误差分析及处理 第二章误差的基本性质与处理.ppt

1、第二章 误差的基本性质与处理,由误差公理知道，任何测量总是不可避免地存在误差，为了提高测量精度，必须尽可能消除或减少误差，因此有必要对各种误差的性质、出现规律、产生原因、发现与消除或减小它们的主要方法以及测量结果的评定等方面，作进一步的分析。,第一节 随机误差 第二节 系统误差 第三节 粗大误差 第四节 测量结果的数据处理实例,第一节 随机误差,当对同一量值进行多次等精度的重复测量时，得到一系列不同的测量值（常称为测量列），每个测量值都含有误差，这些误差的出现没有确定的规律，即前一个误差出现后，不能预定下一个误差的大小和方向，但就误差的总体而言，却具有统计规律性，该类误差称为随机误差。,随机误

2、差是由人们不能掌握，不能控制，不能调节，更不能消除的微小因素造成。这些因素主要有以下几方面： 1. 测量装置方面的因素：零部件配合的不稳定性、零部件的变形、零件表面油膜不均匀、摩擦等。 2. 环境方面的因素：温度的微小波动、湿度与气压的微量变化、光照强度变化、灰尘以及电磁场变化等。 3. 人员方面的因素：瞄准、读数的不稳定等。,一、随机误差的产生原因,二、随机误差的本质特征,1、具有随机性：测量过程中误差的大小和符号以不可预知形式的形式出现。 2、产生在测量过程之中：影响随机误差的因素在测量开始之后体现出来。 3、与测量次数有关系：增加测量次数可以减小随机误差对测量结果的影响。,三、随机误差的

3、分布,（一）正态分布（normal distribution） 多数随机误差都服从正态分布，因而正态分布在误差理论中具有十分重要的地位。,（1）有界性 在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限。即随机误差总是有界限的，不可能出现无限大的随机误差。 （2）对称性 绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等。 （3）抵偿性 由随机误差的对称性知，绝对值相等的正负误差出现的次数相等。因此，取这些误差的算术平均值时，绝对值相等的正负误差产生相互抵消现象。对于有限次测量，随机误差的算术平均值是一个很小的量，而当测量次数无限增大时，它趋向于零。 （4）单峰性 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的

4、次数多。,1. 服从正态分布随机误差的特征,设被测量的真值为L0，一系列测量值为li，则测量列中的随机误差i为： i li L0 式中，i=1,2,n。 正态分布的概率分布密度f()与分布函数F ()为 式中，为标准差（或称为方均根误差）；e为自然对数的底，其值为2.7182。,其数学期望为 方差为 平均误差为 此外由 可解得或然误差为,图21,图2-1所示为正态分布曲线以及各精度参数在图中的坐标。值为曲线上拐点A的横坐标，值为曲线右半部面积重心B的横坐标，值的纵坐标线则平分曲线右半部面积。,A,B,2. 算术平均值,对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测

5、得值的算术平均值作为最后测量结果。 （1）算术平均值的意义,在等权测量条件下，对某被测量进行多次重复测量，得到一系列测量值,常取算术平均值,作为测量结果的最佳估计（真值）。,无限多次测量算术平均值作为真值的理论依据,在测量次数无限增多，且无系统误差的情况下，由概率论的大数定律可知，算术平均值以概率为1趋近于真值。,因为,根据正态分布随机误差的抵偿性，当n充分大时，有,由此可见，如果能够对某一量进行无限多次测量，就可得到不受随机误差影响的测量值，或其影响甚微，可予忽略。这就是当测量次数无限增大时，算术平均值（数学上称之为最大或然值）被认为最接近于真值的理论依据。由于实际上都是有限次测量，我们只能

6、把算术平均值近似地作为被测量的真值。,一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按式：i li L0求得随机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算，则有 式中，li为第i个测得值，i=1,2,n；vi为li的残余误差（简称残差）。 如果测量列中的测量次数和每个测量数据的位数皆较多，直接按 计算算术平均值，既繁琐， 又容易产生错误，此时可用简便法进行计算。,（2）算术平均值简便计算法,任选一个接近所有测得值的数l0作为参考值，计算出每个测得值li与l0的差值，lilil0，i=1,2,n； 因 则 式中的 为简单数值，很容易计算，因此按式一求算术平均值比较简便。,例2-1 测量某物理量10

7、次，得到结果如表2-1，求算术平均值。 表2-1,任选参考值：l0=1879.65计算差值li和 列于表中，很容易求得算术平均值,（3）算术平均值的计算校核,算术平均值及其残差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。根据残差的定义式，有残余误差的代数和为 式中的算术平均值根据下式计算： 则有 ，即残余误差代数和为零。,利用残余误差代数和为零的性质，可以校核算术平均值及其残余误差计算的正确性。但是在实际计算中，经常遇到小数位较多或除不尽的情况，此时必须根据测量的有效数字，按数据舍入规则，对算术平均值进行截取与凑整，带来舍入误差，即 而,利用残余误差代数和校核算术平均值及其残余误差的规

8、则为： 1)残余误差代数和应符合： 当 ，求得的 为未经截取与凑整的准确数时， ； 当 ，求得的 为已经截取与凑整的非 准确数时， 为正，其大小为求 时的余数； 当 ，求得的 为经截取与凑整的非准确数时， 为负，其大小为求 时的亏数。,2)残余误差代数和绝对值应符合： 当n为偶数时， ; 当n为奇数时， 。 式中的A为实际求得的算术平均值末位数的一个单位。（因为按数字舍入规则进行算术平均值截取和凑整，其舍入误差皆不超过保留数字最末位的半个单位） 以上两种校核规则，可根据实际运算情况选择一种进行校核，大多数情况可能选用第二种规则比较方便，因其无需知道所有测得值之和。,例2-2 以例2-1数据，对

