第三章静态电磁场及..

1、第3章 静态电磁场及其 边值问题的解 3.1 静电场分析, 以矢量分析和亥姆霍兹定理为基础，讨论静电场、恒定电场的特性和求解方法。, 首先建立真空、电介质和导电媒质中电场的基本方程；引入电位函数; 导出电位满足的泊松方程和拉普拉斯方程；确立电场的边界条件 。, 最后讨论电容的计算，电场能量的计算。,3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数 3.1.3 导体系统的电容 3.1.4 静电场的能量 3.1.5 静电力,3.1.1 静电场的基本方程, 关系式 称为真空的电特性方程或本构关系, 静电场的源变量是电荷, 第2章中已由库仑定律引入了电荷 产生的电场强度, 任意电荷分布产生

2、的电场强度, 定义任意电荷分布产生的电位移矢量,对任意闭合曲面S 积分,一、电场的散度,设空间存在一点电荷 ，则 点的电位移,若闭合面内有N 个点电荷,若闭合面内的电荷分布为,真空中的高斯定律,于是电场的散度方程,（高斯定理的微分形式）,二、电场的旋度,真空中电场的基本方程,在点电荷 的电场中，任取一条曲线 ，积分,当积分路径是闭合曲线，A、B 两点重合，得,当,当,补充例题 电荷按体密度 分布于半径为a 的球形区域内， 其中 为常数。试计算球内外的电位移矢量。,解: 电场具有球对称性，,于是,于是,2. 边界条件,3.1.2 电位函数 1.电位和电位差,由,， 称为静电场的标量位函数，又称电

3、位函数, 由此可求得电位的微分, 空间A、B 两点的电位差, 若选取 为电位参（即 ）， 则任意点 的电位为, 对于点电荷的电场，其电位为,若取 处的电位为零，则,解：取如图所示坐标系，场点 的电位等于两个点电荷电位的叠加,而,当,因此,由于,得电偶极子的电位,电偶极子的电场强度,2. 静电位的微分方程（泊松方程 拉普拉斯方程）,由,在直角坐标系中,若空间电荷分布为零，则有,补充例题 半径为a 的带电导体球，其电位为U（无穷远处电位为零），试计算球外空间的电位。,解： 球外空间的电位满足拉氏方程, 电位满足的边界条件,由题意可知电位及电场具有球对称性,在球坐标系下,因此,电位的边界条件：,例3

4、.1.3 两块无限大接地导体板分别位于x=0,x=a处，在两块导体板间,o,x,y,b,a,补充内容： 点电荷的 函数表示 格林函数, 为表示点电荷的体密度，引入 函数, 于是位于 处的点电荷q 的体密度为, 单位点电荷产生的电位满足的泊松方程, 定义格林函数,格林定理 泊松方程的积分公式,格林恒等式是矢量分析中的重要恒等式。,由散度定理,设,而,得格林第一恒等式,格林第二恒等式,利用格林函数的性质和格林第二恒等式可得到有界空间中的泊松方程的积分解,以上公式说明，只要知道区域 内的电荷分布 以及区域边界面 上的电 位 和电位梯度 值，就可求出区域内的电位分布。,惟一性定理, 静电场的边值问题是

5、在给定边界条件下求泊松方程或拉普拉斯方程的解。, 可以证明在每一类边界条件下泊松方程或拉普拉斯方程的解都是惟一的。这就 是边值问题的惟一性定理, 惟一性定理的意义：是间接求解边值问题的理论依据。,当电场中放入电介质时，电介质在电场的作用下发生极化现象，介质中因极化出现许多电偶极矩，电偶极矩又要产生电场，叠加于原来电场之上，使电场发生变化。, 极化强度：用p 表示极化的程度，即,式中：N 为单位体积内被极化的分子数, 极化体电荷, 由于电场的作用使电偶极子的定向排列，介质内部出现极化体电荷，介质表面出现极化面电荷。,一、电位移矢量D 的边界条件,将电场基本方程 用于所作的圆柱形表面。,设两种不同

