101-9294101=9

6、4101=94944）原式=（-1）（+1）-=-+-1-=10000解：设a=,b=,则原式=(a+1)b-a(b+1)=b-a=100005）20121-20112=20122011-20112012=05分组结合法1）计算98+97-96-95+94+93-92-91+-4-3+2+1解：用分组法，观察算式可以每四个数作为一组：98+97-96-95=4 94+93-92-91=4 6+5-4-3=4一共有96/4=24组，最后剩下2+1=3 因此和为244+3=992）计算100+99+98-97-96+95+94+93-92-91+10+9+8-7-6+5+4+3-2-1=(100+

7、99+98-97-96)+(95+94+93-92-91)+(10+9+8-7-6)+(5+4+3-2-1=104+99+14+9 （100/5=20个数，等差数列）=(104+9)20/2=11310=11303）计算 (13571999)(2461998) 解1：思路分析：从11999这1999个数中，奇数有1000个，偶数有999个除1外，将剩下的999个奇数和999个偶数两两分组 得到：1(32)(54)(76)(19991998) 199910004）计算（1351989）（2461988）解：先把两个括号内的数分别相加，再相减.第一个括号内的数相加的结果是：从1到1989共有995

8、个奇数，凑成497个1990，还剩下995，第二个括号内的数相加 的结果是：从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990.19904979951990497995. 5） 用两种方法计算(2469969981000)(135995997999)（2+4+6+996+998+1000）-（1+3+5+995+997+999），=2+4+6+996+998+1000-1-3-5-995-997-999）=2-1+4-3+6-5+1000-999=1500=5006. 分解质因数法： 1）甲、乙、丙三个数的乘积为1440，三个数之和是37且甲、乙两数的积比丙数的3倍多12，求甲、乙、丙各是几

9、？解：把1440分解质因数： 1440= 121210 =22322325 =（222）（33）（225） =8920 如果甲、乙二数分别是8、9，丙数是20，则： 89=72， 203+12=72 符合题中条件。答：甲、乙、丙三个数分别是8、9、20。2）四个连续自然数的积是1680，这四个连续自然数的和是多少？1680=2222357=56785+6+7+8=267.提取公因数法：1）1239+828+417-2010=4139+4128+417-2010=41（27+16+7）-2010=2050-2010=402）简便计算(1+12)+(2+122)+(3+123)（100+12100

10、） (1+12)+(2+122)+(3+123)（100+12100）=(1+12)+2(1+12)+3(1+12)100（1+12）=（1+2+3+100）13=505013=656503）计算 9999222233333334解：99992222333333343333322223333333433336666333333343333（66663334）333310000. 4. 求11111（2000个）22222（2000个）33333（2000个）33333（2000个）所得商的各个数位上的数字的和分析：111222.2233333先除以111111等于1000003，中间的0都是1

11、999个；再用1000003除以3等于3333001，得数前面的3有1999个，所以答案是31999+4+1=6002解1：111222.2233333111111=1000003（两个0都是1999个）；10000033=3333001；3333001=3333001（得数前面的3有1999个）所以答案是31999+4+1=6002解2： 1233=41 33=3401 333=33401 .11111（2000个）22222（2000个）33333（2000个）33333（2000个）=3334001(1999个3,1个4,1999个01个)所以答案是31999+4+1=6002练习：求算

12、式93333（2005个3）5555（2005个5）结果的各位数字和是多少？ 933335555=399995555=3(10000-1)5555=35555(10000-1)= 3(55550000-5555)=355544445=16663335各位数数字和=1+62004+32005+5=18045求算式93333（2005个3）5555（2005个5）的各位数的平方和是多少?9333333 555555= 3555555 999999= 166665 999999 【前1跟2004个6和1个5,后2005个9】= 166665 1000000 - 166665= 16666 3335

13、【1跟2004个6,后2005个3,1个5】各位数的平方和=1+2004+2005+=1+362004+92005+25=902158.数列规律法： 1） 1+2+3+99+100= 2）1+3+5+99= 3） 2+4+6+.+100= 4）计算（1351989）（2461988）解答：（1+3+5+1989）（2+4+6+1988）=（1+1989）219902（2+1988）219882=995995995994=995(995994)=995直接用等差数列求和公式：偶数列n(n+1), 奇数列 n（1+3+5+1989）（2+4+6+1988）=995994995=9959.比例分配问

14、题 例：一所学校一、二、三年级学生总人数450人，三个年级的学生比例为2：3：4，问 学生人数最多的年级有多少人？ A.100 B.150 C.200 D.250 解答这种题，可以把总数看作包括了234=9份，其中人数最多的肯定是占4/9 的 三年级， 所以答案是200人。10.逻辑推理法：1）互为反序的两个自然数之积是92565，求这两个互为反序的自然数。（1204与4021是互为反序的自然数，120与21不是）解：这两个自然数必须是三位数。首先，这两个自然数不能是小于100 的数，因为小于100 的两个最大的反序数是99和99，而999992565.其次，这两个自然数也不能大于998，因为

