一元一次不等式（第3课时利用一元一次不等式解决实际问题）（教学课件）数学新教材人教版七年级下册

11.2一元一次不等式第3课时利用一元一次不等式解决实际问题第十一章不等式

人教版（新教材）·七年级下册学

习

目

标123掌握从实际问题中寻找不等关系、列一元一次不等式的方法；熟练运用一元一次不等式解决实际问题，能根据实际意义检验解集的合理性；总结列一元一次不等式解实际问题的一般步骤.经历实际问题→抽象不等关系→建立不等式模型→求解→检验作答的全过程，提升审题、分析、建模能力；在解决不同类型实际问题中，培养逻辑推理和知识综合应用能力.感受一元一次不等式在生活中的广泛应用，体会数学的实用性；通过解决实际问题，增强数学应用意识，激发学习兴趣；养成认真审题、规范作答、检验结果的良好解题习惯.知识回顾

两边同乘分母最小公倍数6-1012345678做一做知识回顾

温馨提示：解不等式的常见错误移项忘记变号不等式变形中，从等号一边移到另一边时，一定要注意改变符号，不要习惯性忽略。去分母漏乘常数项两边同时乘分母的公倍数时，要确保不等式两边的每一项都要乘，包括不含分母的常数项。除以负数忘变向系数化为1时，若两边同时除以或乘以一个负数，必须改变不等号的方向。做一做购物选择情境描述某商店文具套装每套定价20元，老师购买超过10套，超出部分打8折，老师计划用不超过400元购买文具套装思考挑战老师最多能买多少套？导入新课购物选择情境描述某商店文具套装每套定价20元，老师购买超过10套，超出部分打8折，老师计划用不超过400元购买文具套装思考挑战老师最多能买多少套？导入新课（1）关键条件是什么？描述数量范围的关键词：

不超过·最多（2）数量关系是什么？总花费≤400元（3）与方程解决的问题有何不同？不等式建立的是“不等”关系，结果通常是一个范围方程建立的是“等量”关系，结果通常唯一不等式模型未知量新知探究探究点1

探究利用一元一次不等式解决实际问题解题步骤议一议某工程队计划在10天内整修河堤600米，施工2天后，又增加了设备，每天能多整修河堤30米，结果提前完成任务，问增加设备后每天至少整修河堤多少米？分析：①审题：已知量•道路总长度：600米•原计划工期：10天•已完成施工：2天•最终目标：提前完成任务增加设备后，每天需要整修的道路长度。设为x(米/天)表示不等的关键词实际总用时<10天，或总工作量≥600米。提前完成新知探究探究点1

探究利用一元一次不等式解决实际问题解题步骤议一议某工程队计划在10天内整修河堤600米，施工2天后，又增加了设备，每天能多整修河堤30米，结果提前完成任务，问增加设备后每天至少整修河堤多少米？②设未知数：设增加设备后每天整修河堤x米分析：求解x的最小值，使工程提前完成③找不等关系：前2天整修长度+后几天整修长度＞600米；600÷10=60（米/天）前2天整修速度：后几天整修时间少于8天，由题意若7天工作量超过480米，则这时x取得最小值，可列方程为：④列一元一次不等式：2×60+(10-2-1)x＞600新知探究探究点1

探究利用一元一次不等式解决实际问题解题步骤议一议某工程队计划在10天内整修河堤600米，施工2天后，又增加了设备，每天能多整修河堤30米，结果提前完成任务，问增加设备后每天至少整修河堤多少米？分析：⑤解不等式2×60+(10-2-1)x＞600；7x＞480；

⑥检验并作答：结合实际意义，确定结果为正整数因为x为正整数，所以能去的最小整数为69，即每天至少修69米，能提前完成任务新知探究探究点1

探究利用一元一次不等式解决实际问题解题步骤归一归利用一元一次不等式解决实际问题的步骤：审：审题，分清已知量和未知量，明确各数量之间的关系找：找出能表示题目含义的一个不等关系设：设出适当的未知数列：根据题目中的不等关系，列出不等式解：解一元一次不等式，求出其解集验：检验解集是否符合题意答：写出答案新知探究探究点1

探究利用一元一次不等式解决实际问题解题步骤归一归1.实际问题中的“节省”“合算”“最多”“最少”“不超过”“超过”等，都是列不等式的关键词.注意所列不等式是否包含等号.2.列不等式解决实际问题时，要注意题中的限制条件，取解时必须使实际问题有意义，如人数、次数、物体的个数等为非负整数，长度、面积等为正数.

