2020版高中数学第二讲参数方程2.1曲线的参数方程课件新人教A版.pptx

1、第二讲 参数方程,一曲线的参数方程,1.了解学习参数方程的必要性. 2.理解参数方程、普通方程的概念,通过比较参数方程和普通方程,体会两者的联系与区别. 3.掌握圆的参数方程及其参数的意义. 4.能用圆的参数方程解决一些简单问题. 5.能进行普通方程和参数方程的互化.,1.参数方程的概念,(2)参数是联系变数x,y的桥梁,可以是一个有物理意义或几何意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数.,A.3 B.2 C.1 D.-1,2.圆的参数方程,A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 解析:直线y=ax+b通过第一、二、四象限,则a0,所以圆心(a,b)在第二象限. 答案:B,3.参

2、数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式. (2)在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.,两式平方相加,得(x-1)2+y2=4. 答案:(x-1)2+y2=4,【做一做3-2】 已知圆的方程为x2+y2-6y=0,将它化为参数方程. 解:由x2+y2-6y=0, 得x2+(y-3)2=9. 令x=3cos ,y-3=3sin ,1.曲线参数方程的特点 剖析曲线的普通方程直接反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系,而参数方程是通过参数间接反映坐标变量x,y间的联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义,也可能没有什么明显的几何意义

3、.曲线的参数方程常常是方程组的形式,任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点,反过来对于曲线上任一点也必然对应着相应的参数值.在具体问题中,要求相应曲线的参数方程,首先就要注意参数的选取.一般来说,选择参数时应考虑以下两点:一是曲线上每一点的坐标(x,y)都能由参数取某一值唯一地确定出来;二是参数与x,y的相互关系比较明显,容易列出方程.参数的选取应根据具体条件来考虑,可以是时间,也可以是线段的长度、方位角、旋转角,动直线的斜率、倾斜角、截距,动点的坐标等.有时为了便于列出方程,也可以选两个以上的参数,再设法消去其中的参数得到普通方程,或剩下一个参数得到参数方程.但这样做往往增加了

4、变形与计算的麻烦,所以参数个数一般应尽量少.,2.求曲线参数方程的步骤 剖析第一步,画出轨迹草图,设M(x,y)是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件建立适当的坐标系,以利于发现、表达变量之间的关系. 第二步,选择适当的参数.例如,在研究运动问题时,通常选时间为参数;在研究旋转问题时,通常选旋转角为参数.此外,离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数. 第三步,根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等,建立点的坐标与参数的函数关系式,证明可以省略.,3.参数方程与普通方程的互化 剖析(1)参数方程化为普通方程 一般地,将参数方程中的参数消去就会得到普

5、通方程,常采用消去法或代入法进行消参. (2)普通方程化为参数方程,(3)消参的常用方法 代入法.先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示),再代入另一个方程.,题型一,题型二,题型三,题型四,曲线的参数方程 【例1】 选取适当的参数,把直线方程y=2x+3化为参数方程. 解:选t=x,则y=2t+3,反思选择合适的参数是将普通方程化为参数方程的关键.,题型一,题型二,题型三,题型四,A.(0,2)B.(-1,6) C.(1,3)D.(3,4),所以点(0,2),(-1,6)均不在曲线上. 对于点(1,3),当x=1时,t=0, 此时y=2,即点(1,3)不在曲线上. 故选D. 答案:

6、D,题型一,题型二,题型三,题型四,圆的参数方程及应用 【例2】 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,定点A(12,0),当点P在圆上运动时,利用参数方程求线段PA的中点M的轨迹. 分析:设POA=,为参数,则圆O的参数方程为 (为参数).当变化时,动点P在定圆O上运动,线段PA随之变动,从而中点M在运动.因此点M的运动与有关,从而可以表示点M的坐标,求出点M的轨迹方程.,题型一,题型二,题型三,题型四,解:设POA=,以为参数,故点M的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆. 反思利用圆的参数方程求动点的轨迹方程是常见的题型,是圆的参数方程的主要应用之一.,题型一,题型二,题型

7、三,题型四,【变式训练2】 已知点P是圆x2+y2=9上的一个动点,定点A(9,0),点M在线段PA上,且2|PM|=|MA|,当点P在圆上运动时,求点M的轨迹的参数方程. 解:设点M的坐标是(x,y),xOP=, 则点P的坐标是(3cos ,3sin ). 因为2|PM|=|MA|,题型一,题型二,题型三,题型四,参数方程与普通方程的互化,解:(x-1)2+(y+2)2=16cos2t+16sin2t=16, 即(x-1)2+(y+2)2=16,它表示以(1,-2)为圆心,4为半径的圆. 反思普通方程化为参数方程,就是要把x,y分别用参数表示出来,所以我们要分别找出参数与x,y的关系,然后表达出来即可,另外要特别注意参数的取值范围. 参数方程化为普通方程的关键是消去参数,并且要保证等价性.若不可避免地破坏了同解变形,则一定要通过x=f(t),y=g(t),根据t的取值范围推导出x,y的取值范围.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 (1)将下列参数方程化为普通方程:,(2)已知圆的普通方程为x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程. 解:(1)(x-2)2+y2=9cos2+9sin2=9,故原参数方程的普通方程为(x-2)2+y2=9.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,易错辨析 易错点:忽视参数的取值范围而致错 【例