数列通项公式的求法(类型总结)

1、构造法在数列中的应用数列通项公式的求法一、形如(其中f（n）不是常数函数)型数列（累加法）一般地，对于形如(其中f（n）不是常数函数)类的通项公式，且的和比较好求，我们可以采用此方法来求。即：；例1.（2015江苏理数11）.数列满足，且（），则数列的前10项和为 。二、形如=f（n）（f（n）为可求积的数列）型数列（累乘法）一般地对于形如“已知a1，且=f（n）（f（n）为可求积的数列）”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。即：；例2在数列中， =1, (n+1)=n，求的表达式。练1.在数列an中，a1=1，（n+2）an+1=（n+1）an，则an= 练2.数列中，前n项的和，求.三、形

2、如型数列构造的思路有两种：（1）是待定系数法构造，设，展开整理，比较系数有，所以，所以是等比数列，公比为，首项为。（2）是用作差法直接构造，两式相减有，所以是公比为的等比数列。例3、已知数列中, ,求的通项公式.例4、在数列中，当时，有，求的通项公式。四、形如 型数列， 一般地，对于型如型数列可化为的形式来求通项。例5、设数列中，求的通项公式。五、形如 （A、B、C为常数，）型数列一般地，对于型如（A、B、C为常数，）型数列，可化为=）的形式.构造出一个新的等比数列，然后再求，当A=C时，我们往往也会采取另一种方法，即左右两边同除以Cn +1,重新构造数列，来求。例6设为常数，且（），证明：对

3、任意n1，练习已知数列满足,求.六、形如 或型数列一般地形如、等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。例7.已知数列满足：，求的通项公式。 练1在数列中，=，=（），求数列通项公式.练2 已知数列an的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n2);a1=,求通项an.练3 在数列an中，Sn是其前n项和，且Sn0，a1=1，an=(n2)，求Sn与an。八、形如型数列这种类型我们一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次等式两边取对数后转化为，再利用构造新数列（待定系数法）求解。例8若数列中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=练习：已知数列中，求数列

4、。九、形如（其中p，q均为常数）型数列。对于由递推公式，有给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。例9: 数列满足， ,求十、形如型数列一般我们用分离常数法例10、已知数列满足，求数列的通项公式。十一、配凑构造法例11 数列an的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3)，求an.教师用书一、形如(其中f（n）不是常数函数)型数列（累加法）例1.（2015江苏理数11）.数列满足，且（），则数列的前

5、10项和为 。二、形如=f（n）（f（n）为可求积的数列）型数列（累乘法）例2在数列中， =1, (n+1)=n，求的表达式。解：由(n+1)=n得，= 所以练1.在数列an中，a1=1，（n+2）an+1=（n+1）an，则an= 练2.数列中，前n项的和，求.解： ，三、形如型数列例3、已知数列中, ,求的通项公式.解:利用,求得,是首项为,公比为2的等比数列,即,例4、在数列中，当时，有，求的通项公式。解:由已知递推式，得，上述两式相减，得，因此，数列是以为首项，以3为公比的等比数列。所以，即，所以。四、形如 型数列，例5、设数列中，求的通项公式。解：设 与原式比较系数得：即 令 五、形

6、如 （A、B、C为常数，）型数列例6设为常数，且（），证明：对任意n1，证明：设 用代入可得 是公比为，首项为的等比数列， （），即：练习已知数列满足,求.解:将已知递推式两边同除以得,设,故有，,从而.六、形如 或型数列例7.已知数列满足：，求的通项公式。 解：原式两边取倒数得： 即练1在数列中，=，=（），求数列通项公式.解：由an+1=得，an+1 an=3 an+1-3 an=0，两边同除以an+1 an得，设bn=，则bn+1- bn=，根据等差数列的定义知，数列bn是首相b1=2，公差d=的等差数列，根据等差数列的通项公式得bn=2（n-1）=n数列通项公式为an=练2 已知数列a

7、n的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n2);a1=,求通项an.解析:当n2时, an=Sn-Sn-1=-2 SnSn-1,两边同除以SnSn-1得- =2,又=2, 数列是以2为首项,2为公差的等差数列,则=2+2(n-1)=2n, Sn=,由a1=,n2时,an=Sn-Sn-1=-=- ,二式不能合并.练3 在数列an中，Sn是其前n项和，且Sn0，a1=1，an=(n2)，求Sn与an。解析：当n2时，an=Sn-Sn-1 代入an=得，Sn-Sn-1=，变形整理得Sn-Sn-1= SnSn-1两边除以SnSn-1得，-=2，是首相为1，公差为2的等差数列=1+2（n-1

8、）=2n-1, Sn=(n2),n=1也适合，Sn=(n1)当n2时，an=Sn-Sn-1=-=-，n=1不满足此式，an=八、形如型数列例8若数列中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=解 由题意知0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列， ，即.练习：已知数列中，求数列。【解析】：由两边取对数得，令，则，再利用构造新数列（待定系数法）解得：九、形如（其中p，q均为常数）型数列。例9: 数列满足， ,求【解析】：由题可知数列的特征方程是：。 , 。又由，于是 故十、形如型数列例10、已知数列满足，求数列的通项公式。【解析】：令，得，则x=1是函数的不动点。因为 所以 ， 所以 数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故。十一、配凑构造法例11 数列an的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3)，求an.解析：an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn)