概率论与数理统计习题及答案第三章

1、习题习题 3-13-1 1. 已知随机变量 X1和 X2的概率分布分别为 X1 -1 01 P 1 4 1 2 1 4 X201 P 1 2 1 2 而且. 求 X1和 X2的联合分布律. 12 01P X X 解解 由知. 因此 X1和 X2的联合分布必形 12 01P X X 12 00P X X 如 X2 X1 01pi -1 P110 1 4 0P21P22 1 2 1P310 1 4 pj 1 2 1 2 1 于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有 X1和 X2的联合分布律 X2 X1 01pi -1 1 4 0 1 4 00 1 22 1 1 1 4 0 1 4 pj 1 2

2、1 2 1 (2) 注意到, 而, 所以 X1和 12 0,00P XX 12 1 000 4 P XP X X2不独立. 2. 一盒子中有 3 只黑球、2 只红球和 2 只白球, 在其中任取 4 只球. 以 X 表示取到黑 球的只数, 以 Y 表示取到红球的只数. 求 X 和 Y 的联合分布律. 解解 从只球中取球只有种取法. 在只球中, 黑球有 只, 红7435 4 7 C4i 球有 j 只(余下为白球只)的取法为4ij ,. 4 322 ijij C C C 0,1,2,3,0,1,2,ijij4 于是有 , 022 322 1 0,2 3535 P XY C C C 111 322 6

3、 1,1 3535 P XY C C C , 121 322 6 1,2 3535 P XY C C C 202 322 3 2,0 3535 P XY C C C , 211 322 12 2,1 3535 P XY C C C 220 322 3 2,2 3535 P XY C C C , , 301 322 2 3,0 3535 P XY C C C 310 322 2 3,1 3535 P XY C C C .0,00,11,03,20P XYP XYP XYP XY 分布律的表格形式为 0123 000 3 35 2 35 10 6 35 12 35 2 35 2 1 35 6 35

4、 3 35 0 3. 设随机变量(X,Y)的概率密度为 ( , ) (6), 02, 24, 0,. f x y kxyxy 其它 求: (1) 常数; (2) ; (3) ; (4) .k1,3P XY1.5P X 4P XY X Y 解解 (1) 由, 得( , )d d1f x yx y , 2 424 22 202 0 4 2 1 1d(6)d(6)d(10)8 2 ykxyxky xxykyyk 所以 . 1 8 k (2) 31 20 1,3 1 1,3d(6)d 8 ( , )d d xy P XYyxyxf x yx y . 1 3 2 2 0 11 (6)d 82 y xxy

5、 3 2 1113 ()d 828 yy (3) 1.51.5 1.5d( , )d( )d X P Xxf x yyfxx 41.5 20 1 d(6)d 8 yxyx 1.5 4 2 2 0 11 (6)d 82 y xxy 4 2 1633 ()d 882 yy . 27 32 (4) 作直线, 并记此直线下方区域与的矩形区域4xy( , )0f x y 的交集为. 即.见图 3-8. 因此(0,2)(0,4)G:02,0Gxy4x P XY4(, )PX YG ( , )d d G f x yx y 44 20 1 d(6)d 8 x yxyx 4 4 2 2 0 11 (6)d 82

6、 x y xxy 4 2 2 11 (6)(4)(4) d 82 yyyy 4 2 2 11 2(4)(4) d 82 yyy . 4 23 2 11 (4)(4) 86 yy 2 3 图图 3-83-8 第第 4 4 题积分区域题积分区域 4. 二维随机变量的概率密度为(, )X Y 2 ( , ) ,1,01, 0, f x y kxy xyx 其它. 试确定, 并求.k 2 (, ),:,01PX YGG xyxx 解解 由, 2 111 4 00 1( , )ddd(1)d 26 x kk f x yxdyxkxy yxxx 解得.6k 因而 . 2 11 24 00 1 (, )d6

7、d3()d 4 x x PX YGxxy yx xxx 5. 设二维随机变量(X, Y)概率密度为 4.8 (2),01, 0, ( , ) 0,. yxxyx f x y 其它 求关于 X 和 Y 边缘概率密度. 解解 的概率密度在区域 ,外取零值.因而, (, )X Y( , )f x y:0Gx10yx 有 0 2 4.8 (2)d ,01, ( )( , )d 0, 2.4(2),01, 0, x X yxyx fxf x yy x xx 其它. 其它. 1 2 4.8 (2)d ,01, ( )( , )d 0, 2.4 (34),01, 0, y Y yxxy fyf x yx y

8、yyy 其它. 其它. 6. 假设随机变量在区间-2, 2上服从均匀分布, 随机变量U 1,1, 1,1, U X U 若 若 1,1, 1,1. U Y U 若 若 试求：(1) X 和 Y 的联合概率分布；(2).P XY1 解解 (1) 见本章第三节三(4). (2).P XY111P XY 11,1P XY 13 1 44 习题习题 3-23-2 1. 设(X, Y)的分布律为 求: (1) 在条件 X=2 下 Y 的条件分布律; (2) .22P XY 解解 (1) 由于,所以在条件 X=2 下 Y 的条件6 . 02 . 01 . 003 . 02XP 分布律为 , 2 1 6 .

