第04章空间力系

1、理论力学多媒体教材,第四章 空间力系,第四章 空间力系,4-1 力对点的矩和力对轴的矩,4-2 空间汇交力系和力偶系,4-4 空间任意力系向一点简化结果分析,4-3 空间任意力系向一点简化，主矢和主矩,4-5空间任意力系的平衡方程,4-6空间任意力系平衡问题的求解,4-7 重心,例题,例题,4-1 力对点的矩和力对轴的矩,若 表示力矢量， 表示到该力 作用点的矢径，则力对点的力矩可用定位矢量 表示，力对点的矩矢 等于力 作用点位置矢量 与力 的矢量积,1.力对点的矩 力对点之矩是力使物体绕某一点转动效果的度量，在空间上，力对于一点的力矩，取决于三个要素，既力矩的大小，转向和力与矩心所构成平面方

2、位。,的大小:,的方向:,与该力和矩心所构成平面的法线方向相同，垂直于 所组成的平面；力矩矢量的指向可用右手螺旋法则来确定。,z y x,以矩心O为原点，建立空间直角坐标系oxyz,设 为 方向的单位矢量。,设力 的作用点的坐标为 力在三个坐标轴上的投影为 ,矢径 和力 分别表示为:,y,特殊情况，当 时， 在 面上， 垂直于 面，与轴平行，这正是平面力对于点力矩的特例。,2力对轴的矩,力对轴的力矩是力使物体绕该轴转动效果的度量。,可见，力对轴的力矩，是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩的大小。 正负号如下规定：从z 轴正端来看，该力的投影使得物体

3、绕该轴按逆时针转向转动，则取正号，反之取负号。可以按右手螺旋法则来判定。,图示表明力F 对固定轴 z 的矩，可由F 分解为平行于z 轴的力 Fz 和垂直于z轴的力Fxy 分别对z轴的力矩和。 Fz 对轴不产生力矩作用。,对轴 的力矩,解： 取A点为坐标原点,C点坐标为 (-l, 2l, 0),C点作用力为:,对点A的力矩：,返回,设刚体上作用在同一点的力系F1,F2, Fn.； 它们合成可以根据平行四边形法，两个力逐个合成，最后得到一个通过汇交点 A 的合力。,4-2 空间汇交力系和空间力偶系,由力三角形法则，将各力的矢量首尾 相接，构成一空间的不封闭的力多边形。 由起点到终点的封闭边即为合力

4、FR矢量。,1) 空间汇交力系合成几何法：,2) 空间汇交力系合成的解析法：,合力的方向为：,合力矢：,合力的大小：,力多边形自行封闭，刚体处于平衡状态。此即汇交力系平衡条件。,3）空间汇交力系的平衡条件,汇交力系平衡方程,返回,解：1）几何法：如图所示,2）解析法 将每个分力写成矢量形式：,返回,例： 直杆AB，AC，AD，用光滑球铰联结成支架，几何尺寸如图，各杆重量不计，A点施加作用力P，确定三杆所受力的大小。,1）取整体为研究对象,2）取坐标,3）受力分析,4）分析力系：空间汇交力系,5）列平衡方程解未知力,压力,拉力,已经讲述了力偶是由两个大小相等，方向相反且平行的力组成。它也是一个矢

5、量，称为力偶矩矢量，力偶矩矢量对物体产生转动作用效果。,我们看如图所示组成力偶的两个力（FA,FB）对于空间任意点O的矩：,大小为,与O点选取无关；方向垂直于（FA,FB）组成的平面，指向由 确定。这表明力偶矩矢量是一个自由矢量。,2空间力偶系,空间力偶系如图所示，由于力偶矩矢量是自由矢量，所以可以将作用在刚体上的每个力偶矩矢量平行地移动到同一点。空间力偶系合成与空间汇交力系的合成方法相似，构成空间汇交矢量系。,1）空间力偶系的合成,合力偶矢量的大小,合力偶矢量的方向,2）空间力偶系的平衡条件,力偶多边形的自行封闭，刚体处于平衡状态。此即力偶系平衡条件。,力偶系平衡方程,解：1）几何法：图示。

6、,2）解析法:将每个力偶写成矢量形式：,返回,例： 无重曲杆ABCD结构如图，D端为球铰支座，A端受轴承约束，已知力偶M2 , M3 ，曲杆处于平衡状态，确定 M1 和支座反力。,解： 1）取无重曲杆ABCD为研究对象,2）建立坐标系,3）受力分析,组成力偶,返回,4-3 空间任意力系向一点简化，主矢和主矩,1刚体上作用力系向一点简化主矢和主矩,已知刚体上作用的力系为F1,F2 , F3, Fn ，见图，将各作用力向O点简化。,根据力线平移定理，如将第i 个力向O点简化的结果为一个力Fi和一个力偶Mi =Mo(Fi) 作用. 这样形成一个作用在O点的汇交力系F1 ,F2 , F3 , Fn 和

7、力偶系M1, M2, M3, Mn.,根据汇交力系合成方法，F1 ,F2 , F3 , Fn 的合成结果是一个合力FR ,等于原力系的矢量和。,称为主矢,根据力偶系合成方法， M1, M2, M3, Mn可以平移到O点，合成结果是一个合力偶。即等于原力系对于简化中心之矩的矢量和,即等于原力系对于简化中心之矩的矢量。,称为主矩,空间任意力系向任意点简化的结果为：一个力和一个力偶，这个力FR 过简化中心，称为主矢 ，这个力偶 MO 称为主矩。,主矩MO与简化中心位置有关,主矢FR与简化中心位置无关,主矢 FR 解析式：,主矢大小,主矢方向,主矩 MO 解析式：,主矩大小,主矩方向,返回,4-4空间