15、大于998 的两个最小的反序数是999和999，而99999992565.设abc与cba为所求的两个自然数，即abccba=92565ac的个位数字是5， 可以推得：ac=15或35或55或75或95;而当ac35时有： abccba305503即abccba92565，这是不合题意的。我们可以断定：ac=15，不妨设a=1 c=5.由1b55b1=有 b=1，b=6。经检验，只有b=6符合题意，这时有165561=82565. 答：所求的两个互为反序的自然数手165和561.11裂项法 ；例1.计算：12+23+34+100101解：利用裂项法 把各项作如下恒等变形。 有12=（123）3

16、23=（234-123）334=（345-234）3100101=（100101102-99100109）3将上面的等式代入对消。得：12+23+34+100101=（100101102-99100109+99100109+345-234+234-123+123）3=1001011023=可以推广到一般的公式：12+23+34+n(n+1)= n(n+1) (n+2) 3例2. 111213+ 121314+ 131415+. +100101102解：利用裂项法：各项作恒等变形： 111213=（11121314-10111213）4 121314=（12131415-11121314）413

17、1415=（13141516-12131415）4.100101102=（100101102103-99100101102）4把这90个等式代入相加得：111213+ 121314+ 131415+. +100101102=（100101102103-10111213）4=25101102103-10111313=-4290=一般的公式：111213+ 121314+ 131415+. + n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)-101112134123+234+345+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)4例3.求 S=+ =+ =(-) +(-) +(

18、-) +.+(-) =1 - =S=1-=例4:计算+的值为考点：分数的巧算分析：可将原式中的分子变形：=，=原式=+=-+-+-=1-+-+-，由此中间抵销，只剩两端计算即可解答：+=+=-+-+-=1-+-+-=1-=1-=点评：完成此类题目要认真分析式中数，找出其内在联系，然后进行巧算练习：5. 46+68+810+1820=(468-246+6810-468+182022-161820) =(182022-246) =13126. 712+1217+2227+2732=(71217-2712+121722-71217+273237-222732) =(273237-2712) =212

19、07. 11!+22!+33!+44!+99!+1010!各项变形：11!=1!2-1!=2!-1! 22!=2!3-2!=3!-2!33!=3!4-3!=4！-3！原式=2!-1!+ 3!-2!+ 4！-3！+10!-9!+11!-10!=11!-1!=8. 13+24+35+46+911+1012 先找通项公式： n(n+2)= +2n +21+22+23+210 =+2(1+2+3+10) =+1011=4959. (1-) (1-) (1-) (1-)(1-) (1-)解：各项恒等变形：1-=(1+)(1-)= 1-=(1+)(1-)= 1-=(1+)(1-)=原式= =10. +对各

20、项进行计算变化： =2=2(-) =2(-).=2(-)原式=2(-+-+-)=2(-)=1-=11. 解：先进行分子，分母观察：1+2 1+2+3 1+2+3+4.2, 2+3, 2+3+4,做变化：1+2= 可以推出2= 可以推出通项公式：a=原式=附11计算1+ + + 通项恒等变化：1+2+3+.+n= ，= =2（- ）于是1+ + + =2(-)+ 2(-)+ 2(-)+2(-)=2(1-)+ 2(-)+ 2(-)+2(-)=2(1-+-+-+-)=2(1-)=2 = （1007分之2013）12.计算：+.+.+ 分成若干项，+（+）+（+）+.+（+.+）写出通项公式=+.+.

21、+=（2+3+4+101）=257513.计算1+原式=2（）=2（）=12数阵计算法计算1100+299+398+992+1001=将各个加数列成数阵，然后分别补进数字（斜体）成一个正方数阵。100 100 100.10099 99 99.9998 98 98 .98.3 3 3 33 3 32 2 2 2.2 21 1 1 1.1观察后，方阵数字和为100（1+2+3+100）=1001001012补进的三角数阵的和为+.+-（1+2+3+100）=-（+.+=）1100+299+398+992+1001=1001001012-+=+-=-=-=（3101-201）=102=解2：用三角数

22、阵的旋转法100 1 199 99 1 2 2 198 98 98 1 2 3 3 2 1. . .3 3 3 33 1 2 3. 98 9812 2 2 2.2 1 2 3 99 99 11 1 1 1 11 1 2 3,99 100 100 99 981每一个位置的数相加都是100+2，共有（1+100）2 100个位置1100+299+398+992+1001=(100+1+1)（1+100）2 100 =102101100=1. 1+2+3+4+99+100+99+98+4+3+2+1=(1+99)99+100=1001 2 3 4.98 991 2 3 4 98 991+2+3+(n

