5 控制系统的稳定性分析

1、Wang Yu,1,作业题2-15,1、以Xi(s)为输入 求Xo(s)/ Xi(s)、Y(s)/ Xi(s)、B(s)/ Xi(s)、E(s)/ Xi(s) 2、以N(s)为输入 求Xo(s)/ N(s)、Y(s)/ N(s)、B(s)/ N(s)、E(s)/ N(s),-1,N(s)=0,Xi(s)=0,Wang Yu,2,第五章 控制系统的稳定性分析,稳定性是线性控制系统 中最重要的问题,Wang Yu,3,5-1 稳定的概念,一个系统受到扰动，偏离了原来的平 衡状态，而当扰动取消后，这个系统又能 够逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳 定的。否则，称这个系统是不稳定的。,Wang Yu,

2、4,5-1 稳定的概念,条件稳定系统,稳定系统,不稳定系统,Wang Yu,5,5-1 稳定的概念,稳定性反映在干扰消失后的过渡过程的性质上。 这样，在干扰消失的时刻，系统与平衡状态的偏差可 以看作是系统的初始偏差。因此，控制系统的稳定性 也可以这样定义：,若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，其过 渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复 原平衡状态的性能，则称该系统稳定。否则，称该系统 不稳定。,Wang Yu,6,5-2 系统稳定的充要条件,Wang Yu,7,5-2 系统稳定的充要条件,Wang Yu,8,5-2 系统稳定的充要条件,反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部，

3、则零输入响应将随时间的推移而发散，这样的系统就不稳定。,1+G(s)H(s)=0即,Wang Yu,9,5-2 系统稳定的充要条件,控制系统稳定的充分必要条件是： 系统闭环特征方程式的根全部具有负实 部。 或闭环传递函数的极点全部具有负实部 （位于左半s平面）。,Wang Yu,10,5-2 系统稳定的充要条件,稳定性是控制系统自身的固有特 性，它取决于系统本身的结构和参数， 而与输入无关；控制理论所讨论的稳定 性都是指自由振荡下的稳定性，即讨论 输入为零，系统仅存在初始偏差时的稳 定性，即讨论自由振荡是收敛的还是发 散的。,Wang Yu,11,5-3代数稳定判据,为避开对特征方程的直接求解

4、，就 只好讨论特征根的分布，看其是否全部 具有负实部，并以此来判断系统的稳定 性。这就产生了一系列稳定判据。 劳斯(Routh)判据,Wang Yu,12,5-3 代数稳定判据,系统特征方程为： 稳定的必要条件： ai 0 (i =0,1,2,n) 稳定的充分条件： 劳斯阵列中第一列所有项0,Wang Yu,13,5-3 代数稳定判据,一直计算到最后一行算完为止。然后判断阵列中第一列系数的符号，若全部0,则系统稳定；否则，第一列系数符号改变的次数，就为特征方程在右半s平面的根数。,Wang Yu,14,解：满足必要条件,1,3,-2,3,Wang Yu,15,K为何值时，系统稳定,例2,Wan

5、g Yu,16,5-3 代数稳定判据,劳斯判据的两种特殊情况：,1、某一行第一个元素为零，而其余各元 素均不为零、或部分不为零； 2、某一行所有元素均为零。,Wang Yu,17,5-3 代数稳定判据,第一列系数符号改变两次，系统有两个右根，所以，系统不稳定。,1,0,1,1、某一行第一个元素为零,Wang Yu,18,5-3 代数稳定判据,0,2,第一列系数符号无改变，故系统没有正实部的根。,行为0， 表明系统有一对共轭虚根，所以，系统临界稳定。,Wang Yu,19,5-3 代数稳定判据,2、某一行所有元素均为零,由该行的上一行元素来解决： （1）构成辅助多项式，并求导，用其系数代替全为零

