高一数学教案：课题：§4.10.1正切函数的图象和性质(一)

1、课题： 4.10.1正切函数的图象和性质( 一 )教学目标( 一 ) 知识目标1. 正切函数的图象；2. 正切函数的性质 . ( 二 ) 能力目标1. 会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象；2. 理解正切函数的性质 .( 三 ) 德育目标1. 用数形结合的思想理解和处理有关问题；2. 发现数学规律；3. 提高数学素质，培养实践第一观点.教学重点正切函数的图象和性质教学难点正切函数的性质的简单应用教学方法引导学生用数形结合的思想理解和处理有关问题.( 启发引导式 )教具准备幻灯片一张内容：课本P69 图 427， 4.10.1教学过程 . 课题导入常见的三角函数还有正切函数，前面我们研究了正、

2、余弦函数的图象和性质，今天我们来探讨一下正切函数的图象，以及它具有哪些性质? . 讲授新课为了精确，我们还是利用单位圆中的正切线来画一下正切曲线. tan( x) sin(x)sin x tan xcos(x)cos x( 其中 x R，且 x k， x Z)2根据周期函数定义，可知正切函数也是周期函数，且是它的周期 .现在利用正切线画出函数y tan x， x ( ，) 的图象22引导学生完成.在教师指导下完成.打出幻灯片4 10 1，让学生对照然后说明可将所得图象向左、右平移，即可得到y tan x，x R 且 x k， ( k2Z) 的图象，叫做正切曲线 .引导学生观察得出正切曲线的特征

3、：第 1页共 5页正切曲线是被相互平行的直线xk( kZ) 所隔开的无穷多支曲线组成的.2现在我们根据正切曲线来看一下正切函数有哪些主要性质.( 师生共同完成以下活动)(1) 定义域： x x k， k Z2(2) 值域： R(3) 周期性：正切函数是周期函数，且周期T (4) 奇偶性： tan( x) tan x正切函数是奇函数正切曲线关于原点O对称(5) 单调性：正切函数在开区间( k， k) ， k Z 内都是增函数.22注意： 正切函数在整个定义域上不具有单调性，因为它的定义域不连续，所以不能说它在整个定义域内是增函数.正切函数在每个单调区间内都是增函数下面，来看性质的简单应用.例 1

4、求函数y tan2 x 的定义域 .解：由 2x k， ( k Z)2得 x k， ( k Z)2 4 y tan2 x 的定义域为： x x R 且 x k， k Z24例 2观察正切曲线写出满足下列条件的x 的值的范围： tan x 0解：画出 y tan x 在 ( ，) 上的图象，不难看出在此区间上满足tan x 0 的 x 的22范围为：0 x2结合周期性， 可知在 xR，且 x k上满足的 x 的取值范围为 ( k，k)( k22Z)例 3不通过求值，比较 tan135 与 tan138 的大小 .解： 90 135 138 270又 tanx在x (90 ， 270 ) 上是增函

5、数y tan135 tan138 . 课堂练习( 板演练习 ) 课本 P71 2.(3)、3、 62.(3)tanx 0 的 x 的取值范围为： x k x k， kZ2第 2页共 5页3. y tan3 x 的定义域为 x x k， k Z6.tan( 13 ) tan336tan444tan( 17 ) tan 17 tan2555 tan( 13 ) tan( 17 )45 . 课时小结通过本节学习， 要掌握正切函数的图象， 理解它具有的主要性质， 并会应用它解决一些较简单问题 . . 课后作业( 一 ) 课本 P72，习题 4.101、 4、 5( 二 )1. 预习正切函数的性质的应用

6、2. 预习提纲(1) ytan( x ) 的单调性如何 ?(2) ytan x 的周期又如何 ?板书设计课题二、例题讲解一、正切函数的图象和性质例 1(1)定义域(2)值域例 2(3) 周期性(4) 奇偶性例 3(5) 单调性备课资料1. 正切函数在其定义域上有最值吗?答：没有，因为正切函数的值域为R 且不等于 k ( k Z) 22. 在下列函数中，同时满足的是( )在 (0 ，) 上递增；以 2为周期；是奇函数2A. y tan xB.y cos xC. y tan 1 xD.y tan x2答案： C3. 函数 y tan(2x ) 的图象被平行直线k( k Z) 隔开，与 x 轴交点的

7、坐x428标是 ( k8,0)(kZ) 与 y 轴交点的坐标是(0 ， 1)，周期是，定义域的集合是22第 3页共 5页 x | x R且 xk,kZ ，值域的集合是R，它是非奇非偶函数 .284. 函数 ysin x tan x 的定义域是 ()kx (2k 1)kA.(2 1)， Z2B.(2 k 1) x (2 k 1)， k Z2C.(2 k 1) x (2 k 1)， k Z2D.(2 k 1) x (2 k 1)或 x k， k Z2sin x0解：由，得 (2 k 1) x (2 k 1) tan x02答案： C5. 已知 y tan 2x2tan x3，求它的最小值 .解：

8、y (tan x1) 2 2当 tan x 1 时， ymin 2附：函数 f ( x) ( x) 最小正周期的求法.若 f ( x) 和 ( x) 是三角函数，求 f ( x) ( x) 的最小正周期没有统一的方法，往往因题而异，现介绍几种方法：一、定义法例 1求函数 y sin x cos x的最小正周期 .解 : y sin x cos x sin x cos x cos( x) sin( x2 ) 2sin( x) cos( x) 22对定义域内的每一个x，当 x 增加到 x时，函数值重复出现，因此函数的最小正周2期是.2二、公式法这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函

9、数的形式，用公式去求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为T 2，正余切函数T|例 2求函数 y cot x tan x 的最小正周期 .解： 11 tan x 2 21 tan2 xytan xtan x2 cot 2xtan x2 tan x第 4页共 5页 T2三、最小公倍数法设 f ( x) 与 ( x) 是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T 、 T 分别是它们的周期，12且12，则f() (x) 的最小正周期1 、2 的最小公倍数，分数的最小公倍数TTxTT分子的最小公倍数分母的最大公约数例 3求函数y sin3 x cos5 x 的最小正周期 .解：设 sin3 x、cos5 x 的最小正周期分别为T、T ，则 T122x,T2，所以 ysin31235cos5 x 的最小正周期T 2 1 2.例 4求 y sin3 x tan 2x 的最小