23、-1)+n+(n-1)+3+2+1=n平方和可以看做一个自然数列与一个等差数列相乘，不用画出三角形，取等差数列的首项一次，末项两次相加，自然数列求和。两者相乘再除以3.这种方法可以计算一个自然数列与一个等差数列相乘的结果。13+25+37+4999=(3+99+99)(1+49)492=8207513.错位相减法例1 计算：1+2+2+2+2+2+2分析 这是首项系数是2的等比数列求和问题解：设s=1+2+2+2+2+2+2 （1） 用2乘以上式两边得：2 s=2+2+2+2+2+2+2 （2） （2）- （1）得：s=（2+2+2+2+2+2+2）-（1+2+2+2+2+2）=2- 1=20

24、48- 1=2047例2.计算10.5+3（0.5）+5（0.5）+7（0.5）+17（0.5）+19（0.5）分析 这个式子每个项都是两个数的乘积，前一个因数构成公差是2的等差数列，后一个因数构成一个公比是0.5的等比数列，可称为混合数列，用错位相减法求解。解：设s=10.5+3（0.5）+5（0.5）+7（0.5）+17（0.5）+19（0.5）（1）两边乘2，得：2 s=1+30.5+5（0.5）+7（0.5）+9（0.5）+19（0.5）（2）两式两边相减，得：s=1+20.5+2（0.5）+2（0.5）+2（0.5）+2（0.5）-19（0.5）=1+1+0.5+（0.5）+（0.5

25、）+（0.5）+（0.5）-19（0.5）再设A=1+0.5+（0.5）+（0.5）+（0.5）+（0.5）(3)2(3),得：2A=2+1+0.5+（0.5）+（0.5）+（0.5）（4）（4）- （3）得：A=2-（0.5）=2-0.=1.于是，有：s=1+1.-19（0.5）=2. -190.=2. -0.=2.例：求通式：Sn=7+77+777+7777(n个7) 设=7777(n个7)= 9999（n个9） = (-1) 所以= (10-1)+(100-1)+.+(-1) = (-1) -n 等比数列求和公式(10+100+=(-1) = (-1) - n 所以7+77+777.=(

26、7/9)(9+99+999+.)=(7/9)(10/9) ( -1)-n);N=10把10带入就是(7/9) (10/9)(-1)-10= = 9+99+999+9999+.=()-1+()-1+.+()-1= (+.+)-n=(10/9) ( -1)-n (也可以用下面的方法推导：上面用了10-1+100-1+.+-1=10+100+-n设S=10+100+，则10S=100+1000+.+用下式减去上式，得到9S=-10=10（-1)所以S=10（-1) 9=10 9(-1)所以10-1+100-1+.+-1=10+100+-n =10 9(-1)-n）例：求通式： Sn =2005+20

27、05.2005(n个2005) 由题可知：an=K+10k+102k+.10(n-1)*k(k为常数，如K=2005)化简an=k1+10+102+.+10(n-1) =k10n-1/9sn=k/910-1+102-1+.10n-1=k/910+102+.10n-n=k/9*10(10n-1)/9-n当K=7或2005时，带入上式可得巩固练习1. 6472（44762480）5319（33231327）9354（73585362）6839（48432847）解：原式=6472-1996+5319-1996+9354-1996+6839-1996=6472+5319+9354+6839-1996

28、4=6472+5319+9354+6839-7984=（6472+5319+6839）+（9200+154）-（7900+84）=（6472+5319+6839）+（9200-7900）+（154-84）=（6472+5319+6839）+1300+70=18630+1370=200002.（46+56）（1724）+14(46+56)(1724)+14=(100+2)43+14=100x43+2x43+14=4300+86+14=4300+100=44003.（494249434938493949414943）6认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数.（49

29、4249434938493949414943）6（4940623-2-113）6（494066）6（这里没有把49406先算出来，而是运用了除法中的巧算方法）49406666494014941.4. 计算19999199919919解答：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如 1991200）19999199919919（199991）（199991）（19991）（1991）（191）520000200020020-5-522225.在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000-1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.5.99

30、9999999999999（101）（100-1）（10001）（10000-1） （-1）10100100010000-5-5. 6.389387383385384386388解法1：认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数. 原式3907-1-3-7-5-6-4-2730-282702.解法2：也可以选380为基准数，则有389387383385384386388380797354682660422702.7.计算： 1+11+111+1+11+111+=+800+90+10=8.已知:1+11+111+= 求:2+22+222+= 3+33+333+.+= 4+44+444+= 5+55+555+= 6+66+666+= 7+77+777+= 8+88+888+= 9+99+999+= 10+100+1000+解： 2+22+222+=2(1+11+111+)=2= 3+33+333+.+=3(1+11+111+)=3=