高中文科数学知识点精编——函数

1、最新资料推荐高中文科数学知识点精编函数一、函数的概念：1.映射：一般地，设A、 B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应， 那么就称对应f ：AB为从集合A 到集合 B 的一个映射。记作“f （对应关系）： A（原象）B（象）”对于映射 f ： A B 来说，则应满足：(1) 集合 A中的每一个元素，在集合 B中都有象，并且象是唯一的；(2) 集合 A中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；(3) 不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。2. 函数的概念：设 A、 B 是非空的数集

2、，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就称f ：A B 为从集合A 到集合 B的一个函数记作：y=f(x)， x A其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| x A 叫做函数的值域函数的三要素：定义域、对应关系、值域.3. 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.4. 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.二、定义域的求法：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时，

3、列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被开方数不小于零；(3) 对数式的真数必须大于零；(4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于1；(5) 指数为零，底不可以等于零；(6) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 . 那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合；(7) 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.三、值域的求法 :1. 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1) 求常见函数值域；(2) 求由常见函数复合而成的函数的值域；(3) 求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域2. 函数值域

4、的常用方法：(1) 观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。(2) 配方法：( 二次或四次 ) 转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为含有自变量的平方式与常数的和，型如： f ( x) ax 2bx c, x(m, n) 的形式，然后根据变量的取值范围确定函数的最值。(3) 换元法：代数换元法通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的；三角代换法可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想。(4) 分离常数法：对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域。(5) 反求法：通过反解，用y 来表示 x ，再由 x 的取值范围，通过解不

5、等式，得出y 的取值范围；常1最新资料推荐用来解，型如： yaxb , x (m, n)(6) 判别式法：cxd若函数 y=f （ x）可以化成一个系数含有y 的关于 x 的二次方程 a（ y）x2+ b（ y）x+c（ y）=0，则在 a（ y） 0 时，由于 x、 y 为实数，故必须有=b2（ y） 4a（ y）c（ y） 0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x 值。(7) 最值法：对于闭区间 a,b上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间 a,b内的极值，并与边界值 f(a) ， f(b)作比较 , 求出函数的最值，可得到函数y 的值域。(8) 基本不等式法：

6、转化成型如：yxk (k 0) ，利用基本不等式公式来求值域。x(9) 单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。如果函数 y=f ( x) 在区间 a， b 上单调递增，在区间 b， c 上单调递减则函数y=f ( x) 在x=b 处有最大值 f ( b) ；如果函数 y=f ( x) 在区间 a， b 上单调递减，在区间 b， c 上单调递增则函数y=f ( x) 在=处有最小值f( )x bb(10) 数形结合：根据函数图象或函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。(11) 构造法：根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。(12) 导数法：利用导数求值域。四、解析式的求

7、法：1. 待定系数法：已知函数图象，确定函数解析式，或已知函数的类型且函数满足的方程时，常用待定系数法。2. 函数性质法：如果题目中给出函数的某些性质（如奇偶性、 周期性），则可利用这些性质求出解析式。3. 图象变换法：若给出函数图象的变化过程，要求确定图象所对应的函数解析式，则可用图象变换法。4. 换元法：5. 配凑法：6. 赋值（式）法：五、函数图象：1. 定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x A) 中的 x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点 P(x ，y) 的集合 C，叫做函数y=f(x),(x A) 的图象 C 上每一点的坐标(x ，y) 均满足函数关系y=f(x)

8、，反过来，以满足y=f(x) 的每一组有序实数对x、y 为坐标的点 (x ， y) ，均在 C 上 .2. 画法：（1）描点法：（2）图象变换法：常用变换方法有三种：平移变换、伸缩变换、对称变换3. 区间的概念（ 1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（ 2）无穷区间（ 3）区间的数轴表示六、函数的单调性：2最新资料推荐1.定义：设函数 y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x 1)f(x2) ，那么就说f(x) 在区间 D上是增函数 . 区间 D称为 y=f(x)的单调增区间 .如果对于区间D 上的任意两

9、个自变量的值x1， x2，当 x1x2 时，都有f(x 1) f(x 2 ) ，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数. 区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间 .注意：函数的单调性是函数的局部性质2. 图象的特点：如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x) 在这一区间上具有( 严格的 ) 单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的 .3. 函数单调区间与单调性的判定方法：(1) 定义法：任取 x1， x2 D，且 x1x2；作差 f(x 1) f(x2) ；12变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差f(x 1) f

10、(x 2) 的正负）；34下结论（指出函数 f(x) 在给定的区间D上的单调性） 5(2) 图象法 ( 从图象上看升降 )4. 函数单调性的常用结论：(1)若 f ( x), g ( x) 均为某区间上的增（减）函数，则 f ( x)g(x) 在这个区间上也为增（减）函数；(2)若 f ( x) 为增（减）函数，则f ( x) 为减（增）函数；(3)若 f ( x) 与 g( x) 的单调性相同，则 yf g (x) 是增函数；若f (x) 与 g(x) 的单调性不同，则 yf g ( x) 是减函数；其规律： “同增异减”(4) 奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反

11、；(5)常用函数的单调性解答：比较大小、求值域与最值、解不等式、证不等式、 作函数图象；(6)函数的单调区间只能是定义域的子区间, 不能把单调性相同的区间和在一起写成并集。七、函数的奇偶性：1.定义：一般地，对于函数f(x) 的定义域内的任意一个x，都有f( x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数一般地，对于函数f(x) 的定义域内的任意一个x，都有f( x)= f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数2.具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称3. 判断函数奇偶性的步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；2确定 f( x) 与 f(x

12、)的关系；作出相应结论：若f( x) = f(x)或 f( x) f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；3若 f( x) = f(x)或 f(x) f(x) = 0，则 f(x)是奇函数4. 函数奇偶性的常用结论：（1）如果一个奇函数在 x 0 处有定义，则 f (0) 0 ，如果一个函数 y f (x) 既是奇函数又是偶函数，则 f ( x) 0 （反之不成立）（ 2）两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。（ 3）一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。（ 4）两个函数 y f (u) 和 u g ( x) 复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就

13、是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。3最新资料推荐（5）若函数f (x) 的定义域关于原点对称，则f ( x) 可以表示为f ( x)1 f ( x) f ( x) 1 f ( x) f ( x) ，22该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。（6）若函数yf (x) 是偶函数，则f (xa)f (xa) ；若函数 yf (xa) 是偶函数，则f ( xa)f (xa) .（7）多项式函数的奇偶性多项式函数P( x) 是奇函数P( x) 的偶次项 ( 即奇数项 ) 的系数全为零 .多项式函数P( x) 是偶函数P( x) 的奇次项 ( 即偶数项 ) 的系数全为零 .八

14、、函数的对称性：1. 函数自对称：（1）关于 y 轴对称的函数（偶函数）的充要条件是f (x)f (x)（2）关于原点0,0对称的函数（奇函数）的充要条件是f ( x) f ( x)0（3）关于直线yx 对称的函数的充要条件是f1 (x)f ( x)（4）函数 yf ( x) 满足 f (a x) f (b x) 时，函数 yf ( x) 的图象关于直线xab 对称。（注：特别地，当 a=b=0 时，该函数为偶函数）2（5）函数 yf ( x) 满足 f ( a x) f ( b x)c 时，函数 yf ( x) 的图象关于点 （ ab ， c ）22对称。（注：当a=b=c=0 时，函数为奇

15、函数）2. 两个函数的图象对称性：（1） yf ( x) 与 yf( x) 关于 x 轴对称。换种说法：yf ( x) 与 yg( x) 若满足 f (x)g( x) ，即它们关于 y0 对称。（2） yf ( x) 与 yf (x) 关于 y 轴对称。换种说法：yf ( x) 与 yg( x) 若满足 f (x)g( x) ，即它们关于 x0对称。（3） yf ( x) 与 yf (2a x) 关于直线 xa对称。换种说法：yf ( x) 与 yg( x) 若满足 f (x)g(2ax) ，即它们关于xa 对称。（4） yf ( x) 与 y2af ( x) 关于直线 ya 对称。换种说法：

16、yf ( x) 与 yg( x) 若满足 f (x)g( x)2a，即它们关于ya 对称。（5） yf ( x)与 y 2bf (2a x) 关于点 a,b 对称。换种说法： yf (x) 与 yg(x) 若满足 f ( x)g(2ax)2b ，即它们关于点a, b 对称。（6） yf (ax) 与 y(x b) 关于直线 xa b对称。2（7） yf ( x) 与 yf1( x) 关于直线 y x 对称。九、函数的周期性：1定义：f ( x) ，如果存在一个非零常数T，使得当 x 取定义域内的每一个值一般地，对于函数时，都有 f ( xT)f ( x) ，那么函数f (x) 就叫做周期函数，

17、非零常数T 叫做函数的周期。2函数周期性的性质：（ 1）对于非零常数A，若函数 yf ( x) 满足 f ( x A)f ( x) ，则函数 y f ( x) 必有一个周期为 2A。（2）对于非零常数A，函数 y f ( x) 满足 f ( xA)1f ( x) 的一个周期为，则函数 yf ( x)2A。4最新资料推荐（3）对于非零常数A，函数 yf (x) 满足 f (x)1f ( x) 的一个周期为 2A。，则函数 yf ( x)3. 对称性和周期性之间的联系：（1）函数 y f ( x) 有两根对称轴 x=a，x=b 时，那么该函数必是周期函数，且对称轴之间距离的两倍必是函数的一个周期。

