哈工程材料力学6第六章

1、第六章 应力状态理论和应变状态理论6-1 构件受力如图所示。确定危险点的位置。用单元体表示危险点的应力状态。（ a ）不计自重时，危险点为任一横截面上的任意一点（ b ）危险点在 3M 与 2M 之间的任一截面的边缘上任一（ c ）危险点在图示三处（ d ）危险点为任一截面的外边缘上任一点题 6-1 图题 6-2 图6-2 已知应力状态如图所示，图中应力单位皆为兆帕。试用解析法及图解法求：主应力大小，主平面位置；在单元体上绘出主平面位置及主应力方向；最大剪应力。解：（ a ）解析法s x = 50MPa,s y = 0,t xy = 20MPa, tg 2a 0 = - 2 20 = -0.8

2、 50 - 0得a0 = -1920，从而 s1 = 57MPa,s3 = -7MPa ，tmax = 32MPa,a1 = a0 + 45 = 2540用图解法，按几何关系可求得 2a0 = 40,tmax = 32 MPa（ b ）解析法：s1 = 502 + (502 )2 + 202 = 57 MPa ，s3 = 502 - (502 )2 + 202 = -7 MPatg 2a0 = - 2(-5020) = 54 = 0.8 ，得a0 = 12 3840 = 1920 ，t max = (502)2 + 202 = 32 MPa（ c ）解析法：s1 = 0 + 0 + 252 =

3、 25MPa,s3 = -25MPa ，tg 2a0 = - 2 025 无穷大， 2a0 = -90,a0 = -45,tmax = 25 MPa（ d ）解析法：s x = 40MPa,s y = -29MPa ，s 1 = 40 - 20 + (40 + 20 )2 + 402 = 11.2 MPa ，2 2s 3 = 40 - 20 - (40 + 20 )2 + 402 = -71.2 MPa2 2tg 2a0 = -2(-40)=4, a040+ 203= -3759 ,tmax = 41.2 MPa0 -80（e）解析法：s1 =+(0 + 80)2 + 202= 4.7 MPa

4、 ，22s 3 = 0 -280 - (0 +280 )2 + 202 = -84.7 MPatg 2a0 = - 02 +2080 = -0.5 ， 2a0 = -2634,a0 = -1317t max = (802)2 + 202 = 44.7 MPa（ f ）解析法： s1 = -202+ 30 + (-202- 30 )2 + 202 = 37 MPa ，s 3 = -202+ 30 - (-202- 30 )2 + 202 = -27 MPatg 2a02 20= -= 0.8, 2a0 = 21840 ,a0=10920-20 - 30t max = ( -250)2 + 202

5、 = 32 MPa6-3 在图示应力状态中，试用解析法和图解法求指定斜截面上的应力（应力单位为兆帕）。解：（ a ）解析法：s a = -40 + 0 + -40 - 0 cos120- 20sin120 = -27.3 MPa22t a = -40 - 0 sin120+ 20cos120 = -27.3 MPa , 2即：sa = -27.3MPa,ta = -27.3MPa图解法：斜面法线与 x 轴夹角为 60 ，应力图中，q = 2 60 = 120 （ b ）解析法：20 + 50+30 - 50cos 60- (-20)sin 60 = 52.3 MPa22ta =30 - 50s

6、in 60+ (-20) cos 60 = -18.7 MPa2斜面与 x 轴正向夹角为 30 ，应力图中，q = 2 30 = 60 （ c ）解析法：s a = 0 + 60 + 0 - 60 cos90- 40sin 90 = -10 MPa22t a = 0 - 60 sin 90+ 40cos90 = -30 MPa 2题 6-3 图6-4 已知矩形截面梁某截面上的弯矩及剪力分别为 M = 10kN m ， Q = 120kN ，试绘制截面上 1、2、3、4 各应力点应力状态的单元体，并求其主应力。解：点 1：s x =M= -10 1000= -120MPa , s1 = s2 =

7、 0,s3 = s x = -120 MPa1W5102 10-66点 2：t=3 Q=3120 103= 36MPa ，处于纯剪状态,x2 bh2 5 10 10 -4s 1 = 36MPa,s2 = 0,s3 = -36MPa,M y101031010-2点 3：s x =4= 60MPa ，I15103 10-812Q S120103 46.810-6t x = 27MPaI b1510310-8510-212式中静矩 S = b ( h2 - y 2 ) ,得24s1 = s2x + (s2x )2 +t xy 2 = 70.4 MPa,s3 = -10.4 MPa , s2 = 0点

8、 4：s1 = s x = 120MPa,s2 = s3 = 0题 6-4 图6-5 薄壁圆筒扭转拉伸试验的示意图如图所示。若 P = 20kN ， M n = 600N m 且d = 5cm ，d = 2mm 。试求： A 点在指定斜截面上的应力； A 点主应力的大小及方向（用单元体表示）。解：txy=M n r=M nD，数据代入，得：txy=16M n, D = d + 2d = 54mmIPIP2p D3 (1 -a 4 )t xy = 73.2MPa，s y=P=2.0 104 N= 61.2MPaAp (d +d ) d所以s x= 0,s y= 61.2MPa,t xy= 73.