6、的行； （2）构成辅助方程，并解出这些大小相等但位置径向相反的特征 根。,表明在 S 平面内存在大小相等但位置径向相反的根，即存在 两个大小相等、符号相反的实根和（或）一对共轭虚根。,显然，这些根的数目一定是偶数。,Wang Yu,20,5-3 代数稳定判据,辅助多项式, 4 12,第一列符号全为正，说明系统无右根，但有共轭虚根，可由辅助方程解出。,辅助方程,3,8,8, 1 6 8,0 0,系统临界稳定,Wang Yu,21,作业： 5-1、 5-3 5-4(3)(4)、5-5 (3)(4),Wang Yu,22,5-4 乃奎斯特稳定判据,控制系统稳定的充分必要条件是： 系统特征方程式的根全

7、部具有负实部。 或闭环传递函数的极点全部具有负实部 （位于左半s平面）。,回顾,Wang Yu,23,5-4 乃奎斯特稳定判据,Wang Yu,24,5-4 乃奎斯特稳定判据,Wang Yu,25,5-4 乃奎斯特稳定判据,这一判据是由H.nyquist首先提出来的。,因为在控制系统设计中，一些元件的数学表达式往往是 未知的，仅仅知道它们的频率响应数据，所以采用这种稳定 性分析方法比较方便。,由解析的方法、或者由实验的方法得到的开环频率响应 曲线，都可以用来进行稳定性分析。,因为闭环系统的绝对稳定性可以由开环频率响应曲线图解 确定，无需实际求出闭环极点，所以这种判据在控制工程中 得到了广泛应用

8、。,Wang Yu,26,5-4 乃奎斯特稳定判据,一、米哈伊洛夫定理 证明Nyquist判据的一个引理,Wang Yu,27,5-4 乃奎斯特稳定判据,证明：先看一次式,0,Wang Yu,28,5-4 乃奎斯特稳定判据,0,Wang Yu,29,5-4 乃奎斯特稳定判据,Wang Yu,30,5-4 乃奎斯特稳定判据,再来研究零点在右半S平面的一次式,0,Wang Yu,31,5-4 乃奎斯特稳定判据,0,Wang Yu,32,5-4 乃奎斯特稳定判据,Wang Yu,33,5-4 乃奎斯特稳定判据,二、Nyquist稳定判据,1、反馈系统开环与闭环的特征方程式,Wang Yu,34,5-

9、4 乃奎斯特稳定判据,2、 Nyquist稳定判据,Wang Yu,35,5-4 乃奎斯特稳定判据,Wang Yu,36,5-4 乃奎斯特稳定判据,Wang Yu,37,5-4 乃奎斯特稳定判据,Nyquist判据又可以叙述为：,Wang Yu,38,5-4 乃奎斯特稳定判据,例6,K为何值时,系统稳定？,-1,Wang Yu,39,5-4 乃奎斯特稳定判据,例7,判别系统稳定性,Wang Yu,40,5-4 乃奎斯特稳定判据,Wang Yu,41,5-4 乃奎斯特稳定判据,例8,Wang Yu,42,5-4 乃奎斯特稳定判据,Wang Yu,43,作业： 5-6(1)(3) 、5-10,Wa

10、ng Yu,44,5-4 乃奎斯特稳定判据,三、Nyquist稳定判据的第二种表述,Wang Yu,45,5-4 乃奎斯特稳定判据,Wang Yu,46,5-4 乃奎斯特稳定判据,Wang Yu,47,5-4 乃奎斯特稳定判据,把原点处的开环极点当成左半S平面的极点（即不考虑q)，显然只需知道开环在右S平面的极点P即可；,在S平面上做封闭曲线包围整个右S平面；,四、Nyquist稳定判据的第三种表述,Wang Yu,48,5-4 乃奎斯特稳定判据,-1,Wang Yu,49,5-4 乃奎斯特稳定判据,全频率的Nyquist判据为：,Wang Yu,50,5-4 乃奎斯特稳定判据,-1,Wang

11、 Yu,51,5-4 乃奎斯特稳定判据,-1,Wang Yu,52,5-4 乃奎斯特稳定判据,全频率的Nyquist判据为：,Wang Yu,53,5-4 乃奎斯特稳定判据,Wang Yu,54,5-4 乃奎斯特稳定判据,Wang Yu,55,5-4 乃奎斯特稳定判据,Wang Yu,56,5-5 应用Nyquist判据分析延时系统的稳定性,延时环节是线性环节，机械工 程中许多系统中具有这种环节。,Wang Yu,57,5-5 应用Nyquist判据分析延时系统的稳定性,一、延时环节串联在闭环系统的前向通道中时的系统稳定性,可见：延时环节不改变幅频特性，仅影响相频特性。,Wang Yu,58,

