2019年高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和课件新人教A版必修5.pptx

1、2.3等差数列的前n项和,课标要求:1.掌握等差数列的前n项和公式,了解推导等差数列前n项和公式的方法倒序相加法.2.能够利用等差数列的前n项和公式进行有关的计算.3.掌握等差数列前n项和的最值问题的解法.4.掌握等差数列前n项和的性质及其应用.5.理解an与Sn的关系,会利用这种关系解决有关的问题.,自主学习,知识探究,1.数列的前n项和的概念 一般地,我们称a1+a2+a3+an为数列an的前n项和,用Sn表示,即Sn=a1+a2+a3+an.,3.等差数列的前n项和公式 首项为a1,末项为an,项数为n的等差数列an的前n项和为Sn= , 首项为a1,公差为d,项数为n的等差数列an的前

2、n项和为Sn= .,5.前n项和的最值 设等差数列an的首项为a1,公差为d,则 (1)当a10,d0时,数列an只有前面的有限项为负数,从某项开始其余所有项均为非负数,所以Sn有最小值,无最大值. (4)当a10,d0时,Sn有最小值S1=a1,无最大值. (5)当d=0时,数列an为常数列.,(2)若等差数列共有2n-1项,则S2n-1=(2n-1)an;若等差数列共有2n项,则S2n= n(an+an+1).,(5)“片段和”性质:等差数列an中,公差为d,前k项的和为Sk,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,Smk-S(m-1)k,构成公差为k2d的等差数列.,自我检测,1.在等差数

3、列an中,已知a1=2,d=2,则S5等于( ) (A)10 (B)20 (C)30 (D)40,C,2.记在等差数列an中,已知a4+a8=16,则该数列的前11项和S11等于( ) (A)58 (B)88 (C)143 (D)176,B,解析:因为S2,S4-S2,S6-S4成等差数列, 所以S2+(S6-S4)=2(S4-S2), 所以4+(S6-20)=2(20-4), 所以S6=48. 故选D.,3.记等差数列的前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则S6等于( ) (A)42(B)44 (C)46(D)48,D,4.等差数列an中,若a1+a4+a7=15,a3+a6+a9=3,

4、则S9=.,答案:27,5.记等差数列an前n项和为Sn.若am=10,S2m-1=110,则m的值为.,答案:6,题型一,等差数列前n项和的基本运算,课堂探究,答案:(1)C,(2)在等差数列an中,a3+a9=27-a6,Sn表示数列an的前n项和,则S11等于() (A)18 (B)99 (C)198(D)297 (3)设Sn为等差数列an的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=.,答案:(2)B(3)-72,方法技巧 (1)等差数列运算问题的通性通法 等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解. 等差数列的通项公式及前n项

5、和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想. (2)等差数列设项技巧 若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设中间三项为a-d,a,a+d;若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设中间两项为a-d,a+d,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.,(2)因为S4=2+6d=20,所以d=3,故S6=3+15d=48.故选D.,(3)设Sn为等差数列an的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9等于() (A)-6 (B)-4 (C)-2(D)2,解析:(3)法一(基本量法)设公差为d,则8a1+28d=4a1+8d,即a1=-5d,a7=a1+6d

6、=-5d+6d=d=-2,所以a9=a7+2d=-6. 法二(性质法)根据等差数列的定义和性质可得S8=4(a3+a6),又S8=4a3, 所以a6=0,又a7=-2,所以a8=-4,a9=-6.故选A.,题型二,等差数列前n项和的最值问题,【例2】 等差数列an的首项a10,设其前n项和为Sn,且S5=S12,则当n为何值时,Sn有最大值?,方法技巧 求等差数列前n项和Sn最值的三种方法 (1)函数法 利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解.,即时训练2-1:等差数列an中,设Sn为其前n项和,且a10,S3=S11,则当n为多少时,

7、Sn取得最大值.,题型三,等差数列前n项和的性质及应用,【例3】 已知an为等差数列,前10项的和为S10=100,前100项的和S100=10,求前110项的和S110.,方法技巧 求数列的前n项和有着不同的途径,特别是运用一些等差数列的性质和等差数列前n项和的性质使问题解决变得很简单.熟练掌握性质,可以大大减少运算量,提高正确率.,即时训练3-1:(1)设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于() (A)63 (B)45 (C)36(D)27,解析:(1)由an是等差数列,得S3,S6-S3,S9-S6为等差数列. 即2(S6-S3)=S3+(S9-S

8、6),得到S9-S6=2S6-3S3=45,即a7+a8+a9=45,故选B. 答案:(1)B,(2)若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列的项数为() (A)13 (B)12(C)11 (D)10,答案:(2)A,(3)已知等差数列an的前n项和为Sn,且S10=10,S20=30,则S30=.,解析:(3)因为S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,所以2(S20-S10)=S10+S30-S20, 所以40=10+S30-30,所以S30=60. 答案:(3)60,题型四,an与Sn的关系及其应用,【例4】 已知正项数列an满足a1+a2+a3+an= (an+1)2(nN*).求数列an的通项公式.,方法技巧