第33讲等差、等比数列的性质及综合应用

1、新课标高中一轮总复习,第五单元 数列、推理与证明,第33讲,等差、等比数列的性质及综合应用,掌握等差、等比数列的基本性质：如（）“成对”和或积相等问题；（）等差数列求和S2n-1与中项an；能灵活运用性质解决有关问题.如分组求和技巧、整体运算.,1.在等差数列an与等比数列bn中，下列结论正确的是( ),C,A.a1+a9=a10,b1b9=b10 B.a1+a9=a3+a6,b1+b9=b3+b6 C.a1+a9=a4+a6,b1b9=b4b6 D.a1+a9=2a5,b1b9=2b5,当m+n=p+q时，等差数列中有am+an=ap+aq,等比数列中有bmbn=bpbq.,2.已知等比数列

2、an中，有a3a11=4a7，数列bn是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于（ ）,C,A.2 B.4 C.8 D.16,因为a3a11=a72=4a7，因为a70，所以a7=4，所以b7=4. 因为bn为等差数列，所以b5+b9=2b7=8，故选C.,3.命题:若数列an的前n项和Sn=an+b(a1),则数列an是等比数列; 命题:若数列an的前n项和Sn=an2+bn+c(a0),则数列an是等差数列; 命题：若数列an的前n项和Sn=na-n,则数列an既是等差数列，又是等比数列. 上述三个命题中，真命题有( ),A,A.0个 B.1个 C.2个 D.3个,由命题得，a1=a+b,

3、当n时，an=Sn-Sn-1(a-1)an-1.若an是等比,数列则 =a,即 =a,所以只有当b=-1且a0时，此数列才是等比数列. 由命题得,a1=a+b+c,当n时，an=Sn-Sn-1=2na+b-a.若an是等差数列，则a2-a1=2a,即2a-c=2a,所以只有当c=0时，数列an才是等差数列. 由命题得，a1=a-1,当n时，an=Sn-Sn-1=a-1,显然an是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当a-10，即a时，数列an才又是等比数列.,4.(1)等差数列的前n项的和为54，前2n项的和为60，则前3n项的和为 ； (2)等比数列的前n项和为54，前2n项的和为60

4、，则前3n项的和为 .,18,60,(1)由等差数列性质,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列，则2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n，解得S3n=18. (2)由等比数列性质,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列, 则(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)，解得S3n=60 .,5.已知数列an、bn分别为等差、等比数列，且a1=b10，a3=b3，b1b3，则一定有a2 b2，a5 b5（填“”“”“=”).,(方法一)由中项性质和等比数列性质知b10，b30，又b1b3， a2= = =|b2|，故a2b2； 同理，a5=2a3-a1，b5= ， 所以b5-a5=

5、 -(2b3-b1)= = 0, 即b5a5.,(方法二)通项与函数关系. 因为an=dn+(a1-d)为关于n的一次函数，bn=a1qn-1= qn为关于n的类指数函数. 当d0，如图1；当db2，a5b5.,1.等差数列的性质 (1)当公差d0时,等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是关于n的一次函数,且斜率为公差d;前n项和Sn=na1+ = n2+(a1- )n是关于n的二次函数，且常数项为0. (2)若公差 ，则为递增等差数列，若公差 ,则为递减等差数列,若公差 ,则为常数列.,d0,d0,d=0,(3)当m+n=p+q时,则有 ,特别地,当m+n=2p时，则有

6、am+an=2ap. (4)若an是等差数列，则kan(k是非零常数)，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n，也成等差数列，而aan(a0)成等比数列；若an是等比数列，且an0，则lgan是等差数列. (5)在等差数列an中，当项数为偶数2n时;S偶-S奇= ;项数为奇数2n-1时;S奇-S偶= ，S2n-1=(2n-1)a中(这里a中即an);S奇S偶=(k+1)k.,am+an=ap+aq,nd,a中,(6)若等差数列an、bn的前n项和分别为An、Bn,且 =f(n),则 = = =f(2n-1). (7)“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有 之和;“首负”的递增等差数列中,

7、前n项和的最小值是所有 之和. (8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.,非负项,非正项,2.等比数列的性质 (1)当m+n=p+q时，则有 ,特别地，当m+n=2p时，则有aman=ap2. (2)若an是等比数列，则kan成等比数列；若an、bn成等比数列，则anbn、 成等比数列;若an是等比数列,且公比q-1,则数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,也是 数列.当q=-1,且n为偶数时,数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,是常数数列0,它不是等比数列.,aman=apaq,等比,(3)若a10

8、,q1,则an为 数列；若a11,则an为 数列;若a10,0q1,则an为递减数列；若a10,0q1，则an为递增数列；若q0,则an为摆动数列；若q=1,则an为 数列. (4)当q时,Sn= qn+ =aqn+b,这里a+b=0，但a0，b0，这是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据Sn判断数列an是否为等比数列.,递增,递减,常,(5)Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm. (6)在等比数列an中，当项数为偶数2n时，S偶= ；项数为奇数2n-1时,S奇=a1+qS偶. (7)如果数列an既成等差数列又成等比数列，那么数列an是非零常数数列，故常数数列an仅是此数列既成等

9、差数列又成等比数列的必要非充分条件.,qS奇,题型一 “成对下标和”性质,例1,(1)已知数列n为等差数列,且1+8+15=2，则tan(2+14)的值是（ ）,A. B.- C. D.-,A,(2)(2009广东卷)已知等比数列an满足an0,n=1,2,，且a5a2n-5=22n(n3),则当n1时,log2a1+log2a3+log2a2n-1=( ),A. n(2n-1) B. (n+1)2 C. n2 D. (n-1)2,(1)因为1+8+15=2，且n成等差数列， 则1+15=28，故8= . 于是tan(2+14)=tan28=tan = .,C,(2)因为a5a2n-5=22n