3.常见不等关键词：

至少（≥）、至多（≤）、不超过（≤）、不低于（≥）、不足（＜）、超过（＞）.列不等式解决实际问题时需注意：分析：需要分情况讨论由于两家超市的优惠门槛不同（甲需满100元，乙需满50元），无法一概而论，需根据累计购物金额分三种情况进行对比分析：情况01累计购物≤50元此时两家超市均不提供任何折扣优惠。无论在哪家购买，实际花费金额都等于标价总额，因此花费相同，任选其一即可。情况0250元＜金额≤100元此区间内，甲超市因未达100元门槛不优惠，而乙超市已达50元门槛开始优惠。为了省钱，此时选择乙超市花费更少。情况03累计购物＞100元两家超市均已达到各自的优惠门槛。此时不能凭直觉判断，需要根据两家不同的优惠折扣规则，建立数学关系式并代入具体金额进行精确计算与比较，才能得出最优解。新知探究探究点2

强化建模，巩固思路做一做甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费.顾客到哪家超市购物花费较少？新知探究探究点2

强化建模，巩固思路做一做甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费.顾客到哪家超市购物花费较少？累计购物花费在甲超市花费在乙超市花费0<x≤5050<x≤100x>100

x

x

x

100+0.9(x-100)

50+0.95(x-50)

50+0.95(x-50)分析：（1）当0<x

≤50时，在两家超市购物花费_____，因为__________________.（2）当50<x≤100时，在____超市购物花费少，

因为

.一样都不享受优惠乙乙超市有优惠，甲超市没有解决问题：新知探究探究点2

强化建模，巩固思路议一议③若到两超市购物花费相同，则____________________________，解得________.即________时，到甲、乙两超市购物花费相同.①若到甲超市购物花费较少，则_____________________________，解得________.即________时，到甲超市购物花费较少.100+0.9(x-100)＜50+0.95(x-50)x>150x>150②若到乙超市购物花费较少，则____________________________，解得________.即______________时，到乙超市购物花费较少.100+0.9(x-100)>50+0.95(x-50)x<150100+0.9(x-100)=50+0.95(x-50)x=150100＜x<150x=150甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费.顾客到哪家超市购物花费较少？解决问题：（3）当累计购物超过100元，即x>

100时，在甲、乙两超市购物都能享受优惠.新知探究探究点2

强化建模，巩固思路议一议列不等式解实际问题建模数学模型实际问题答验解厘清数量审列设符号化工具条件限制抽象解决本质寻找不等关系设确定未知数典例分析

典例分析

典例分析

新知巩固1.

学校打算购买某款笔记本和中性笔作为奖品，奖励给在绘画比赛中获奖的学生.笔记本的价格为16元/个，中性笔的价格为4元/支.如果学校一共要购买100件奖品，总费用不能超过900元，那么学校最多能买多少个笔记本？[教材P136练习]

总费用小于等于900新知巩固2.

一家水果店花费10000元购进了大樱桃和小樱桃各200kg，计划分别以39元/kg和29元/kg的价格销售，但大樱桃在运输中损耗了20%.若小樱桃的售价不变，为了使获得的总利润不低于预期利润的90%，大樱桃的售价至少要定为每千克多少元？[教材P136]解：设大樱桃的售价定为每千克x元.根据题意可得：200×(1-20%)x+200×29-10000≥[(39+29)×200-10000]×90%，解得x

≥

46.5.答：大樱桃的售价至少要定为每千克46.5元.大于等于拓展提升1．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进4个甲型头盔和3个乙型头盔需要315元，购进3个甲型头盔和4个乙型头盔需要350元．(1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？(2)若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，则最多可购进乙型头盔多少个？(3)在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔200个，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．拓展提升1．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进4个甲型头盔和3个乙型头盔需要315元，购进3个甲型头盔和4个乙型头盔需要350元．(1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？