6、的电介质 ，其分界面的法线方向为n，在分界面上作一小圆柱形表面，两底面分别位于介质两侧，底面积为 ，h 为无穷小量。,方程左边,电位移矢量D 的边界条件,用矢量表示,方程右边,为分界面上的自由电荷面密度,二、电场强度E 的边界条件,（其中 为回路所围面积的法线方向）,因为回路是任意的，其所围面的法向也是任意的，因而有,电场强度E的边界条件：,或表示为,在分界面上作一小的矩形回路，其两边 分居于分界面两侧，而高 。将方程 用于此回路,介质分界面两侧电场强度的切向分量连续,对于电位 由,由,例 3.9.1 半径分别为a和b 的同轴线，外加电压U。圆柱电极间在图示 角部分填充介电常数为 的介质，其余

7、部分为空气，求内外导体间的电场。（教材例3.9.2),解：问题具有轴对称性，选用柱坐标系， 待求函数 ，,在圆柱坐标系下,于是电位 满足的拉普拉斯方程,其通解为,同理,其中系数A、B、C、D可由边界条件确定,边界条件,于是,由此可知,内导体表面单位长度的电荷,由内导体和区域1的边界条件,由内导体和区域2的边界条件,得,同轴线单位长度上的电容,3.1.3 导体系统的电容,1. 双导体电容的计算 由物理学得知，平板电容器正极板上携带的电量 q 与极板间的电位差 U 的比值是一个常数，此常数称为平板电容器的电容，即电容为,电容的单位F（法拉）太大。例如半径大如地球的弧立导体的电容只有 F。实际中，通

8、常取 F （微法）及 pF （皮法）作为电容单位。,2. 部分电容, N 个导体组成的导体系统，其中第i个导体的电位与自身的电荷和其他导体的电荷关系为, 其中 为常数，称为电位系数，与系统中所有导体的形状、位置及周围介质有关。,（共有 N 个方程）, 由以上N 个方程可解出,（共有 N 个方程）, 当 时 称为电容系数， 时 称为感应系数，且,其比值,例3.1.4图示的平行双线传输线，每根导线的直径为a ，双导线间的距离为D(Da)，周围是空气。求传输线单位长度的电容。 解：设平行双导线间的电压为U，单位长度 的电荷为l，则双导线间的电场强度为,将上式积分即得双导线间的电压:,根据电容的定义得

9、平行双导线单位长度的 电容为,例 3.1.5 已知同轴线的内导体半径为 a，外导体的内半径为b，内外导体之间填充介质的介电常数为 。试求单位长度内外导体之间的电容。,解 由于电场强度一定垂直于导体表面，因此，同轴线中电场强度方向一定沿径向方向。又因结构对称，可以应用高斯定律。,设内导体单位长度内的电量为q，围绕内导体作一个圆柱面作为高斯面S，则,那么内外导体之间的电位差 U 为,因此同轴线单位长度内的电容为,3.1.4 静电场的能量,电场能量来源于建立电荷系统过程中外界提供的能量。,设系统完全建立时，最终的电荷分布为 ，电位为 。, 设充电过程中，各点的电荷密度按其终值的同一比例因子 增加，则

10、各点的电位也将按同一因子增加。即在某一时刻电荷分布为 时，其电位分布为 。 的变化为 。, 整个充电过程外界对整个系统提供的总能量, 用场变量表示该能量为, 单位体积的能量，称为能量密度, 对某一体积元 ， 变为 时（此时电位为 电荷增加 ）外界提供的能量,例3.1.6 在半径为a的球体内均匀分布着体电荷密度为的电荷，计算电场能量。 解： 用高斯定理可以得到电场为,(ra),(ra),所以,解法二：,补充例题 部分填充介质的同轴线，求介质与空气中单位长度内的电场能量,解：设同轴线内导体电位 外导体电位 ，则同轴线内外导体间单位长度的能量,由例 3.9.2 可知，内导体表面单位长度的电荷,所以,