10、(n3),且an成等比数列, 则a1a2n-1=a3a2n-3=a5a2n-5=22n=an2. 令S=log2a1+log2a3+log2a2n-1， 则S=log2a2n-1+log2a3+log2a1, 所以2S=log2(a1a2n-1)(a3a2n-3)(a2n-3a3)(a2n-1a1) =log2(22n)n, 所以2S=2nn，所以 S=n2.,本题是等差、等比的求值题，难点是找条件和目标之间的对应关系.解题时，根据等差、等比数列的“成对下标和”性质，列出方程或多个恒等式是解题的关键.一般的，对于涉及等差、等比数列的通项公式的条件求值题，合理利用通项或相关性质进行化归是基本方法

11、.,(2010湖北省模拟)设数列an、bn都是正项等比数列，Sn、Tn分别为数列lgan与lgbn的前n项和,且 = ,则logb5a5= .,由题知， = = = =logb5a5 logb5a5= .,题型二 部分“和”“积”与整体性质,例2,(1)等差数列an中,a9+a10=a,a19+a20=b, 求a99+a100. (2)在等比数列an中,若a1a2a3a4=1, a13a14a15a16=8,求a41a42a43a44.,(1)将相邻两项和a1+a2,a3+a4,a5+a6,a99+a100分别记为b1,b2,b3,b50,可知bn成等差数列. 此数列的公差d= = . a99

12、+a100=b50=b5+45d=a+ 45=9b-8a.,(2)(方法一)a1a2a3a4=a1a1qa1q2a1q3 =a14q6=1. a13a14a15a16=a1q12a1q13a1q14a1q15 =a14q54=8. 得， =q48=8 q16=2. 又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q43 =a14q166=a14q6q160 =(a14q6)(q16)10 =1210=1024.,(方法二)由性质可知，依次项的积为等比数列，设公比为q,T1=a1a2a3a4=1, T4=a13a14a15a16=8, 所以T4=T1q3=1q3=8 q=2, 所以T

13、11a41a42a43a44=T1q10=1024.,巧用性质，减少运算，在有关等差、等比数列的计算中非常重要.如（）（2）小题巧用性质，构造一个新的等差或等比数列求解.,题型三 等差、等比数列性质的综合应用,例3,已知等比数列xn的各项为不等于的正数，数列yn满足ynlogxna=2(a0,a1)，设y3=18,y6=12. (1)求数列yn的前多少项和最大,最大值为多少? (2)试判断是否存在自然数，使当nM时，xn1恒成立？若存在，求出相应的M值；若不存在，请说明理由； (3)令an=logxnxn+1（n13,nN*），试判断数列an的增减性？,(1)由已知得，yn=2logaxn.

14、设等比数列xn的公比为q(q)， 由yn+1-yn=2(logaxn+1-logaxn)=2loga =2logaq, 得yn为等差数列，设公差为d. 因为y3=18,y6=12,所以d=-2, 所以yn=y3+(n-3)d=24-2n. yk+10 yk0 所以前11项与前12项和为最大,其和为132.,设前k项和为最大,则,11k12,y12=0,(2)xn=a12-n,nN*. 若xn1，则a12-n1. 当a1时，n12, 所以存在M=12,13,14,当nM时，xn1. (3)an=logxnxn+1=loga12-na12-(n+1)= . 因为an+1-an= - = , 又n1

15、3,所以an+113时，数列an为递减数列.,本小题主要考查等差、等比数列的有关知识，考查运用方程、分类讨论等思想方法进行分析、探索及解决问题的能力.,在数列an中，a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an-qan-1(n2,q0). (1)设bn=an+1-an(nN*),证明：bn是等比数列； (2)求数列an的通项公式； (3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的nN*,an是an+3与an+6的等差中项.,(1)证明:由题设an+1=(1+q)an-qan-1(n2), 得an+1-an=q(an-an-1),即bn=qbn-1,n2. 又b1=a2-a1=1

16、,q0， 所以bn是首项为1,公比为q的等比数列.,(2)由(1)知，a2-a1=1, a3-a2=q, an-an-1=qn-2(n). 将以上各式相加,得an-a1=1+q+qn-2(n2). 1+ (q1) n (q=1). 上式对n=1显然成立.,所以当n2时, an=,(3)由(2)知，当q=1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q1. 由a3-a6=a9-a3，可得q5-q2=q2-q8, 由q0，得q3-1=1-q6, 整理得(q3)2+q3-2=0,解得q3=-2或q3=1(舍去). 于是q=- . 另一方面,an-an+3= = (q3-1), an+6-an= = (1

17、-q6). 由可得an-an+3=an+6-an(nN*). 所以对任意的nN*,an是an+3与an+6的等差中项.,3,1.知三求二：在等差（比）数列中，a1,d(q),n,an,Sn共五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个.解这类问题时，一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算.,2.巧用性质、减少运算量：在等差、等比数列的计算中，巧用性质非常重要，同时树立“目标意识”，需要什么，就求什么，既要充分合理地利用条件，又要时刻注意问题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果.,(2009安徽卷)已知an为等差数列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99.以Sn表示an的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是( ),B,A. 21 B. 20 C. 19 D. 18,由a1+a3+a5=105,得3a3=105,即a3=35. 由a2+a4+a6=99，得3a4=99，即a4=33. 则由-得d=-2， 所以an=a4+(n-4)(-2)=41-2n. an0 an+10， 解得19.5n20.5,又nN*,故n=20.,令,(2009江西卷)各项均为正数的数列an,a1=a,a2=b,且对满足m+n=p+q的正整数m,n,p,q都有 = . (1)当a= ,b= 时，求通项an; (2)证明:对任意a,存在与a有关的常数，使得对