8、力系向一点简化结果分析,简化结果为合力偶。这个合力偶与原力系等效。因为力偶是自由矢量，力偶矩矢量与矩心位置无关。所以，此时主矩矢量与简化中心无关。,简化结果为合力。这个合力与原力系等效。这个合力作用线过简化中心。,有下列几种情况：,1.,简化结果为不过简化中心的合力,由加减平衡力系公理，可去掉 。,将 用构成力偶的二力 代替, 二力在垂直于 平面内，使得：,结果是一个力和一个力偶。这种的力和力偶共同作用效果，称为力螺旋.过简化中心.攻螺纹正是这种结果。将 化为构成力偶的二力 ，可直观看到这种效果,将 分解为垂直于 和平行于 的两个力偶 和,用构成力偶的 二力代替。且满足：,由加减平衡力系公理，

9、去掉 。,简化结果为不通过简化中心的一个合力和力偶； 即为不通过简化中心的力螺旋。,4-5空间任意力系的平衡方程,空间任意力系的平衡方程,单刚体在任意力系作用下如果保持平衡，则必须满足由这6个方程组成的平衡方程组，可见这个平衡方程组最多可解出6个未知量。,返回, 特殊情况：,空间平行力系具有三个独立方程，可以解三个未知力。,作用在刚体上所有力Fi都互相平行；且设：Fiz 。,平衡方程可化为：,1）空间平行力系：,空间汇交力系具有三个独立方程，可以解三个未知力。,空间汇交力系， 由合力矩定理成为恒等式自然满足。,所以平衡方程为：,2） 空间汇交力系,空间力偶系具有三个独立方程，最多可以解三个未知

10、力,3）空间力偶系,所以平衡方程为：,返回,例： 一个矩形均质薄板ABCD，其重力P，在A点球铰，B点碟形铰链和C点绳作用下平衡，AD=a, ACD=ACE=300。求A,B,C点的约束反力。,解：本题为单刚体受力分析问题。 1)取刚架ABCD为研究对象 2)建立坐标系,3)受力分析如图 A点是3自由度约束，B点是2自由度约束，C点是1自由度约束,4)分析力系，本题为空间任意力系，可列6个方程,4-6空间任意力系平衡问题的求解,5)列平衡方程解未知力,返回,例： 小车受力如图，求A,B,C处反力,解：1)取小车为研究对象 2)建立坐标系如图 3)受力分析如图,4)分析力系,本题为空间平行力系。

11、 A点，B点，C点都是1自由度约束，可列3个独立方程 5)列平衡方程解未知力,返回,返回,例： 边长为1m的等边三角形板ABC，用三根垂直杆和三根与水平面成300的斜杆支撑在水平位置。板上作用一力偶为M=1KNm,板和支撑杆重不计，求各杆内力。,解：1) 取等边三角形板为研究对象 2）取坐标如图,3）受力分析如图,4）分析力系，此题为空间一般力系,5)列平衡方程解未知力,返回,例：长度相等的直梁AB,CD;在中点E以铰链连接,梁杆互成直角; 设AC=BC=DB=AD=a,梁杆的A,C端各用球铰链固接在墙上;并用绳子BF吊住B端,使梁杆处于水平位置,绳子的另一端挂在钉子F上, F与C连线沿铅垂方

12、向,FBC=450;在杆的D端挂一重P=250N的物体,杆重不计,如图，求绳子的张力和支座A，C的反力。,解： 1）分别取整体、AC、CD为研究对象 2）取坐标如图；,3）受力分析 整体,CD梁,AB梁,4）分析力系，此题为空间一般力系 5）列平衡方程解未知量,对整体：,对CD,返回整体,返回,例: 由直角曲杆ABC, DE，直杆CD及滑轮组成的结构如图。AB杆上作用水平均布载荷q=1KN/m,不计各杆重量。D处作用铅直重力F=1KN,r=a=1m，重物P=2F,CO=OD,求支座及固定端的A的约束反力。,解： 1) 取直角曲杆ABC和C DE为研究对象 2）取坐标;,3）受力分析,4）分析力

13、系，此题为平面一般力系,5）列平衡方程解未知量,对于CE件,F=1KN,r=a=1m，P=2KN, q=1KN/m,5）列平衡方程解未知量,对于AB件,F=1KN, r=a=1m，P=2KN, q=1KN/m,返回,物体无论如何放置，其合力作用线都通过物体上一个确定点。这一点称为物体的重心。,4-7 重心,求物体的重心，实质上是求平行力系合力作用点的问题，该作用点称为中心。,设F1、F2、F3作用在刚体的A、B、C点 则：F1与F2合成，F1，2=F1+F2 F1，2的作用位置O1点： 再将F1，2与F3合成，F1，2，3=F1，2+F3=F1+F2+F3 FR=F1，2，3 的作用位置O点：

14、 力更多时，可类推，点O称为平行力系的中心。,一、平行力系中心：,由合力矩定理,平行力系中心的坐标公式推导：,同理：,二、物体的重心位置：,1）均质：比重为,2）均质，等厚薄板：,3）均质杆（细）：,性质：凡具有对称轴或对称中心的简单形状的均质物体，其重心一定在它的对称面、对称轴或对称中心上。,1）组合法(分割法) 例： 图示平面图形，求其形心。,解：分割成两部分：,确定重心的方法,返回,2）负面积法,若在物体或薄板内切去一部分，此类物体重心，仍可应用分割法相同的公式来求得，只是切去部分的面积或体积取负值。,解：,返回,工程中的一些形状复杂和质量分布不均匀的物体，重心是难以计算的，这时可用实验法确定重心。,（1