9、计算结果进行校核。 解：因n10为偶数， ，A=0.01，由表2-1知 故计算结果正确。,例2-3 测量某直径11次，得到结果如表2-2，求算术平均值并进行校核。 表2-2,取 用第一种规则校核,用第二种规则校核，则有 故用两种规则校核皆说明计算结果正确。,（1）单次测量的标准偏差 由于随机误差的存在，等精度测量列中各个测得值一般皆不相同，它们围绕着该测量列的算术平均值有一定的分散，此分散度说明了测量列中单次测得值的不可靠性，因此必须用一个数值作为其不可靠性的评定标准。 符合正态分布的随机误差概率分布密度为 由上式可知，值愈小，则e的指数的绝对值愈大，因而f()减小得愈快，即曲线变陡。而值愈小

10、，在e前面的系数值变大，即对应于误差为零（0）的纵坐标也大，曲线变高。反之， 值愈大，则e的指数的绝对值愈小，因而f()减小得愈慢，曲线平坦，同时对应于误差为零的纵坐标也小，曲线变低。,3. 测量的标准偏差,测量的标准偏差简称为标准差，也可称之为方均根误差。,图22,标准差的数值小，该测量列相应小的误差就占优势，任一单次测得值对算术平均值的分散度就小，测量的可靠性就大，即测量精度高，如图中0.5的曲线；反之，测量精度就低，如图中2的曲线。因此单次测量的标准差是表征同一被测量的n次测量的测得值分散性的参数，可作为测量列中单次测量不可靠性的评定标准。,注意：标准差不是测量列中任何一个具体测得值的随

11、机误差， 的大小只说明，在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况。在该条件下，任一单次测得值的随机误差，一般都不等于，但却认为这一系列测量中所有测得值都属同样一个标准差的概率分布。在不同条件下，对同一被测量进行两个系列的等精度测量，其标准差也不相同。 在等精度测量列中，单次测量的标准差按下式计算： 式中，n为测量次数（应充分大）；i为测得值与被测量的真值之差。 当被测量的真值为未知时，按上式不能求得标准差。实际上，在有限次测量情况下，可用残余误差vi来代替真误差，而得到标准差的估计值,由式 可得 式中， 称为算术平均值的误差，将其和 代入上式，则有 将式二对应项相加得,若将式二平方后再相

12、加则得 将式 平方有 当n适当大时，可认为 趋近于零，并将 代入式三得 由于 即 代入式四得,上式称为贝塞尔（Bessel）公式，通过此式可由残余误差求得单次测量的标准差的估计值。 评定单次测量不可靠性的参数还有或然误差和平均误差，可用残余误差表示为,在多次测量的测量列中，是以算术平均值作为测量结果，因此必须研究算术平均值不可靠性的评定标准。 如果在相同条件下对同一量值作多组重复的系列测量，每一系列测量都有一个算术平均值。由于随机误差的存在，各个测量列的算术平均值也不相同，它们围绕着被测量的真值有一定的分散。此分散说明了算术平均值的不可靠性，而算术平均值的标准差 则是表征同一被测量的各个独立测

13、量列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。 （2）算术平均值的标准偏差 算术平均值 取方差 因 故有 所以,因此在n次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差是单次测量标准差的 ，当测量次数n愈大时，算术平均值愈接近被测量的真值，测量精度也越高。 增加测量次数，可以提高测量精度，但由算术平均值标准差的计算式 可知 测量精度与测量次数的平方根成反比，因此要显著地提高测量精度，必须付出较大的劳动。,由左图可知，一定时，当n10以后， 已减少得非常缓慢。此外由于测量次数越多时，也越难保证测量条件的恒定，从而带来新的误差，因此一般情况下取n10较为适宜。总之，要提高测量精度，应采

14、用适当精度的仪器，选取适当的测量次数。,例：已知测量的单次测量标准偏差0.12。若在不改变测量条件的情况下，要使被测量估计值的标准偏差达到0.04，需测量多少次？ 解：以算术平均值作为被测量的估计值，适当增加测量次数，以满足测量精密度的需要。 由算术平均值标准差的计算式得： 即测量次数： 即对被测量进行9次以上重复测量，它们的算术平均值的精密度便可达到要求。,评定算术平均值的精度标准，也可用或然误差R和平均误差T，相应的公式为 用残余误差vi来表示，有,例2-4 用游标卡尺对某一尺寸测量10次，假定已消除系统误差和粗大误差，得到数据如下（单位mm）： 75.01 75.04 75.07 75.