9、2MPa现已知a = 30,sa =s x +s1+s x -s ycos 2a -t xy sian2a = -48.1 MPa22ta =s x -s ysin 2a +t xy cos 2a = 10.1MPa , tg 2a0= -t xy=1.2,a0 = 333s x -s y2得s1 = 109.8MPa,s3 = -48.8MPa题 6-5 图题 6-6 图题 6-7 图6-6 图示简支梁为 36a 工字梁， P = 140kN ， l = 4m 。 A 点所在截面在集中力 P 的左侧，且无限接近 P 力作用的截面。试求： A 点在指定斜截面上的应力； A 点的主应力及主平面位

10、置（用单元体表示）。解： A 所处截面上弯矩、剪力：M = 14 PL = 14 140 4 = 140kN .m ， Q = P2 = 1402 = 70kN查型钢表后， A 点以下表面对中性轴静矩：S = (13.6 1.5817.2 +1 7.42 12.7) 10 -6 = 464 10 -6m 3My140 103 9 10-6正应力、剪应力：s = 79.9MPaI15760 10-8t =QS=70 103 464 10-6 10-6 = 20.6MPaIb15760 10-8 110-2a = 60, 则：sa = 79.92 + 79.92 cos120- 20.6sin12

11、0 = 2.13 MPat a = 792.9 sin120+ 20.6cos120 = 24.3 MPa主应力计算： s1 = 792.9 + (792.9 )2 + 20.62 = 84.9 MPa s3 = 792.9 - (792.9 )2 + 20.62 = -5 MPatg 2a0 = -2 20.6= -0.516,a0 = -1356 79.96-7 二向应力状态如图所示，应力单元为兆帕。试求主应力并作应力圆。解：s x= 80MPa,a = 60 ,已知：sa =80 +s y+80-s ycos120-t xy sin120 = 50 MPa22ta =80 -s ysin

12、120+t xy cos120 =t ,且t xy= 0,2联立解得：s y = 40MPa ，从而s1 = 80MPa,s2= 40MPa注：凡是涉及某斜面上的应力，应从a 角定义出发，准确找出a 角的值题 6-8 图6-8 在通过一点的两个平面上，应力如图所示，单位为兆帕。试求主应力的数值及主平面位置，并用单元体的草图表示出来。在通过一点的两个平面上，应力如图所示，单位为兆帕。试求主应力的数值及主平面位置，并用单元体的草图表示出来。解：取出图示单元体，依题中条件有：s 105 = s x +s y + s x -s y cos 210-t x sin 210 = 4522t75=s x -

13、s ysin150+t x cos150 = 2532t105=s x -s ysin 210+t x cos 210 = 2532联立求解，得到s x = s y = 70MPa,t x = -50MPa70+ 70则：s1 =+(70 - 70)2 + (-50)2 = 100 MPa22s 2 = 70 + 70 - (70 - 70 )2 + (-50)2 = 20 MPa22s3= 0 ， tg 2a0=-2t x= ，则 a0= 45sx-sy题 6-9 图6-9 试求图示各应力状态的主应力及最大剪应力（应力单位为兆帕）。解：（ a ）s1 = 0 + 0 + 502 = 50 M

14、Pa,s3 = -50 MPa,s2 = 50 MPat max = s1 -s3 = 50 - (-50) = 50MPa22（ b ）s1 = 30 - 20 + (30 + 20 )2 + 402 = 52.2 MPa,s3 = -42.2 MPa22s 2 = 50MPa ，tmax = s1 -s3 = 47.2MPa 2（ c ）s1 = 120 + 40 + (120 - 40 )2 + 302 = 130 MPa,s2 = 30 MPa22s 3 = -30MPa ，tmax = s1 -s3 = 80MPa 2注：此类问题中，受力状态是三向的，不再是平面问题，以（ b ）为例