拓展提升1．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进4个甲型头盔和3个乙型头盔需要315元，购进3个甲型头盔和4个乙型头盔需要350元．(2)若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，则最多可购进乙型头盔多少个？

拓展提升1．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进4个甲型头盔和3个乙型头盔需要315元，购进3个甲型头盔和4个乙型头盔需要350元．(3)在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔200个，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．

真题感知1．（2025•内蒙古）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均a秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个．（1）求a的值；解：（1）根据题意得：25a＝800﹣600，解得：a＝8．答：a的值为8；（2）现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个？

真题感知2．(2025.淮安统测)“蓉宝”是第31届世界大学生夏季运动会吉祥物，以熊猫为原型创作，手中握有“31”字样火焰的大运火炬．为纪念2023年第31届世界大学生夏季运动会在成都大学大运村成功举办，金堂某公司决定购买甲，乙两种造型“蓉宝”共100个发放给公司员工，已知购买2个甲种造型“蓉宝”和1个乙种造型“蓉宝”共需85元；购买3个甲种造型“蓉宝”和2个乙种造型“蓉宝”共需140元．(1)求甲，乙两种造型“蓉宝”的单价分别为多少元；(2)若该公司决定购买以上两种造型“蓉宝”的总费用不超过2600元，那么该公司最多可以购买甲造型“蓉宝”多少个？真题感知2．(2025.淮安统测)“蓉宝”是第31届世界大学生夏季运动会吉祥物，以熊猫为原型创作，手中握有“31”字样火焰的大运火炬．为纪念2023年第31届世界大学生夏季运动会在成都大学大运村成功举办，金堂某公司决定购买甲，乙两种造型“蓉宝”共100个发放给公司员工，已知购买2个甲种造型“蓉宝”和1个乙种造型“蓉宝”共需85元；购买3个甲种造型“蓉宝”和2个乙种造型“蓉宝”共需140元．(1)求甲，乙两种造型“蓉宝”的单价分别为多少元；

真题感知2．(2025.淮安统测)“蓉宝”是第31届世界大学生夏季运动会吉祥物，以熊猫为原型创作，手中握有“31”字样火焰的大运火炬．为纪念2023年第31届世界大学生夏季运动会在成都大学大运村成功举办，金堂某公司决定购买甲，乙两种造型“蓉宝”共100个发放给公司员工，已知购买2个甲种造型“蓉宝”和1个乙种造型“蓉宝”共需85元；购买3个甲种造型“蓉宝”和2个乙种造型“蓉宝”共需140元．(2)若该公司决定购买以上两种造型“蓉宝”的总费用不超过2600元，那么该公司最多可以购买甲造型“蓉宝”多少个？

1.本节课学习了利用一元一次不等式解决实际问题，掌握了完整解题步骤：审题→设未知数→找不等关系→列不等式→解不等式→检验→作答；2.梳理了常见不等关系关键词与对应不等号；3.学会根据实际意义确定不等式的合理解集.课堂小结知识总结1.解决实际问题的核心：建立一元一次不等式数学模型，将实际问题转化为数学问题；2.解题关键：

抓准不等关键词、挖掘隐含不等关系；3.解题后一定要检验结果是否符合实际意义，这是实际应用的重要环节.课堂小结方法总结（1）混淆不等关键词，用错不等号，尤其区分“至少（≥）”“至多（≤）”；（2）忽略实际问题中的隐含条件，如人数、件数必须为正整数；（3）解完不等式后，不检验结果合理性，直接作答导致错误；（4）审题不清，找错不等关系，将不等关系当成等量关系列方程.课堂小结易错提醒课后练习教材p137页8.一条食品包装生产线完成智能化升级后，每个月生产的无菌纸盒包装饮料的数量是原来月均产量的1.7倍.升级后，这条生产线8个月生产的无菌纸盒包装饮料的数量比原来12个月的生产量至少多1000万盒，这条生产线原来平均每月的产量至少是多少万盒？解：设这条生产线原来平均每月的产量是x万盒.由题意，得：1.7x×8－12x≥1000.解不等式，得：x