15、00 75.03 75.09 75.06 75.02 75.05 75.08求算术平均值及其标准差。,解：其算术平均值的计算及校核结果如表2-3所示，表中的算术平均值 因为 与表中的 结果一致，故计算正确。 根据各个误差计算公式可得,除了贝塞尔公式外，计算标准差还有别捷尔斯法、极差法及最大误差法等。 （3）标准差的其他计算法 1）别捷尔斯法（Peters） 由贝塞尔公式，有 此式近似为 则平均误差为,故有 上式即为别捷尔斯公式，它可由残余误差的绝对值之和求出单次测量的标准差，而算术平均值的标准差为,用贝塞尔公式和别捷尔斯公式计算标准差均需先求算术平均值，再求残余误差，然后进行其他运算，计算过程

16、比较复杂。当要求简便迅速算出标准差时，可用极差法。 2）极差法 若等精度多次测量测得值 服从正态分布，则其中的最大值xmax与最小值xmin之差称为极差，即 根据极差的分布函数，可求出极差的数学期望为 因 故可得标准差的无偏估计值，若仍以表示，则有 表2-4列出了dn的数值。极差法可简单迅速算出标准差，并具有一定的精度，一般在n10时均可采用。,3）最大误差法,当各个独立测量值服从正态分布时，估计标准差的计算公式为,A.在已知被测量的真值（或约定真值）的情况下，多次独立测得的数据为 可算出随机误差，取其中绝对值最大的一个值,B.被测量的真值未知时，则不能按上式来计算标准差，应按最大残余误差进行

17、计算，其关系式为 系数 , 的倒数见表2-5。注意最大残余误差法不适用于n1的情形。 最大误差法简单、迅速、方便，容易掌握，因而有广泛的用途。当n10时，最大误差法具有一定的精度。,例2-8 某激光管发出的激光波长经检定为=0.63299130m，由于某些原因未对此检定波长作误差分析，但后来又用更精确的方法测得激光波长=0.63299144m，试求原检定波长的标准差。 解：因后测得的波长是用更精确的方法，故可认为其测得值为实际值（或约定真值），则原检定波长的随机误差为 =0.63299130m-0.63299144m=-1410-8 m 查表2-5可知， 故标准差为,在代价较高的实验中（如破坏

18、性实验），往往只进行一次实验，此时贝塞尔公式成为 无法计算标准差。在这种情况下，又特别需要尽可能 地估算其精度，因而最大误差法就显得特别有用。 以上介绍的几种标准差计算法，简便易行，且具有一定的精度，但其可靠性均较贝塞尔公式要低，因此对重要的测量或几种方法计算的结果出现矛盾时，仍应以贝塞尔公式为准。,极限误差是指极端误差，是误差不应超过的界限，测量结果（单次测量或测量列的算术平均值）的误差不超过该极端误差的置信概率为P，并使差值(1P)可以忽略。此极端误差称为测量的极限误差。 （1）单次测量的极限误差 测量列的测量次数足够多且单次测量误差为正态分布时，根据概率论知识，可求得单次测量的极限误差。

19、 由概率积分可知，随机误差正态分布曲线下的面积相当于全部误差出现的概率，即 而随机误差在至范围内的概率为 引入新的变量t,4. 测量的极限误差,经变换，有 函数(t)称为概率积分，不同t的(t)值可由附录表1查得。 若某随机误差在t范围内出现的概率为2 (t)，则超出的概率为=1-2 (t) 表2-6给出了几个典型的t值及其相应的超出或不超出 的概率，见图2-4。 由表可见，随着t的增大，超出 的概率减小得很快。当t=2，即 时，在22次测量中只有1次的误差绝对值超出2范围；而当t=3，即 时，在370次测量中只有1次的误差绝对值超出3范围。由于在一般测量中，测量次数很少超过几十次，因此可以认

20、为绝对值大于3的误差是不可能出现的，通常把这个误差称为单次测量的极限误差 ，即 当t=3时，对应的概率P99.73%。,在实际测量中，有时也可取其他t值来表示单次测量的极限误差，如取t2.58，P99%； t2，P95.44%； t1.96，P95%等。因此一般情况下，测量列单次测量的极限误差可用下式表示： 若已知测量的标准差，选定置信系数t，则可由上式求得单次测量的极限误差。,（2）算术平均值的极限误差 测量列的算术平均值与被测量的真值之差称为算术平均值误差 ，即 当多个测量列的算术平均值误差 为正态分布时，根据概率论知识，同样可得测量列算术平均值的极限误差表达式为 式中，t为置信系数； 为

21、算术平均值的标准差。 通常取t3，则,实际测量中，有时也可取其他t值来表示算术平均值的极限误差。但当测量列的次数较少时，应按“学生式”分布（“Student” distribution）或称t分布来计算测量列算术平均值的极限误差，即 式中的ta为置信学生，它由给定的置信概率P=1-和自由度n1来确定，具体数值见附录表3； 为超出极限误差的概率（称显著度或显著水平），通常取0.01或0.02，0.05；n为测量次数； 为n次测量的算术平均值标准差。 对于同一个测量列，按正态分布和t分布分别计算时，即使置信概率的取值相同，但由于置信系数不相同，因而求得的算术平均值极限误差也不相同。当测量列的次数较

22、少时，应按t分布来计算测量列算术平均值的极限误差。,例2-9 对某量进行6次测量，测得数据如下： 802.40，802.50，802.38，802.48，802.42，802.46 求算术平均值及其极限误差。 解：算术平均值 标准差 因测量次数较少，应按t分布计算算术平均值的极限误差。 已知v=n-1=5，取=0.01，则由附录表3查得t=4.03，故算术平均值的极限误差为 若按正态分布计算，取=0.01，相应的置信概率P=1- =0.99=2(t)，由附录表1查得t2.58，则得算术平均值的极限误差为 由此可见，当测量次数较少时，按两种分布计算的结果有明显差别。,前面讲述的内容皆是等精度测量