11、由例 3.9.2 可知，介质和空气中的电场强度相等,于是介质中的能量密度、能量,3.1.5 静电场力,1.两个点电荷间的相互作用力 已知某点的电场强度在数值上等于单位正电荷在该点受到的电场力。因此，点电荷 受到的电场力为,若上式中 E 为点电荷 q 产生的电场强度，则,式中 为该点电荷周围介质的介电常数。那么，点电荷 受到点电荷q 的作用力，或者说点电荷 q 对于点电荷 的作用力为,式中er 为由 q 指向 的单位矢量。上式就是法国科学家库仑根据实验总结归纳的库仑定律。,2.用虚位移原理计算带电系统的静电力 已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电体电荷之间的电场力。但是，对于电

12、荷分布复杂的带电系统，根据库仑定律计算电场力是非常困难的，有时甚至无法求积。为了计算具有一定电荷分布的带电体之间的电场力，通常采用虚位移法。这种方法是假定带电体在电场作用下发生一定的位移，根据位移过程中电场能量的变化与外力及电场力所作的功之间的关系计算电场力。,以平板电容器为例，设两极板上的电量分别为+q 及 -q ，板间距离为 l 。为了计算方便，假定在电场力作用下，极板之间的距离增量为dl。众所周知，两极板间的相互作用力实际上导致板间距离减小。因此，求出的作用力应为负值。,既然认为作用力F 导致位移增加，因此，作用力F 的方向为位移的增加方向。这样，为了产生 dg 位移增量，电场力作的功应

13、为 。根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量的减小值，即,由此求得,式中脚注 q = 常数说明当极板发生位移时，极板上的电量没有发生变化，这样的带电系统称为常电荷系统。,已知平板电容器的能量为 。对于常电荷系统，发生位移时电量 q 未变，只有电容 C 改变了。,式中S 为极板的面积，l 为两极板的间距。将这些结果代入上式，求得平板电容器两极板之间的作用力为,已知平板电容器的电容,式中负号表明作用力的实际方向是指向位移减小的方向。,如果假定发生位移时，电容器始终与电源相连，这样，在虚位移过程中，两极板的电位保持不变，这种系统称为常电位系统。根据这种常电位的假定，也可以计算平板电容器两极板之间的

14、作用力，所得结果应该与上完全相同。,设在电场力作用下，极板间距的增量为dl。由于电容改变，为了保持电位不变，正极板的电荷增量为dq，负极板的电荷增量为-dq 。设正负极板的电位分别为 1 及 2 ，则电场能量的增量为,式中 为两极板之间的电压。,为了将 dq 电荷移至电位为 1的正极板，将电荷-dq移至电位为 2的负极板，外源必须作的功为,根据能量守恒原理，系统外接恒压源，外源作功的一部分供给电场力作功，另一部分转变为电场能的增量，因此,求得,例 利用虚位移法计算平板电容器极板上受到的表面张力。,解 利用虚位移概念，假定由于同一极板上的同性电荷相斥产生的表面张力为F。在此表面张力F 的作用下，

15、使极板面积扩大了dS，则电场力作的功为FdS。根据能量守恒原理，这部分功应等于电场能量的减小值，即,已知平板电容器的能量为 ，代入上式，得,若虚位移时，极板与外源相连，因而电位保持不变。那么，表面张力F 应为,那么将 代入，即可获得同样结果。,如果将 及 两式中的变量 l 理解为一种广义坐标，也就是说，l 可以代表位移、面积、体积甚至角度。那么，企图改变这种广义坐标的作用力称为对于该广义坐标的广义力。,显然，对于不同的广义坐标，其广义力的含义不同。对于位移而言，广义力就是普通概念的力，单位为N；对于面积，广义力为表面张力，单位为N/m；对于体积，广义力为膨胀力或压力，单位为N/m2；对于角度，