15、作详细分析：在图示坐标系下，s z = 50MPa,s x = -20MPa,s y = 30MPa 因为 x - y 面内应力情况复杂，先进行分析：则：s x = -20MPa ，s y = 30MPa ，t xy = 40MPas max = s x +s y + (s x -s y )2 +t xy 2 = 5 + 47.2 = 52.2 MPa22s min = 5 - 47.2 = -42.2 MPa ，而s z = 50MPa ，又有s1 s2 s3 ，综合知：s1 = 52.2MPa,s2 = 50MPa,s3 = -42.2MPa题 6-10 图6-10 列车通过钢桥时，在钢桥

16、横梁的 A 点用变形仪测得 ex = 0.0004 ，e y = -0.00012 。试求 A 点在 xx 及 yy 方向的正应力。设 E = 200GPa ， m = 0.30 。11m = 0.3, E = 200GPa,e x = 0.004,e y = -0.00012 ，代到上述两式中，解得s x = 80MPa,s y = 0 ，即： x 方向应力为 80MPa, y 方向为 0。6-11 在 6-9 题中的各应力状态下，求单元体积的体积改变 Q 、比能 u 和形状改变比能 ux 。设 E = 200GPa ， m = 0.30 。解： (a) q = 1 - 2m (s1 +s

17、2 +s 3 ) = 1 - 2 0.3 (50 + 50 - 50)10 6 = 0.110 -3E200 109u = 21E s12 + s22 + s33 - 2m(s1s2 + s2s3 + s1s3 ) =12500 + 2500 + 2500 -2 0.3 (2500 - 2500 - 2500)10 122200109 = 22.5103 N m / m3ux =1 + m(s1 - s2 )2 + (s2 - s3 )2 + (s3 - s1)2 6E1 + 0.322212 =(50 - 50)+(50 + 50)+ (-50 - 50)106 200 109 = 21.7

18、103 N.m / m3(b) 各量的求解公式同前；q = 0.12 10-3, u = 20.1103 N.m / m3, u x = 18.9 103 N.m / m3(c) q = 0.26 10-3, u = 48.1103 N.m / m3, u x = 42.5103 N.m / m36-12 薄壁钢圆筒受到内压 2.1MPa ，内径1m ，壁厚 30mm ，计算筒中主应力。若最大主应力限制为 80MPa ，则在筒的两端可加多大的扭矩。解：取轴向长为 L 的管分析：微元 D2 dq L 上，作用力为 P D2 dq Ly 向分量 P Ddq L sinq ，积分得 N =PDL,

19、A = L d22则： =N=PD= 35MPa = s y ，而2dAsmax =s x +s y+ (s x -s y)2 +t xy2=s y+(s y)2+t xy2= 80 MPa2222t xy = 60MPa, 则： M n = 2.24 109 N .m题 6-12 图题 6-13 图6-13 长输水管受内压 2.0MPa ，管的内径为 0.75m ， m = 0.3 ，s = 500MPa ，用第四强度理论计算壁厚。（提示：可设管的轴向应变为零。）解：取任一单元体， y 向与管轴向一致，由提示，认为 e y = 0, 广义虎克定律 s y = m s x设内压力为 P ，内径

20、为 D ，厚为 d ，则积分表明：s x =PD，则s y =mPD2d2dMises 条件（第四强度理论）在平面应力下为：1(s1 -s2 )2 +s12 +s22 s ，即：1(s x -s y )2+s x2 +s y2 s ，22各数据代入： 1416 12 d12 50 ， d 0.013m = 1.3cm6-14 炮筒横截面如图所示。在危险点处，st = 550MPa ，sr = -350MPa ，第三个主应力垂直于图面是拉应力，且大小为 420MPa 。试按第三和第四强度理论，计算其相当应力。解：第三强度理论下： s xd = 550 + 350 = 900 MPa第四强度理论下

21、：s xd = 12 (550 - 420)2 + (420 + 350)2 + (-350 - 550)2 = 842 MPa6-15 钢制圆珠笔柱形薄壁容器，直径 D = 800mm ，壁厚 t = 4mm ， s = 120MPa 。P = 200kN ，试用强度理论确定可能承受的内压力 p 。题 6-14 图题 6-15 图解： P 作用下：周向s y =P(D - 2t)，轴向s x =P(D - 2t)，4t2t轴向外力 P 作用下：s x =-P=-P，数据代入，解得：Ap (D -t ) ts1 = s y = 99P ，s2 = s x +s x = (49.5P - 20.1)MPa,s3 = 0 s xd 3 = s1 -s3 = 99P s = 120MPa ，则： P 1.21MPas xd 4 =1(s1 -s2 )2+ s12 + s22 =1(99P )2+ (49.5P - 20.1)2 + (49.5P + 20.1)2 s 22化简得 7351P2 -1980P -14000 = 0,