23、的问题，在一般测量实践中基本上都属这种类型。但为了得到更精确的测量结果，如在科学研究或高精度测量中，往往在不同的测量条件下，用不同的仪器、不同的测量方法、不同的测量次数以及不同的测量者进行测量与对比，这种测量称为不等精度测量。 在一般测量工作中，常遇到的不等精度测量有两种情况： 第一种情况，用不同测量次数进行对比测量。例如用同一台仪器测量某一参数，先后用n1次和n2次进行测量，分别求得算术平均值 和 。因为n1n2，显然 与 的精度不一样，如何求得最后的结果及其精度？ 第二种情况，用不同精度的仪器进行对比测量。例如对于高精度或重要的测量任务，往往要用不同精度的仪器进行互比核对测量，显然所得到的

24、结果不会相同，如何求得最后的测量结果及其精度？ 对于不等精度测量，计算最后测量结果及其精度（如标准差），不能套用前面等精度测量的计算公式，需推导出新的计算公式。,5. 不等精度测量,（1）权的概念 在等精度测量中，各个测得值可认为同样可靠，并取所有测得值的算术平均值作为最后测量结果。在不等精度测量中，各个测量结果的可靠程度不一样，因而不能简单地取各测量结果的算术平均值作为最后测量结果，应让可靠程度大的测量结果在最后结果中占的比重大一些，可靠程度小的占比重小一些。各测量结果的可靠程度可用一数值来表示，这个数值即称为该测量结果的“权”，记为p。因此测量结果的权可理解为，当它与另一些测量结果比较时，

25、对该测量结果所给予的信赖程度。,（2）权的确定方法 既然测量结果的权说明了测量的可靠程度，因此可根据这一原则来确定权的大小。例如可按测量条件的优劣、测量仪器和测量方法所能达到的精度高低、重复测量次数的多少以及测量者水平高低等来确定权的大小，也即测量方法愈完善，测量精度愈高，所得测量结果的权也应愈大。在相同条件下，由不同水平的测量者用同一种测量方法和仪器对同一被测量进行测量，显然对于经验丰富的测量者所测得的结果应给予较大的权。,最简单的方法是按测量的次数来确定权，即测量条件和测量者水平皆相同，则重复测量次数越多，其可靠程度也越大，因此完全可由测量的次数来确定权的大小，即pini。 假定同一个被测

26、量有m组不等精度的测量结果，这m组测量结果是从单次测量精度相同而测量次数不同的一系列测量值求得的算术平均值。因为单次测量精度皆相同，其标准差均为，则各组算术平均值的标准差为 由此可得 因为pini，故上式又可写成 或表示为,由此可得出结论：每组测量结果的权与其相应的标准差平方成反比，若已知各组算术平均值的标准差，则可按式五确定相应权的大小。测量结果的权的数值只表示各组间的相对可靠程度，它是一个无量纲的数，允许各组的权数乘以相同的系数，使其以相同倍数增大或减小，而各组间的比例关系保持不变，但通常皆将各组的权数予以简约，使其中最小的权数为不可再约简的整数，以便用简单的数值来表示各组的权。,例2-1

27、0 对一级钢卷尺的长度进行了三组不等精度测量，其结果为 求各测量结果的权。 解：由式五得 因此各组的权可取为,（3）加权算术平均值 若对同一被测量进行m组不等精度测量，得到m个测量结果 ，设相应的测量次数为 ，即 根据等精度测量算术平均值原理，全部测量的算术平均值 应为 将式六代入上式得 或简写成,当各组的权相等，即 时，加权算术平均值可简化为 由式七求得的结果即为等精度的算术平均值，由此可知等精度测量是不等精度测量的特殊情况。 为简化计算，加权算术平均值可用下式表示： 式中的x0为接近 的任选参考值。,例2-11 工作基准米尺在连续三天内与国家基准器相比较，得到工作基准米尺的平均长度为999

28、.9425mm（三次测量的），999.9416mm（两次测量的），999.9419mm（五次测量的），求最和测量结果。 解：按测量次数来确定权：p1=3， p2=2， p3=5， 选取x0999.94mm，则有,（4）单位权概念 由 知 此式又可表示为 式中的为等精度单次测得值的标准差。由此可认为，具有同一方差2的等精度单次测得值的权数为1。若已知方差2 ，只要确定各组的权pi，就可按式八分别求得各组的方差 。由于测得值的方差2 的权数为1在此有特殊用途，故特称等于1的权为单位权，而2 为具有单位权的测得值方差， 为具有单位权的测得值标准差。 在不等精度测量中，各个测量结果的精度不等，权数也不

29、相同，不能应用等精度测量的计算公式。有时为了计算需要，可将不等精度测量列转化为等精度测量列，这样就可用等精度测量的计算公式来处理不等精度测量结果。所采用的方法是使权数不同的不等精度测量列转化为具有单位权的等精度测量列，即所谓的单位权化。,单位权化的实质是使任何一个量值乘以自身权数的平方根，得到新的量值权数为1。若将不等精度测量的各组测量结果 皆乘以自身权数的平方根 ，此时得到的新值z的权数就为1。证明如下： 设 取方差 前面已知各组测量结果的权数与相应的方差成反比，若用权数来表示上式中的方差，则有 由此可知，单位权化以后得到的 新值z的权数pz为1。用这种方法可将 不等精度的各组测量结果皆进行