16、广义力为转矩，单位为Nm。若规定广义力的方向仍然为广义坐标增加的方向，那么，广义力与广义坐标的乘积仍然等于功。这样，前两式可分别改写为,两式中的微分符号变为偏微分是考虑到系统的能量可能与几种广义坐标有关。l 代表对应于广义力的广义坐标。由上两式可见，带电系统的能量与多少种广义坐标有关，就存在多少种广义力。当带电系统的某一广义坐标发生变化时，若带电系统的能量没有发生变化，也就不存在使该广义坐标发生变化的广义力。,例 计算带电肥皂泡的膨胀力。,解 设肥皂泡的电量为q ，半径为a。利用常电荷系统公式，令式中广义坐标 l 代表体积 V，则受到的膨胀力F 为,已知半径为a，电量为q 的带电球的电位为,因

17、此，携带的能量为,又知球的体积为,代入上式，得,例3.1.7,3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.2.1 恒定电场的基本方程 边界条件,1. 基本方程 恒定电流空间存在的电场，称为恒定电场。, 恒定电场中的二个基本变量为电流密度 和电场强度 。, 描述恒定电场基本特性的第一个方程是电流连续性方程，即,或, 电流恒定时，电荷分布不随时间变化，恒定电场同静电场具有相同的性质。因此描述恒定电场基本特性的第二个方程为,或, 实验证明，导电媒质中电流密度与电场强度成正比，即,要想在导电媒质中维持恒定电流，必须依靠非静电力将B极板的正电荷q抵抗电场力搬到A极板。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装

18、置称为电源。,因此,Ee 是非保守场。,设局外场强为,设局外场强为 ，则电源电动势为,电源电动势与有无外电路无关，它是表示电源本身的特征量。,则,与静电场的讨论类似，由 可引入恒定电场的电位函数,恒定电场的电位,由,2. 恒定电场的边界条件,若用电位表示,将恒定电场的基本方程 、 分别用于二种不同导电媒 质的分界面上，与推导静电场边界条件方法类似，可导出恒定电场的边界条件。,3.2.2 恒定电流场与静电场的比拟,已知无外源区中均匀导电媒质内的恒定电流场方程和无源区中均匀介质内的静电场方程如下：,恒定电流场,静电场,可见，两者非常相似，恒定电流场的电流密度 J 相当于静电场的电场强度 E，电流线

19、相当于电场线。,因此，当恒定电流场与静电场的边界条件相同时，电流密度的分布与电场强度的分布特性完全相同。根据这种类似性，可以利用已经获得的静电场的结果直接求解恒定电流场。或者由于在某些情况下，恒定电流场容易实现且便于测量时，可用边界条件与静电场相同的电流场来研究静电场的特性，这种方法称为静电比拟。,例如，两电极间的电流场与静电场对应分布如下图示：,那么，利用已经获得的静电场结果可以求解恒定电流场。,解：设同轴线内外导体是理想导体，则导体内 ，导体表面是等位面，于是漏电介质中的电位只是径向r 的函数，柱坐标系下拉普拉斯方程为,其通解,边界条件为,得,导电媒质中的电场强度,电流密度,单位长度上的漏

20、电流,单位长度上的漏电导,例 3.2.1 同轴线内外导体半径分别为a和b，填充的介质 ，具有漏电现象。同轴线外加电源电压为U，求漏电介质内的 和单位长度的绝缘电阻（漏电电导）。,例3.2.2 计算半球形接地器的接地电阻。,例题 一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为 和 外加电压U，介质分界面上的自由电荷密度。,解：设电容器极板为理想导体，故极板是等位面，电流沿z方向。,由边界条件,得,相应的电场,外加电压U 等于,得,于是,由边界条件,上极板 的自由电荷面密度,下极板 的自由电荷面密度,介质分界面 上的自由电荷,3.3 恒定磁场分析, 实验表明，导体中有恒定电流通过时，在导体内部和它周围