9、 0 3 . 0 2 1, 2 2| 1 XP YXP XYP ,0 6 . 0 0 2 2, 2 2|2 XP YXP XYP , 6 1 6 . 0 1 . 0 2 3, 2 2|3 XP YXP XYP , 3 1 6 . 0 2 . 0 2 4, 2 2|4 XP YXP XYP 或写成 kY 1234 2|XkYP 2 1 0 6 1 3 1 (2) 注意到 Y X 1234 10.100.10 20.300.10.2 300.200 .P Y212P YP Y0.1 0.3000.20.6 而 2,22,12,2 3,13,2 P XYP XYP XY P XYP XY .0.30

10、00.20.5 因此 . 2,2 22 2 P XY P XY P Y 0.55 0.66 2. 设平面区域 D 由曲线及直线所围成, 二维随机变量(X, 1 y x 2 0,1,eyxx Y)在区域 D 上服从均匀分布, 求(X, Y)关于 X 的边缘概率密度在 x=2 处的值. 解解 由题设知 D 的面积为. 2 2 e e 1 1 1 dln2 D Sxx x 因此, (X,Y)的密度为 1 ,( , ), ( , )2 0 x yD f x y ，其它. 由此可得关于 X 的边缘概率密度 . ( )( , )d X fxf x yy 显然, 当 x1 或 xe2时,; 当时,. 故(

11、)0 X fx 2 1ex 1 0 11 ( )d 22 x X fxy x .(2) 1 4 X f 3. 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为 ( , ) 1, 01, 02 , 0,. f x y xyx 其它 求：(1) (X, Y)的边缘概率密度；(2)( ),( ) XY fxfy 11 . 22 P YX 解解 (1) 当时,;01x 2 0 ( )( , )dd2 x X fxf x yyyx 当 x0 时或 x1 时, . ( )0 X fx 故 2 ,01, ( ) 0,其它. X xx fx 当 0y2 时,; 1 2 ( )( , )dd1 2 y Y y fyf x

12、 yxx 当时或时, . y0y2( )0 Y fy 故 1,02, ( )2 0,. Y y y fy 其它 (2) 当 z0 时,; ( )0 Z Fz 当 z2 时,;1)(zFZ 当 0z0), 试求随机变量和 Z=X+Y 的概率密度. 解解 已知 X 和 Y 的概率密度分别为 , ; . 2 2 () 2 1 ( )e 2 x X fx ),(x ).,(, 0 ),(, 2 1 )( aay aay a yfY 由于 X 和 Y 相互独立, 所以 2 2 () 2 11 ( )()( )ded 22 z y a ZXY a fzfzy fyyy a =. 1 ()() 2 zaza

13、 a 10. 设随机变量 X 和 Y 的联合分布是正方形 G=(x,y)|1x3, 1y3上的均匀分布, 试求随机变量 U=|X-Y|的概率密度 f(u). 解解 由题设知, X 和 Y 的联合概率密度为 11 1 ,3,3, ( , )4 0,. xy f x y 其它 记为 U 的分布函数, 参见图 3-7, 则有( )F u 当 u0 时,u=0; ( )|F uPXY 当 u2 时,; ( )1F u 当 0 u2Y; (2) 求 Z = X+Y 的概率密度 fZ(z). 解解 (1) . 1 1 2 02 2 7 2 ( , )d dd(2)d 24 y xy P XYf x yx

14、yyxyx (2) 方法一方法一: 先求 Z 的分布函数: .( )()( , )d d Z x yz FzP XYZf x yx y 当 z0 时, FZ(z)0; 当 0z1 时, 1 00 ( )( , )d dd(2)d zz y Z D Fzf x yx yyxyx = z2-z3; 1 3 当 1z2 时, 2 11 1 ( )1( , )d d1d(2)d Z zz y D Fzf x yx yyxyx = 1-(2-z)3; 1 3 当 z2 时, FZ(z) = 1. 故 Z = X+Y 的概率密度为 2 2 2,01, ( )( )(2) , 12, 0, ZZ zzz f

15、zFzzz 其其. 方法二方法二: 利用公式( )( ,)d : Z fzf x zxx 2(),01, 01, ( ,) 0, xzxxzx f x zx 其它 2,01,1, 0,. zxxzx 其它 当 z0 或 z2 时, fZ(z) = 0; 当 0z1 时, 0 ( )(2)d(2); z Z fzzxzz 当 1z1, PYX及 PY|X. 1 2 1 2 解解 (1) 当 x0 或 y0 时, (x, y) = 0, 所以 F(x, y) = 0. 当 0x1, 0y2 时, (x, y) = x2+xy, 1 3 所以 2 00 1 ( , )( , )d d()d d 3

16、xyxy F x yu vu vuuvvu . 322 11 312 x yx y 当 02 时, 2 0000 ( , )( , )d d( , )d d( , )d d xyxyx F x yu vu vu vv uu vvu . 2 2 00 1 ()d d 3 x uuvvu 2 1 (21) 3 xx 当 x1, 01, y2 时, . 12 2 00 1 ( , )()d d1 3 F x yuuvvu 综上所述, 分布函数为 2 2 0,00, 1 (),01, 02, 34 1 ( , )(21),01,2, 3 1 (4),1, 02, 12 1,1,2. 或 xy y x

17、y xxy F x yxxxy yyxy xy (2) 当 0 x1 时, 2 22 0 2 ( )( , )d()d2, 33 X xy xx yyxyxx 故 2 2 2,01, ( )3 0,.其它 X xxx x 当 0y2 时, 1 2 0 11 ( )( , )d()d, 336 Y xy yx yxxxy 故 11 ,02, ( )36 0,.其它 Y yy y (3) 当 0y2 时, X 关于 Y = y 的条件概率密度为 2 ( , )62 ( | ). ( )2 Y x yxxy x y yy 当 0 x1 时, Y 关于 X = x 的条件概率密度为 ( , )3 ( | ). ( )62 X x yxy y x yx (4) 参见图 3-10. 图图 3-103-10 第第 9 9 题积分