30、单位权化，使该测量列转化为等精度测量列。,（5）加权算术平均值的标准差 对同一被测量进行m组不等精度测量，得到m个测量结果 ，若已知单位权测得值的标准差，则有 而全部（mn个）测得值的算术平均值 的标准差为 比较上面两式得 因为 代入式九得,由上式可知，当各组测量的总权数 为已知时，可由任一组的标准差 和相应的权pi，或者由单位权的标准差求得加权算术平均值的标准差 。 当各组测量结果的标准差为未知时，则不能直接应用上式，而必须由各测量结果的残余误差来计算加权算术平均值的标准差。 已知各组测量结果的残余误差为 将各组 单位权化，则有 因为上式中各组新值 已为等精度测量列的结果，相应的 也成为等精

31、度测量列的残余误差，则可用 代替vi代入等精度测量的公式,得到 再将上式代入右式 得 用上式可由各组测量结果的残余误差求得加权算术平均值的标准差，但必须指出，只有当组数m足够多时，才能得到较为精确的 值，一般情况下，只能得到近似的估计值。,例2-12 工作基准米尺在连续三天内与国家基准器相比较，得到工作基准米尺的平均长度为999.9425mm（三次测量的），999.9416mm（两次测量的），999.9419mm（五次测量的），求加权算术平均值的标准差。 解：由加权算术平均值 可得各组测量结果的残余误差为 已知m3，p13，p22，p35 代入,（二）均匀分布（uniform distribu

32、tion） 均匀分布又称矩形分布或等概率分布，是测量实践中经常遇到的一种随机误差分布，其主要特点为：误差有一确定的范围，在此范围内，误差出现的概率各处相等。如仪器度盘刻度引起的误差；仪器传动机构的空程误差；大地测量中基线尺受滑轮摩擦力影响的长度误差；数字式仪器在1单位以内不能分辨的误差；数据计算中的舍入误差等，均为均匀分布误差。,当|a 当|a,它的数学期望为：,它的方差为：,它的标准偏差为：,均匀分布的概率密度函数为：,分布函数为：,当a 当 -a a 当a,它的概率密度为： 分布函数为 数学期望： E（） 0 方差为： 标准偏差为：,（三）反正弦分布（arcsine distributio

33、n） 反正弦分布实际上是一种随机误差的函数的分布规律，其特点为：该随机误差与某一角度成正弦关系。例如仪器度盘偏心引起的角度测量误差；电子测量中谐振的振幅误差等，均为反正弦分布。,（四）三角形分布（triangular distribution） 当两个误差限相同且服从均匀分布的随机误差求和时，其和的分布规律服从三角形分布，又称辛普逊（Simpson）分布。在实际测量中，若整个测量过程必须进行两次才能完成，而每次测量的随机误差服从相同的均匀分布，则总的测量误差为三角形分布误差。例如进行两次测量过程时数据凑整的误差；用代替法检定标准砝码、标准电阻时，两次调零不准所引起的误差等，均为三角形分布误差。

34、,三角分布的概率密度函数为：,数学期望：,E（） 0,它的方差为：,它的标准偏差为：,分布函数为：,注意：当两个误差限 不相等的均匀分布随机误差求和时，其和的分布规律不是三角形分布，而是梯形分布。,（五） 2分布（Chisquared distribution）,设随机变量X1，X2，X相互独立，且都服从标准正态分布N（0，1），则随机变量 的概率密度为,特征量为： 由图可见，当逐渐增大时，曲线接近对称，当充分大时， 2曲线趋近于正态曲线， 称为自由度，它的改变将引起分布曲线的相应改变。最小二乘法中要用到2分布，此外它也是t分布和F分布的基础。,设随机变量X与Y相互独立，X服从标准正态分布 N

35、（0，1），Y服从自由度为的2分布，则随机变量 的概率密度 t分布的主要分布特征量为： t分布的数学期望为零，分布密度曲线对称于纵坐标轴，当自由度较小时，t分布与正态分布有明显的区别，但当自由度时，t分布曲线趋近于正态分布曲线。,（六） t分布（t distribution） t分布是一种重要的分布，当测量列的测量次数较少时，极限误差的估计，或者在检验测量数据的系统误差时经常用到它。,设随机变量X与Y分别服从自由度为1、 2的2分布，则随机变量 的概率密度 t分布的主要分布特征量为：,（七） F分布（F distribution） F分布也是一种重要的分布，在检验统计假设和方差分析中经常应用。

36、,第二节 系统误差,前面所述的随机误差处理方法，是以测量数据中不含有系统误差为前提。实际上，测量过程中往往存在系统误差，在某些情况下的系统误差数值还比较大。因此测量结果的精度，不仅取决于随机误差，还取决于系统误差的影响。由于系统误差是和随机误差同时存在测量数据之中，且不易被发现，多次重复测量又不能减小它对测量结果的影响，这种潜伏性能使得系统误差比随机误差具有更大的危险性。因此研究系统误差的特征与规律性，用一定的方法发现和减小或消除系统误差十分重要。否则，对随机误差的严格数学处理将失去意义，或者其效果甚微。,一、系统误差的定义,在相同条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变

37、时，按一定规律变化的误差。,二、系统误差的产生原因,系统误差是由人们可掌握，可控制，可调节，理论上能消除的因素造成。系统误差是可以设法预测的,测量装置和测量人员的因素,测量装置的因素,仪器附件制造偏差,仪器设计原理上的缺陷,仪器零件制造和安装的不正确,标准环规的直径偏差,齿轮杠杆测微仪直线位移和转角不成比例的误差,标尺的刻度误差、刻度盘和指针的安装偏心、仪器导轨的误差,测量人员的因素,由于测量者的个人特点，如在刻度上估计读数时，习惯偏于某一方向，记录动态测量数据时有一个滞后的倾向等。,测量环境的因素,测量方法的因素,测量环境和测量方法的因素,测量时的实际温度对标准温度的偏差，测量过程中温度、湿