18、（ 2）函数 yf ( x) 满足 f ( ax)f (ax)c 和 f (bx)f (bx)c （ a b）时，函数yf ( x) 是周期函数。（函数 yf ( x) 图象有两个对称中心（a， c ）、（ b， c ）时，函数yf (x) 是周期函数，22且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期。）（3）函数 y f ( x) 有一个对称中心（ a， c）和一个对称轴 x b ）（ a b）时，该函数也是周期函数，且一个周期是 4(b a)十、一次函数：形如 ykxb, k, bR,k0 的函数十一、二次函数：1. 一般式： f ( x) ax 22. 顶点式： f ( x) a( x3. 零

19、点式： f ( x) a( xbx c, a0)2n,a0mx1 )( xx2 ), a 0十二、反比例函数：形如 yk , k 0 的函数x1. 我们常用分离常数的方法将一个分式型函数转化为反比例函数来研究：ax ba(cxd )badabadcccc 2( a, c 0)cxdcx dcxdcbbbdabd或： ax ba( xa )a xaaa cac( a c),0)()(1)(d )ddda ccx dc( xcxcxcxcccc十三、“对号”函数：形如 yaxb , a,b0的函数x1. 一般地，对于函数yaxb , a, b 0 x（）当a0, b0 时，函数在(,b ) 及 (

20、 b ,) 上为增函数，在(b ,0) 及aaa(0,b ) 上为减函数函数的值域是(, 2ab 2ab ,) a（）当 a0,b0 时，函数在 (,0) 及 (0,) 上都是增函数，值域为(,) 十四、指数函数：1. 根式的概念：如果 xna, aR, xR, n1 ，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根当n 是奇数时，5最新资料推荐a 的 n 次方根用符号n a 表示；当 n 是偶数时，正数a 的正的 n 次方根用符号n a 表示，负的 n 次方根用符号na表示；0的 n 次方根是0；负数 a 没有 n 次方根式子 n a 叫做根式， 这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数 当

21、 n 为奇数时， a 为任意实数；当 n 为偶数时， a 0 2. 根式的性质： ( n a )na ；当 n 为奇数时， nana ；当 n 为偶数时，n ana(a0)| a |(a0)a3. 分数指数幂的概念：规定： 1） a nna aa(nN )；2） a 01( a0) ；n 个3） a p1p ( p Q)amn am (a正数的正分数指数幂的意义是：a n0, m, nN , 且 n1)0 的正分数指数幂等于0mmn ( 1) m (a 0, m, n正数的负分数指数幂的意义是：a n( 1 ) nN , 且 n 1)aa0 的负分数指数幂没有意义注意口诀：底数取倒数，指数取相

22、反数4.分数指数幂的运算性质：arasar s(a0,)r)sars(a 0, r , s R)rs R (a (ab)rar br (a0,b0, rR)（注）上述性质对 r、 sR 均适用。5. 指数函数：函数名称指数函数定义函数yax (a 0 且 a1) 叫做指数函数a 10 a1yya xy a xy图象y 1y 1(0,1)(0,1)OxOx定义域R值域(0,)过定点图象过定点 (0,1) ，即当 x0 时， y1奇偶性非奇非偶单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数6最新资料推荐ax1( x 0)ax1 (x 0)函数值的ax1( x 0)ax1 ( x 0)变化情况ax1(

23、x 0)ax1 ( x 0)a 变化a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低对图象在第一象限内，的影响十五、对数函数：1. 对数：0, 且 a 1) 的 b 次幂等于 N ，就是 a b定义：如果 a( aN ，那么数 b 称以 a 为底 N 的对数，记作 log aNb, 其中 a 称对数的底， N 称真数1）以 10 为底的对数称常用对数，log 10 N 记作 lg N ；2）以无理数 e( e2.71828) 为底的对数称自然对数，log e N ，记作 ln N基本性质：1）真数 N 为正数（负数和零无对数）；2）对数恒等式： loga 1 0 ， log a a1 ，3）对

24、数式与指数式的互化：xlog a N运算性质：如果 a 0, a 1,M0, N0，那么1）加法： log a Mlog a Nlog a ( MN )2）减法： loga Mlog a Nlog aMlog a M n (nN3）数乘： n log a MR)log mN0, a4）换底公式： log a N(alog m aalog a NN ， log a abba xN (a0, a 1, N0)0, m0, m1, N0) ；log a b log b a 1；log am bn n log a bm2. 对数函数：函数名称对数函数定义函数 ylog a x(a0 且 a1) 叫做对

25、数函数a 10a1x1x1yyloga xyyloga x图象O(1,0)x(1,0)Ox7最新资料推荐定义域(0, )值域R过定点图象过定点 (1,0)，即当 x1 时， y0奇偶性非奇非偶单调性在 (0,) 上是增函数在 (0,) 上是减函数log ax0(x1)log ax0( x1)函数值的log ax0(x1)log ax0( x1)变化情况log ax0(0x 1)log ax0(0x 1)a 变化对图象在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高的影响十六、幂函数：1. 幂函数的定义一般地，函数yx 叫做幂函数，其中x 为自变量，是常数2. 幂函数的图象3.

