教研圆锥曲线一题多解

1、(2011广州二模)20（本小题满分14分）已知双曲线：和圆：（其中原点为圆心），过双曲线上一点引圆的两条切线，切点分别为、 （1）若双曲线上存在点，使得，求双曲线离心率的取值范围；（2）求直线的方程；（3）求三角形面积的最大值（2011广州一模）19.（本小题满分14分） 已知直线上有一个动点,过点作直线垂直于轴,动点在上,且满足 (为坐标原点),记点的轨迹为.(1) 求曲线的方程；(2) 若直线是曲线的一条切线, 当点到直线的距离最短时,求直线的方程. （2011广州调研）19（本小题满分14分） 已知椭圆的离心率. 直线（）与曲线交于 不同的两点,以线段为直径作圆,圆心为 (1) 求椭圆

2、的方程； (2) 若圆与轴相交于不同的两点，求的面积的最大值.(2011佛山二模)19（本题满分14分）（第一问5分，第二问9分）已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）为椭圆的左右顶点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.证明：以线段为直径的圆恒过轴上的定点.2012届广州市高三调研：设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，若（其中为坐标原点）（1）求椭圆的方程；设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值答案1、解：（1）因为，所以，所以1分由及圆的性质，可知四边形是正方形，所以因为，所以，所以3分故双曲线离心率的取值范围为4分（2）方法1：因为

3、，所以以点为圆心，为半径的圆的方程为5分因为圆与圆两圆的公共弦所在的直线即为直线，6分所以联立方程组7分消去，即得直线的方程为8分方法2：设，已知点，则，因为，所以，即5分整理得因为，所以6分因为，根据平面几何知识可知，因为，所以7分所以直线方程为即所以直线的方程为8分方法3：设，已知点，则，因为，所以，即5分xyOPAB整理得因为，所以6分这说明点在直线上 7分同理点也在直线上所以就是直线的方程 8分（3）由（2）知，直线的方程为，所以点到直线的距离为因为，所以三角形的面积10分以下给出求三角形的面积的三种方法：方法1：因为点在双曲线上，所以，即设，所以11分因为，所以当时，当时，所以在上单

4、调递增，在上单调递减12分当，即时，13分当，即时，综上可知，当时，；当时，14分方法2：设，则11分因为点在双曲线上，即，即所以令，则所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增12分当，即时，13分当，即时，综上可知，当时，；当时，14分方法3：设，则11分因为点在双曲线上，即，即所以令，所以在上单调递增，在上单调递减12分因为，所以，当，即时，此时 13分当，即时，此时综上可知，当时，；当时，14分2、19（本小题满分14分）(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、点到直线的距离、曲线的切线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识

5、)(1) 解:设点的坐标为,则点的坐标为. , . 当时,得,化简得. 2分当时, 、三点共线，不符合题意，故.曲线的方程为. 4分(2) 解法1: 直线与曲线相切,直线的斜率存在. 设直线的方程为, 5分 由 得. 直线与曲线相切, ,即. 6分点到直线的距离 7分 8分 9分 . 10分 当且仅当，即时，等号成立.此时. 12分直线的方程为或. 14分 解法2：由，得， 5分 直线与曲线相切, 设切点的坐标为，其中，则直线的方程为：，化简得. 6分点到直线的距离 7分 8分 9分 . 10分 当且仅当，即时，等号成立. 12分直线的方程为或. 14分 解法3：由，得， 5分 直线与曲线相切

6、, 设切点的坐标为，其中，则直线的方程为：，化简得. 6分点到直线的距离 7分 8分 9分 . 10分 当且仅当，即时，等号成立,此时. 12分直线的方程为或. 14分3、19（本小题满分14分）(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：椭圆的离心率, . 2分 解得. 椭圆的方程为 4分（2）解法1：依题意，圆心为 由 得. 圆的半径为 6分 圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离， ，即 弦长 8分的面积 9分 . 12分 当且仅当，即时，等号成立. 的面积的最大值为 14

7、分解法2：依题意，圆心为 由 得. 圆的半径为 6分 圆的方程为 圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离， ，即 在圆的方程中，令，得， 弦长 8分的面积 9分 . 12分 当且仅当，即时，等号成立. 的面积的最大值为 14分4、19（本题满分14分）解：（1）由题意可知， 而， 2分且. 3分 解得， 4分所以，椭圆的方程为. 5分（2）由题可得.设，6分直线的方程为， 7分令，则，即； 8分直线的方程为， 9分令，则，即；10分证法一：设点在以线段为直径的圆上，则，11分即， 12分，（资料来源：广东高考吧 ）而，即，或. 13分所以以线段为直径的圆必过轴上

8、的定点或. 14分证法二：以线段为直径的圆为 11分令，得， 12分，而，即，或. 13分所以以线段为直径的圆必过轴上的定点或. 14分解法3：令，则，令，得 6分同理，. 7分以为直径的圆为 8分当时，或.圆过 9分令，直线的方程为， 令，则，即； 10分直线的方程为， 令，则，即； 11分 13分在以为直径的圆上.同理，可知也在为直径的圆上.定点为 14分5、（1）由题设知，Ks5u1分由，得解得所以椭圆的方程为4分（2）方法1：设圆的圆心为，则 8分从而求的最大值转化为求的最大值9分因为是椭圆上的任意一点，设，10分所以，即11分因为点，所以12分因为，所以当时，取得最大值1213分所以的最大值为1114分方法2：设点，因为的中点坐标为，所以 6分所以7分 9分因为点在圆上，所以，即10分因为点在椭圆上，所以，即11分所以12分因为，所以当时，14分方法3：若直线的斜率存在，设的方程为，6分由，解得