第5章(5.8)最大似然序列估计(MLSE)与维特比算法(VA)

1、5.8 最大似然序列估计（MLSE）与维特比算法（VA）引言：1最大似然函数准则在AWGN或AGN信道上最佳接收准则。M元xi发送信息符号序列统计独立 噪声（白，非白） 用K-L展开式，分解y 任意正交基，分解yy(t)或y, 判发送 . i=1,2,M可分解成N个独立的一维概率密度函数连乘 2.最大似然序列估计准则在ISI+AGN（AWGN）信道噪声（非白） 用K-L展开式，分解y 引入相关性信道弥散效应 卷积编码器 卷积计算y(t)或y由于引入相关性，似然函数与xi有关. 映射xi一 最佳接收准则及性能指数1 系统模型Ing(t)c(t)接收机r(t)z(t)h(t)问题：在非白噪声及IS

2、I中的最佳接收2最佳接收准则ML函数准则MLSE准则 求似然函数： 在N维复信号空间中，利用KL展开式，在标准正交基上 统计独立高斯变量 统计独立高斯变量 式中， 特点：的均值与所覆盖的若干连续符号（即序列Ip）有关。原因：信道弥散效应使相邻符号之间引入相关性。所以：的统计特性与序列Ip有关。则似然函数为 也可写成： ， 按照MLSE准则，对给定接收信号r(t), 当 ，判即最佳估计序列 是取遍所有序列后使ML最大的序列。3性能指标 使似然函数最大，等价于使积分值为最小。定义：性能指数 接收信号能量 MF输出yn 相关函数xn-m 故, MLSE准则等价于最小。可简化为： 最佳估计时, 式中,

3、 为MF在 时输出 为MF(或信道)自相关函数注：，。二维特比算法（VA）1.性能指数的递推算法 设发送序列（复） 总长度为N 收：最佳估计序列 使 （2）（1）可分解为递推形式： (1) (2) (A)证明： （自相关函数） 其中，设信道(Tx+ch)的冲激响应h(t)持续时间为0, LT（支撑），则自相关函数（或Tx+chMF的响应）持续时间为-LT, LT （支撑）。(A)式可表示为： (A1) 对子序列Ik 进行估计时（换个时间下标），性能指数 （A2）对子序列Ik+1 进行估计时，性能指数：(将（A）式中Nk+1, N-1k) (A3) 或 （性能指数增量）k值的确定： k=L,L+

4、1,N最大值kmax=N,由发送序列最大长度所确定最小值kmin=L,由信道响应的长度所确定。（因为ISI覆盖了L个符号，只有在后，才有可能做出正确的估计）(A3)式就是性能指数的递推算法。为了从概念上更清晰地说明和简明地表达VAl 定义：估计序列状态 表示t=kT时刻，包括当前及其前列符号在内的L个符号（即ISI所覆盖的符号）估计值所有可能取值的组合。若符号为M元，则每个状态取值组合共有ML个。例如，M=2，L=2，则共有4个取值组合。显然，正确估计只能是其中某一个。状态中取值组合可简称为状态取值（或状态元素），用节点0表示。因此，一般讲，对长度为L的M元符号序列，每一个状态共有ML个节点。

5、 00 0 001 0 010 0 .11 0 . ML个节点 0 0长度为N (NL)的序列经历了(N-L+1)个状态。 （N-L+1）个状态l 定义：状态转移从一个状态过渡到下一个状态，记为，将“状态”及“状态转移”引入（A3）式，性能指数可改写为, (A4)上式即为性能指数递推算法简洁形式，即VA。2Trellis图及最佳估计的几何解释。1） Trellis图由前面分析可以看出：由（A1）式计算性能指数，并寻找其最小值，来获得对发送符号序列的最佳估计的算法，等价于(A4)式的递推算法。因此，最佳估计应满足：为最小值 （A5）或 （A6）或 ( A7)(A7)式所表示的求最佳估计序列的递推

6、算法，可以用Trellis图加以几何解释。 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 图解说明：l 每一个状态，共有ML个节点（o）l 为“分支度量（长度）”或“状态转移度量（长度）”，表示从时，各节点的性能指数增量。l 为“路径度量（长度）”。 表示从初始状态开始直到状态，各节点性能指数的累加值。2）最佳估计的几何解释： （即，在Trellis图中，寻求最佳的几何解释）a) 最佳由全程最短路径所确定。 按（A5）式，最佳等价于全程最短路径所连接各状态相应节点所表示的符号序列。b) 求全程最短路径的方法：计算累加比较、取舍即：在状态转移中，累加分支长度，再比较、取舍，直到最

7、后一个状态为止。具体地说， 按（A6）（A7）式，求全程最短路径可由逐段最短路径累加来实现。即状态每转移一次，计算在新状态下各节点的累加路径，再舍去各节点中较长的路径，只保留其中最短路径（叫“幸存路径”）。各状态下的最短路径叫“局部最短路径”。这种在状态转移过程中通过计算、累加、比较、取舍方法寻求最短路径的过程延续到最后一个状态。再比较各节点的幸存路径，即可找到全程最短路径。3）说明几点：-关于全程最短路径与局部最短路径的关系。l “全程最短路径”的唯一性。当发送序列很长，N很大，全程最短路径是唯一的，它对应着最佳估计。l “局部最短路径“的分离性。局部最短路径在若干个状态转移过程中，不一定与