26、 幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象 幂函数是偶函数时，图象分布在第一、 二象限 (图象关于 y 轴对称 )；是奇函数时， 图象分布在第一、 三象限 (图象关于原点对称 )；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限过定点：所有的幂函数在(0,) 都有定义，并且图象都通过点(1,1)单调性：如果0 ，则幂函数的图象过原点，并且在0,) 上为增函数如果0 ，则幂8最新资料推荐函数的图象在 (0,) 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与 y 轴奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数， 当 为偶数时， 幂函数为偶函数 当q（其中p, qpq互质， p 和 qZ

27、 ），若 p 为奇数 q 为奇数时， 则 yx p 是奇函数， 若 p 为奇数 q 为偶数时，qq则 y x p 是偶函数，若 p 为偶数 q 为奇数时，则 y x p 是非奇非偶函数图象特征：幂函数 y x , x(0,) ，当1时，若 0x1 ，其图象在直线yx 下方，若x 1 ，其图象在直线yx 上方，当1时，若 0x1 ，其图象在直线yx 上方，若x 1 ，其图象在直线 y x 下方十七、复合函数：1.定义：设 y=f(u) 的定义域为 A，u=g(x) 的值域为 B，若 AB，则 y 关于 x 函数的 y=f g(x) 叫做函数 f 与 g 的复合函数， u 叫中间量 .2.定义域：

28、(1)已知的定义域为 (a,b) ，求的定义域的方法：实际上是已知中间变量的的取值范围，即，通过解不等式求得的范围，即为的定义域。(2)已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：实际上是已知直接变量的取值范围，即。先利用求得的范围，则的范围即是的定义域。3. 值域：关键是由里向外，逐层解决。4. 解析式：(1) 已知求复合函数的解析式，直接把中的换成即可。(2) 已知求的常用方法有：配凑法和换元法。1、配凑法就是在中把关于变量的表达式先凑成整体的表达式，再直接把换成而得2、换元法就是先设，从中解出（即用表示），再把（关于的式子）直接代入中消去得到，最后把中的直接换成即得5. 单调性：（1）引

29、理证明：已知函数 yf ( g (x) . 若 ug( x) 在区间 (a, b ）上是减函数，其值域为(c ，d) ，又函数 yf (u) 在区间 (c,d)上是减函数，那么，原复合函数yf ( g (x) 在区间 (a, b ）上是增函数 .（2）复合函数单调性的判断：复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便， 我们把它们总结成一个图表：yf (u)增 减 9最新资料推荐u g ( x)增 减 增 减 y f ( g (x)增 减 减 增 以上规律还可总结为： “同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3）复合函数 yf ( g( x) 的单调性判断步骤：1、确定函数的定义域；2、

30、将复合函数分解成两个简单函数：yf (u) 与 ug (x) 。3、分别确定分解成的两个函数的单调性；4、若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数 yf ( g( x) 为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数yf ( g( x) 为减函数。6. 奇偶性：（ 1）若内函数为偶函数，那么复合函数的奇偶性与外函数无关，必为偶函数；（ 2）若内与外函数都为奇函数，那么复合函数也是奇函数；（ 3）若内函数为奇函数，外函数为偶函数，那么复合函数必为偶函数。除以上类型外，其它类复合函数的奇偶性和须严格按函数

31、奇偶性定义来判断。十八、抽象函数：1. 定义：所谓抽象函数问题，是指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质。解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。2. 几类常见的抽象函数：序号1234567抽象函数满足条件f ( x1x2 )f (x1)f (x2 )f ( x1x2 )f (x1) f ( x2 )f ( x1x2 )f ( x1 )f (x2 )f ( x1 x2 )f ( x1 )f ( x2 )或 f ( x1 )f ( x1 )f ( x2 )x2f ( x1 x2 )f ( x1) f ( x2 ) 或 f ( x )f ( x)f ( y)yf (x1) f (x2 ) 2 f ( x1x2 ) f ( x1x2 )22f (xy )f ( x )f ( y)1f (x )f (y )f (x1)f ( x2 )f ( x1x2 )1x1x2代表函数正比