38、度等按一定规律变化的误差。,采用近似的测量方法或近似的计算公式等所引起的误差。,用均值电压表测量交流电压时，由于计算公式出现无理数 和 ，取近似公式 ，由此产生的误差,在间接测量中常见此类误差,恒定（常量）,2. 根据对系统误差的掌握程度分类,1. 根据系统误差在测量过程中所具有的不同变化特性分类,可变（线性、周期性、其他复杂规律）,已定的,未定的,三、系统误差的分类,恒定系统误差,在整个测量过程中，误差大小和符号均固定不变的系统误差,某量块的公称尺寸为10mm，实际尺寸为10.001mm,误差为0.001mm,若按公称尺寸使用,则始终会存在0.001mm的系统误差,某千分尺零位位置不指零，也

39、会在使用过程中造成对每次测量量值读数的一个常量的零值误差,可变系统误差,在整个测量过程中，误差的大小和符号随着测量位置或时间的变化而发生有规律的变化,线性变化系统误差,周期性变化系统误差,复杂规律变化系统误差,线性变化系统误差,在整个测量过程中，随着测量位置或时间的变化，误差值成比例地增大或减小，称该误差为线性变化系统误差,刻度值为1mm的标准刻尺，存在刻划误差 ，每一刻度间距实际为 ，若用它与另一长度比较，得到比值为 ，则被测长度的实际值为 由于测量值为 ，故产生的系统误差,是随测量值 的大小而线性变化的,周期性变化系统误差,在整个测量过程中，随着测量位置或时间的变化，误差按周期性规律变化的

40、，称其为周期性变化系统误差,仪表指针的回转中心与刻度盘中心有一个偏离值 ，则指针在任一转角 处引起的读数误差为 。此误差变化规律符合正弦曲线规律，当指针在00和1800时误差为零，而在900和2700时误差绝对值达最大,齿轮、光学分度头中分度盘等安装偏心引起的齿轮齿距误差、分度误差，都是属于正弦规律变化的系统误差,复杂规律变化系统误差,在整个测量过程中，随着测量位置或时间的变化，误差按确定的更为复杂的规律变化，称其为复杂规律变化系统误差,微安表的指针偏转角与偏转力矩不能保持线性关系，而表盘仍采用均匀刻度所产生的误差,复杂规律一般可建立诸如代数多项式、三角多项式或其他正交函数多项式等数学模型来描

41、述,各类特征系统误差图示,曲线a是恒定系统误差，曲线b是线性变化系统误差，曲线c是非线性变化系统误差，曲线d是周期性变化系统误差，曲线e是复杂规律变化系统误差。,已定系统误差和未定系统误差,指误差的大小和符号均已确切掌握了的，因此在处理和表征测量结果时，是属于可修正的系统误差。,指这类系统误差的大小和符号不能完全确切掌握的，因此在处理和表征测量结果时，是属于不可修正的系统误差。,已定系统误差,未定系统误差,1、具有确定规律性：测量过程中误差的大小和符号固定不变，或按照确定的规律变化。 2、产生在测量开始之前：影响系统误差的因素在测量开始之前就已经确定。 3、与测量次数无关：增加测量次数不能减小

42、系统误差对测量结果的影响。,四、系统误差的特点,1影响测量最佳值的估计,设有一组常量测量数据 中分别存在系统误差 和随机误差 ，真值记为,则这组测量数据的算术平均值,系统误差一般不具有抵偿性，即,系统误差会影响对算术平均值的估计,五、系统误差对测量结果的影响,2. 可变系统误差影响测量结果分散性的估计,测量数据的残余误差,对于恒定系统误差，上式第二项 为零，说明恒定系统误差不会影响对残差的计算，因而不会对标准差的估计产生影响,对于可变系统误差的情形，上式第二项一般不为零，说明可变系统误差还会对标准偏差的估计产生影响,由于它在数据处理中只影响算术平均值，而不影响残差及标准差，所以除了要设法找出该

43、恒定系统误差的大小和符号，对算术平均值加以修正外，不会影响其他数据处理的过程。,由于它对算术平均值和残差均产生影响，所以应在处理测量数据的过程中，必须要同时设法找出该误差的变化规律，进而消除其对测量结果的影响。,可变系统误差,恒定系统误差,小结,发现系统误差的常用方法,实验对比法 残余误差观察法 残余误差校核法 不同公式计算标准差比较法 计算数据比较法 秩和检验法 t检验法,在测量过程中形成系统误差的因素是复杂的，通常人们难于查明所有的系统误差，即使经过修正系统误差，也不可能全部消除系统误差的影响。但是，人们在实际测量的工作过程中，经过不断的探索与总结，还是有一些发现系统误差的行之有效的方法,

44、六、系统误差的发现与统计检验,用于发现测量列组内的系统误差,用于发现各组测量之间的系统误差,1、实验对比法 改变产生系统误差的条件进行不同条件的测量，以发现系统误差，这种方法适用于发现不变的系统误差。例如量块按公称尺寸使用时，在测量结果中就存在由于量块的尺寸偏差而产生的不变的系统误差，多次重复测量也不能发现这一误差，只有用另一块高一级精度的量块进行对比时才能发现它。,2、残余误差观察法 是根据测量列的各个残余误差大小和符号的变化规律，直接由误差数据或误差曲线图形来判断有无系统误差，这种方法主要适用于发现有规律变化的系统误差。发现不了不变的系统误差。,3、残余误差校核法 马利科夫准则用于发现线性