8、全程最短路径相吻合，或同时存在几个相等的局部“最短”路径。因此，在若干个状态转移过程中，不一定能确定真正符合全程的最短路径。 原因：信道噪声的随机性。 当噪声样本序列比较短时，它的统计特性不平稳，带有较大的随机性；当噪声样本序列足够长时，它的统计特性才比较平稳。l 离合长度的随机性。 总的来看，局部最短路径与全程最短路径“时分”、“时合”，分离或合并的长度是随机的。它取决于信道的条件、信噪比等因素。当信道条件差，或信噪比较低时，分离的长度就增加。在极端情况下，分离现象直到最终状态时，也不能消除，这时接收的错误概率比较大。全程最短路径 4）估计的具体方法： 局部最短路径l 要实时估计，不能最终估

9、计。在实际应用中，不可能等找出全程最短路径之后，再确定，因为这需要庞大的存储器，而且也不满足通信实时性的要求。l 要截取足够长度进行估计。由于“分离现象”的存在，必须截取足够长度的接收信号序列进行估计。l 截取长度要固定，不宜随机。分离长度虽然是随机的，但不宜采用随机截取方式进行估计。因为随机截取进行估计将增加设备复杂性。通常，截取足够的固定长度q（“截取深度”或“判决深度”），选q5L时，一般MLSE性能损失很小3 .VA小结-VA是寻求全程最佳（最短）路径的计算过程（递推算法） “最佳路径”等价于MLSE准则，或MAP准则。-更一般讲， VA是在加性无记忆噪声中估计马尔可夫链状态序列的一种

10、递推最佳求解方法。（故也适合于Trellis码的解码）注：马氏过程：无后效应，随机过程的当前状态只与前一状态有关，而与其它时刻的状态无关。马氏链：状态和时间参数都是离散的马氏过程。VA的算法过程归纳如下：1)建立相应的存储单元 k时间指数 路径长度 分支长度 2)建立初始状态：k=L，计算3)递推运算：l 计算分支长度l 计算路径长 l 求最短路径（幸存路径） k=L,L+1, N-1存储幸存路径及相应的最佳估计序列在时，开始输出最佳估计序列。重复上述递推运算直到K=N-1为止，即可得到最佳估计序列: 三 最佳接收机结构g(t)c(t)h*(-t)VA 信道估计器Ik yk h(t) z(t)

11、 xk x(t)=h(t)*h*(-t)四 举例。1实序列估计的VA 假定发送符号序列为实序列： 则性能指数为：（由（A）式） l 计算分支长度l 计算路径长度l 求最短路径 k=L,L+1, N-1当k=L时，初始路径为 由L个符号组成当k=L, 2系统的条件及分析【条件】: 设二元数字传输系统，M=2信道响应长度为LT，L=2, h0,h1,hL信道自相关函数长度（2L+1）T, x-Lx-1,x0,x1xL x0=1, x+1=x-1=0.5, x+2=x-2=-0.25 (自相关函数对称性)发送序列长度N=7, 匹配滤波器输出样值yn： y1=1.5,y2=2.0,y3 =0.5 y4

12、 1.0 y5 =-1.5 y6 =-3.0 y7=0.5【分析】: 状态 k=L,L+1, N-1 ，由2个符号组合而成 ， 每一个状态共有ML=22=4个节点 例如， 考察相邻两个状态的转移情况（从） kT (k+1)T 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 可以看出：l 每一状态中，都有4个节点（00，01，10，11）l 从前一状态（）看：每一节点都分别通过2个分支转移到下一状态的相应的2个节点共同点： 上分支表示后续符号为0 下分支表示后续符号为1l 从后一状态（）看： 每一个节点都分别通过2个分支与前一状态的相应2个节点相联系。 每个状态中4个节点有相应的

13、4个路径长度（幸存路径）:l 2个状态各节点间有相应的8个分支长度 3VA的计算举例设二元符号“0”“1”分别用电平“-1”和“+1”表示:“0”（-1） “1”（+1）1)建立初始状态：k=L=2计算： 2)递推运算l 计算 计算 设 u上支路, d下支路 幸存路径l 求状态中各节点的幸存路径（最短路径） 在Trellis图中，两状态转移中各节点的最短路径（即幸存路径）用实线表示，而非最短路径（舍去路径）用虚线表示。l 令k=3，4，5，6 重复上述的VA递推运算过程，计算出,各状态中各个节点的最短路径（幸存路径），如图所示。 4寻求最佳估计序列1) 根据局部最短路径，经过比较、舍取、递推，即可确定全程最短路径，即最佳路径。2) 由最佳路径所连接的各状态中的各节点即可找到最佳估计序列。 由图可见，最佳路径所连接的各节点为： 因此，或 5.关于判决深度由图可见，在时，局部最短路径，与全程最短路径在该状态的值不吻合。换言之，在状态时，局部最短路径