21、的媒质中 ，不仅有恒定电场 ，同时还有不随时间变化的磁场 ，简称 恒定磁场。, 首先建立真空与磁介质内恒定磁场的基本方程；引入矢量位A;确立磁场的边界条件；在特定条件下引入标量位 。, 最后讨论自感和互感的计算、磁场能量和磁场力。 3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件 3.3.2 矢量磁位和标量磁位 3.3.3 电感 3.3.4 恒定磁场的能量 3.3.5 磁场力,3.3.1 恒定磁场的基本方程,引入磁化电流后，媒质的磁化效应由磁化电流表征，即空间的磁场由传导电流和磁化电流产生。而磁化电流和传导电流的实质相同，则,得,于是磁介质中的基本方程,微分形式,由实验证明，除铁磁性物质外，M 和H之

22、间有一定的线性关系，即,得,（为磁介质中的本构关系）,式中 均为传导电流,2. 磁场的边界条件,一、磁感应强度B的边界条件,设两种不同的磁介质 ，其分界面的法线方向为n。在分界面上作一小圆柱形表面，两底面分别位于介质两侧，底面积为 ，h为无穷小量。,将磁场基本方程 用于所作的圆柱形表面。,方程左边,磁感应强度B 的边界条件,用矢量表示,分界面上B 的法向分量连续,二、磁场强度H的边界条件,在分界面上作一小的矩形回路，其两边 分居于分界面两侧，而高 ，取H 沿此回路的环积分为, 设分界面上的自由电流面密度为, 则回路所围面积上通过的电流为,（其中 的方向为回路所围面积的法线方向）, 矢量 可写为

23、, 方程 变为, 因为回路是任意的，其所围面的法向也是任意的，因而有,磁场强度H 的边界条件：,若分界面上没有自由的表面电流,磁导率为无限大的媒质称为理想导磁体。在理想导磁体中不可能存在磁场强度，否则，由式 可见，将需要无限大的磁感应强度。产生无限大的磁感应强度需要无限大的电流，因而需要无限大的能量，显然这是不可能的。因此，在理想导磁体中不可能存在磁场强度。因为边界上磁场强度的切向分量是连续的，可见，在理想导磁体表面上不可能存在磁场强度的切向分量，换言之，磁场强度必须垂直于理想导磁体表面。当然，在理想导磁体内部仍然存在磁感应强度。,例1 在具有气隙的环形磁芯上紧密绕制N 匝线圈，如图示。环形磁

24、芯的磁导率为 ，平均半径为r0，线圈的半径为a r0 ，气隙宽度为d 。当线圈中的恒定电流为 I 时，若忽略散逸在线圈外的漏磁通，试求磁芯及气隙中的磁感应强度及磁场强度。,3.3.2 矢量磁位和标量磁位,1. 矢量磁位 为了简化磁场的求解，通常采用间接方法。, 由磁场的散度为零，引入矢量磁位。, 利用磁场的旋度方程导出矢量磁位满足的微分方程。,由,其单位为Tm（特米）或Wb/m（韦/米）,得,即,得,其解,于是，矢量位满足的泊松方程的解为,在恒定磁场无电流区域,标量磁位，单位：A（安培）。, 标量磁位 仅适合于无自由电流区域，且无物理意义。,标量磁位 的特点：,2. 标量磁位, 标量磁位 满足

25、的微分方程, 标量磁位满足的边界条件,磁偶极子的矢量位和标量位,一面积为S,通以电流I 的小圆电流环称为磁偶极子，定义矢量 为磁偶极子的磁偶极矩。,考虑,得,磁偶极子 产生的磁感应强度,磁场的另一基本变量,磁 偶 极 子的矢量磁位,图 3-12 磁偶极子,式中：,如果ra，则,从图 3 - 12 可见，,如果ra，则,从图 3 - 12 可见，,所以,式中，m=Ia2，是圆形回路磁矩的模值。一个载流回路的磁矩是一个矢量，其方向与环路的法线方向一致，大小等于电流乘以回路面积，即其定义为,位于点r的磁矩为m的磁偶极子，在点r处产生的磁矢位为,位于外磁场B中的磁偶极子m，会受到外磁场的作用力及其力矩