45、系统误差；阿卑赫梅特准则用于发现周期性系统误差。,4、不同公式计算标准差比较法 对等精度测量，可用不同公式（贝塞尔公式、别捷尔斯公式等）计算标准差，通过比较以发现系统误差。,5、计算数据比较法 对同一量进行多组测量，得到很多数据，通过多组计算数据比较，若不存在系统误差，其比较结果应满足随机误差条件，否则可认为存在系统误差。,6、秩和检验法 对某量进行两组测量，这两组间是否存在系统误差，可用秩和检验法根据两组分布是否相同来判断。,7、t检验法 用于判断均服从正态分布的两组测得值间是否存在系统误差。,七、消除系统误差的措施 1从产生误差根源上消除系统误差 2利用加修正值的方法消除系统误差 3选择适

46、当的测量方法消除系统误差 （1）代替法 （2）交换法 （3）抵消法 （4）对称测量法 （5）半周期测量法,(一)从产生误差根源上消除,最理想、最根本的方法。它要求对产生系统误差的因素有全面而细致的了解，并在测试前就将它们消除或减弱到可忽略的程度。视具体条件不同，有： （1）所用基、标准件（如量块、刻尺、光波波长等）是否准确可靠。 （2）所用仪器是否经过检定，并有有效周期的检定证书。 （3）仪器调整、测件安装定位和支承装卡是否正确合理。 （4） 所用测量方法和计算方法是否正确，有无理论误差。 （5） 测量场所的环境条件是否符合规定要求，如温度变化等。 （6） 测量人员主观误差，如视差习惯等。,基

47、本思想,关键：确定修正值或修正函数。,预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，作出误差表或误差曲线，然后取与误差数值大小相同而符号相反的值作为修正值，将实际测得值加上相应的修正值，即可得到不包含该系统误差的测量结果,量块的实际尺寸不等于公称尺寸，若按公称尺寸使用，就要产生系统误差。因此应按经过检定的实际尺寸（即将量块的公称尺寸加上修正量）使用，就可以避免此项系统误差的产生,(二)加修正值法,加修正值法,恒定系统误差,可变系统误差,按某变化因素，依次测得基准量 的测量值 ，对差值 按最小二乘法确定该因素变化函数规律，取 其负值即为该可变系统误差的修正函数。,修正后残留的误差，可归成偶然误差来

48、处理。,对已知基准量 重复测量取其均值 ， 即 为其修正值,基本思想,在测量过程中，根据具体的测量条件和系统误差的性质，采取一定的技术措施，选择适当的测量方法，使测得值中的系统误差在测量过程中相互抵消或补偿而不带入测量结果之中，从而实现减弱或消除系统误差的目的。,恒定系统误差,代替法,交换法,抵消法,线性系统误差,周期性系统误差,对称补偿法,半周期法,(三)选择适当的测量方法消除系统误差,恒定系统误差代替法,在测量装置上测量被测量后不改变测量条件，立即用相应的标准量代替被测量，放到测量装置上再次进行测量，从而得到该标准量测量结果与已知标准量的差值，即系统误差，取其负值即可作为被测量测量结果的修

49、正量。,等臂天平称重,先将被测量 放于天平一侧，标准砝码放于另一侧，调至天平平衡，则有,移去被测量 ，用标准砝码 代替，若该砝码不能使天平重新平衡，如能读出使天平平衡的差值 ，则有,便消除了天平两臂不等造成的系统误差。,由于（存在恒定统误差的缘故）,恒定系统误差代替法举例,根据误差产生原因，将某些条件交换，以消除系统误差。,恒定系统误差交换法,等臂天平称重,先将被测量 放于天平一侧，标准砝码放于另一侧，调至天平平衡，则有,若将与交换位置，由于（存在恒定统误差的缘故），天平将失去平衡 。原砝码P调整为砝码,才使天平再次平衡。于是有,则有,消除了天平两臂不等造成的系统误差。,恒定系统误差抵消法,进

50、行两次反向测量，该两次测量读数时出现的系统误差大小相等，符号相反，即,取两次测值的平均，有,在使用直角尺检定某量仪导轨运动的垂直度时，可用它分别读数一次取算术平均值的方法，以使直角尺垂直误差得到补偿。,在使用丝杠传动机构测量微小位移时，为消除测微丝杠与螺母间的配合间隙等因素引起的空回误差，往往采用往返两个方向的两次读数区算术平均值作为测得值，以补偿空回误差的影响,线性系统误差-对称测量法,在选取测量点时，取关于因素t的左右对称处，两次读数平均，可消除线性系统误差。,基本原理,对于线性系统误差，由于它随某因素t按比例地递增或递减，因而对任一量值 而言，线性误差依赖t而相对该值具有负对称性，对读数

51、 与读数 ，因,有,对称测量法举例,测得依赖因素t的5个读数 ，可取对称读数平均值,作为测得值，可有效消除该范围内的线性误差,机械式测微仪、光学比长仪等，都以零位中心对称刻度，一般都存在随示值而递增（减）的示值误差。采用对称测量法可消除这类示值误差,很多随时间变化的系统误差，在短时间内均可看作是线性的，即使并非线性的，只要是递增或递减的，采用对称测量法，则可基本或部分消除,周期性系统误差-半周期法,对周期性误差，可以相隔半个周期进行两次测量，取两次读数平均值，即可有效地消除周期性系统误差。,仪器度盘安装偏心、测微表针回转中心与刻度盘中心的偏心 引起的刻度示值,第三节 粗大误差,超出在规定条件下