12、5-5 应用Nyquist判据分析延时系统的稳定性,例5-14,带有延时环节的系统不是 最小相位系统,Wang Yu,59,5-5 应用Nyquist判据分析延时系统的稳定性,明显看出，虽然一阶、二阶系统总是 稳定的，但系统中若存在延时环节，也可能 变为不稳定。,Wang Yu,60,5-5 应用Nyquist判据分析延时系统的稳定性,二、延时环节并联在闭环系统的前向通道中时的系统稳定性,Wang Yu,61,5-6 由伯德图判断系统的稳定性,一、Nyquist图与Bode图的对应关系,Wang Yu,62,5-6 由伯德图判断系统的稳定性,二、利用Bode图判断稳定性,稳定,不稳定,Wang

13、 Yu,63,：,Wang Yu,64,5-6 由伯德图判断系统的稳定性,利用Bode图判断使系统稳定的K值范围。,Nyquist曲线刚好通过（-1，j0）点，系统临界稳定。,例5-17,Wang Yu,65,5-6 由伯德图判断系统的稳定性,Wang Yu,66,5-6 由伯德图判断系统的稳定性,Wang Yu,67,5-6 由伯德图判断系统的稳定性,Wang Yu,68,5-6 由伯德图判断系统的稳定性,求使系统稳定的临界K值,忽略,忽略,Wang Yu,69,5-6 由伯德图判断系统的稳定性,若采用劳斯判据判断系统稳定的K值范围,Wang Yu,70,5-6 由伯德图判断系统的稳定性,注

14、意： 利用Nyquist判据的结论与利用劳斯判据的结 论 不一致，其原因是Bode图用的是渐 近线，有误差。 只要 两种方法结论一致。,Wang Yu,71,5-6 由伯德图判断系统的稳定性,2、普遍情况,Wang Yu,72,正负穿越之差为零， 系统闭环稳定,半次正穿越 系统闭环稳定,Wang Yu,73,正负穿越之差为1-2=-1， 系统闭环不稳定,正负穿越之差为2-1=1， 系统闭环稳定,-,-,-,Wang Yu,74,作业： 5-22,Wang Yu,75,5-7 控制系统的相对稳定性,一、利用劳斯判据看系统相对稳定性,Wang Yu,76,5-7 控制系统的相对稳定性,（1）不满足

15、系统稳定的必要条件： 特征方程中各项系数0,即 系数为0，说明系统特征根 并不都在z平面（s=-1)左侧,Wang Yu,77,5-7 控制系统的相对稳定性,（2）列劳斯表 劳斯判据第一列未变号，说明z（s=-1） 右半面无根），但最后元素为0，说明有共轭 虚根或零根：令 ，代入特征方程： 解出： 即有零根 即,Wang Yu,78,5-7 控制系统的相对稳定性,二、利用乃氏判据看系统相对稳定性及其相对稳定性指标,这便是通常所说的相对稳定性，它通过 对（-1，j0）点的靠近程度来度量。,定量表示为：,Wang Yu,79,具有正相位裕量的系统不仅稳定，而且还 有相当的稳定储备，它可以在 的频率下， 允许相位再增加 度才达到临界稳定条件。,5-7 控制系统的相对稳定性,1、相位裕量,正相位裕量,因此相位裕量也叫相位稳定性储备。,Wang Yu,80,5-7 控制系统的相对稳定性,2、幅值裕量 当 时，开环幅频特 性 的倒数。,在Bode图上，,正相位裕量 线以上,正幅值裕量 0dB线以下,正幅值裕量,Wang Yu,81,5-7 控制系统的相对稳定性,负幅值裕量,负相位裕量 线以下,具有负幅值裕量及 负相位裕量时，闭环不稳定。,负幅值裕量 0dB线以上,负相位裕量,Wang Yu,8