4-3函数单调性和凹凸性

1、2020年10月15日星期四,经济数学第四章,1,经济数学,2020年10月15日星期四,经济数学第四章,2,4.3 函数的单调性和曲线的凹凸性,2020年10月15日星期四,经济数学第四章,3,现实生活中，常遇到这样的情形：一个量不断增加时， 另一个量也随着不断增加；或者一个量不断增加时，另一个量 反而随着不断减少。其实这就是单调性的概念。另外，如果用 描点法作出函数的图象，我们会发现当我们的视线从左往右看 时，函数图象的一些部分是“上升”的，一些部分是“下降”的， 好像山峦的起伏一样，为了区别：“上升”和“下降”，我们引入 了函数“单调性”的概念。,通过研究某些特定函数（事实上是那些基本初

2、等函数） 的单调性，我们可以知道任何函数（实际上是一切初等函 数）的单调性，从而能画出它们的图形和研究它们的性质。 下面我们利用导数来研究函数的单调性。,2020年10月15日星期四,经济数学第四章,4,几何直观,如上图所示，根据导数的几何意义可以直观地看,出，当 时，切线倾斜角为锐角，曲线是上升的；,当 时，切线倾斜角为钝角，曲线是下降的。,2020年10月15日星期四,经济数学第四章,5,定理（单调性的充分条件）,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，,则该区间称为函数的单调区间.,2020年10月15日星期四,经济数学第四章,6,例如：函数 及 在 内单调减少，,在 内单调增加。如

3、下图所示。,2020年10月15日星期四,经济数学第四章,7,问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义:,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,2020年10月15日星期四,经济数学第四章,8,求单调区间的步骤:,2020年10月15日星期四,经济数学第四章,9,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,例1、确定函数 的单调区间.,列表讨论：,2020年10月15日星期四,经济数学第四章,10,2020年10月15日星期四,经济数学第四章,11,例2,解,单调区间为,2020年10月15日星期四,经济数学第四章,12,观察抛物线 与,，它们在

4、区间 内都,是单调增加的，但弯曲的方,这说明在研究函数的图形 时，只知道它们的单调性是不 够的，曲线的弯曲方向和弯曲 方向的转变点对我们研究函数 的性态也是十分重要的. 这就 是下面讨论的凹凸性与拐点。,向不一样。,2020年10月15日星期四,经济数学第四章,13,函数图象的凹凸分析：,图象的上升与下降可用一阶导数的符号来判定。,同是上升(或下降)曲线还有凹凸之分.,凹弧的切线总是在曲线的下方,凸弧的切线总是在曲线的上方,从P点改变弯曲方向,2020年10月15日星期四,经济数学第四章,14,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,1、曲线凹凸性的定义,定义,2020年10月15日星期四,经济数学第

5、四章,15,几何直观,如上图所示，根据导数的几何意义可以直观地看,出，当 时，切线倾斜角为锐角，曲线是上升的；,当 时，切线倾斜角为钝角，曲线是下降的。,2020年10月15日星期四,经济数学第四章,16,2、曲线凹凸的判定,定理1 如果 在a,b上连续，在（a,b）内具有一阶和二,（1） ，则 在a,b上的图形是凹的；,（2） ，则 在a,b上的图形是凸的；,阶导数，若在（a,b）内,2020年10月15日星期四,经济数学第四章,17,注意：点（0,0）是曲线 由凸变凹的分界点。,解,例3、判断曲线 的凹凸性。,曲线在 为凹的。,当 时，,当 时，,曲线在 为凸的；,2020年10月15日星

6、期四,经济数学第四章,18,、定义：连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点。,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,、拐点的求法,3、曲线的拐点及其求法,定理2 如果 在 内存在二阶导数，,则点 是拐点的必要条件是,方法:设函数 在 的邻域内二阶可导，且,（1） 两近旁 变号，点 即为拐点；,（2） 两近旁 不变号，点 不是拐点；,2020年10月15日星期四,经济数学第四章,19,例4 求曲线 的拐点及凹凸区间。,解:,令,得：,凹区间为,列表讨论如下：,，凸区间为,2020年10月15日星期四,经济数学第四章,20,解：,例5、求曲线 的拐点。,当 时,是不可导点， 均不存在，,但在 内， ,曲线在 上是凹的；,在 内， ,曲线在 上是凸的；,点 是曲线 的拐点。,2020年10月15日星期四,经济数学第四章,21,下课啦,2020年10月15日星期四,经济数学第四章,22,案例 国防预算,布什号（尼米兹级第十艘） 造价62亿美元,B-2幽灵战略轰炸机单价：24亿美元,1985年美国的一家报刊报道了 国防部长抱怨国会和参议院削减了 国防预算但是他的对手却反驳 道，国会只是削减了国防预算增长