52、预期的误差称为粗大误差，或称“寄生误差”。粗大误差的绝对值与测量列中其他测得值的误差分量相比明显偏大，即明显歪曲测量结果。含有粗大误差的测量值称为异常值或坏值，也称离群值。在测量数据处理时，对于异常值必须予以剔除。,客观外界条件的原因,测量人员的主观原因,测量仪器内部的突然故障,由于测量条件意外地改变（如机械冲击、外界振动、电网供电电压突变、电磁干扰等），引起仪器示值或被测对象位置的改变而产生粗大误差。,由于测量者工作责任心不强，工作过于疲劳或者缺乏经验操作不当，或在测量过程中不小心、不耐心、不仔细等，从而造成错误的读数或错误的记录，这是产生粗大误差的主要原因。,若不能确定粗大误差是由上述两个

53、原因产生时，其原因可认为是测量仪器内部的突然故障。,一、粗大误差的产生原因,产生粗大误差的原因是多方面的，大致可归纳为：,二、可疑值处理的基本原则,在等精度多次重复测量过程中，有时会发现一两个测得值偏离其测量算术平均值较大，即该测得值的残余误差的绝对值较大，因而特别可疑。对于这样的可疑测量值，究竟是正常条件下由于测量值的分散性而必然出现的误差较大一点的正常值，还是偏离正常条件下出现的异常值，这就需要测量作出正确的判断。对于这样的可疑值，我们既不能为得到较好的测量结果无充分依据而轻率舍去，又不能无原则地作为正常的测量值对待处理。否则，要么是得到虚假的测量结果，要么是降低了测量的准确度。因此，对可

54、疑值处理不当，势必会严重影响测量结果的准确度。所以，发现可疑值时，可按照下列基本原则进行处理。,（一）直观判断，及时剔除 若某可疑值经分析确认是由于错读、错记、错误操作以及确实为测量条件发生意外的突然变化而得到的测量值，可以随时将该次测量得到的数据从测量记录中剔除。但在剔除时必须注明原因，不注明原因而随意剔除可疑值是不正确的。这种方法称为物理判别法，也叫直观判别法。,（二）增加测量次数，继续观察,如果在测量过程中，发现可疑测量值又不能充分肯定它是异常值时，可以在维持等精密度测量条件的前提下，多增加一些测量次数。根据随机误差的对称性，以后的测量很可能出现与上述结果绝对值相近仅符号相反的另一测量值

55、，此时它们对测量结果的影响便会彼此近于抵消。,（三）用统计方法进行判别,在测量完毕后，还不能确定可疑测量值是否为含有粗大误差的异常值时，可按照依据统计学方法导出的粗大误差判别准则进行判别、确定。 （四）保留不剔，确保安全 利用上述三种原则还不能充分肯定的可疑值，为保险起见，一般以不剔除为好。,三、粗大误差的统计判别方法,（一）统计方法的基本思想,给定一个显著性水平（一定），按一定分布确定一个临界值，凡超过这个界限的误差，就认为它不属于随机误差的范畴，而是粗大误差，该数据应予以剔除。通常用来判别粗大误差的准则有：,3准则（莱以特准则）,格罗布斯准则,狄克松准则,罗曼诺夫斯基准则,（二）判别粗大误

56、差的准则,1、 3准则（莱以特准则） 对于某一测量列，若各测得值只含有随机误差，若根据随机误差的正态分布规律，其残余误差落在3以外的概率为0.27%（查附录表1），即在370次测量中只有一次其残余误差 如果在测量列中，发现有大于3的残余误差的测得值，即 则可以认为该测得值xd含有粗大误差，应予以剔除。,3准则是最常用也是最简单的判别粗大误差的准则，其中为按贝塞尔公式计算的标准差，且要求测量次数充分大（n50）， 实际中，通常测量次数皆较少，故3准则只是一个近似的准则。,在n10的情形，用3准则剔除粗差注定失效，因为,当n10时，,恒成立,2、罗曼诺夫斯基准则 当测量次数较少时，按t分布的实际误

57、差分布范围来判别粗大误差较为合理。罗曼诺夫斯基准则又称为t检验准则，其特点是首先剔除一个可疑的测得值，然后按t分布检验被剔除的测量值是否含有粗大误差。 设对某量作多次等精度独立测量，得 若测量值xj为可疑数据，将其剔除后计算平均值为（计算时不包括xj） 并求得测量列的标准差（计算时不包括 ）,根据测量次数n和选取的显著度（一般为0.05或0.01），即可由表2-12查得t分布的检验系数K(n, )。 若 则认为测量值xj含有粗大误差，剔除xj是正确的，否则认为xj不含有粗大误差，应予以保留。,3、格罗布斯准则,设对某量作多次等精度独立测量，得 当xi为服从正态分布时，计算式 为了检验xi（i=1,2,n）中是否存在粗大误差，将xi按大小顺序排列成顺序统计量x(i)，而,格罗布斯导出了 及 的分布，取定显著度（一般为0.05或0.01），可得如表2-13所示的临界值g0(n,)，而 及 若认为x(1)