26、。 这里仅仅给出作用力及力矩的公式。 作用力为,力矩为,例 3 .3.2 求长度为l 的载流直导线的磁矢位。,图 3-11 直导线磁矢位,解 :,当lz时，有,上式中，若再取lr, 则有,当电流分布在无限区域时，一般指定一个磁矢位的参考点， 就可以使磁矢位不为无穷大。当指定r=r0处为磁矢位的零点时，可以得出,从上式， 用圆柱坐标的旋度公式，可求出,例 3.3.2 求无限长直线电流的矢量位A 磁感应强度B。,解：首先计算一根长度为 的长直线电流I产生的矢量位。,由线电流的矢位计算公式,积分可得,当 时,若 ，则,这时可在A 的表达式中附加一个常矢量,则,磁感应强度B 等于,磁场强度H 等于,与

27、例3.32.1直接积分所得的结果相同,3.3.3 电感,在线性介质中，一个电流回路在空间任意一点产生的 B与电流成正比，因而穿过任意回路的磁通 也与电流成正比；若一回路由N匝导线绕成，则总磁通是各匝磁通之和，成为磁链，用 表示。且可近似为, 当磁场由自身回路的电流产生则回路磁链与电流之比,称为自感系数，简称自感，单位为H（亨）, 第1回路电流 产生的磁场与第二回路交链的磁链为 ，则比值,称为互感系数，简称互感，单位仍为H, 同样，第2回路电流 产生的磁场与第一回路交链的磁链为 ，其比值同样称为互感系数,自感与互感都仅取决于回路的形状、尺寸、匝数和介质的磁导率。互感还与两个回路的相互位置有关。,

28、两个单匝回路的互感,设回路1通过电流,而,所以,同理,由此可见,单匝回路的自感,对于单匝回路，可将电流看作集中于轴线回路 上，而将计算磁通的回路取作导线边缘的回路 ，应用诺伊曼公式计算自感为,例3.3.3 计算同轴线单位长度的电感,a,b,r,以上计算的自感只考虑了导线外部的磁通，故称为外自感；在导线内部的磁力线同样套链着电流，其磁链与电流比值定义为内自感。,假设单匝回路，其横截面积,导线内的磁场,穿过图中面积的磁通为,穿过图中面积的磁链为,长度为l一段圆截面导线的内自感为,总自感为,例 3.3.4 求双线传输线单位长度的自感。导线半径为a，导线间距离 ，如图所示,解：由,得二导线在x 处产生

29、的磁场分别为,总的磁感应强度,单位长度的外自感为,单位长度的内自感为,穿过面积 的磁通,而回路j 的磁链为,3.3.10 磁场能量, 电流回路系统的能量是建立电流过程中由电源供给的。, 当电流从零增加时回路感应电动势将阻止电流的增加，外加电压须克服感应电动势 而作功，使回路能量增加。, 若所有回路固定，且忽略焦耳损耗，则电源作功将全部变为电流回路系统的磁场能量，这时回路上的外加电压和回路中的感应电动势大小相等方向相反。,回路j 中的感应电动势为,外加电压,dt 时间内与回路j 相连的电源所作的功,若系统包含N个回路，增加的磁场能量为,假设所有回路中的电流同时从零开始以百分比 同比例增加，即,充

30、电过程完成后，系统的总磁场能量,用场量表示该磁场能量,单位体积的磁场能量称为磁场能量密度,例 3.3.7 求无限长同轴线单位长度内的磁场能量，如图所示。,在 的区域,在 的区域由基本方程,三个区域单位长度内的磁场能量分别为,因为总磁场能量,所以同轴线单位长度的电感为,其中,3.3.5 磁场力,两个载流回路间的磁力可由安培力公式计算。也可与静电力的计算类似，用磁场能量的空间变化率来计算磁场力。, 磁链不变, 两个回路的磁链不变，即, 回路 发生位移，两回路中电流必定发生变化，才能维持两回路的磁链不变, 两回路中没有感应电动势（因为磁链不变），故与回路相连的电源不对回路输入能量。, 回路 位移时所

31、须的机械功只有靠磁场能量减少来完成。, 电流不变, 两个回路电流不变，即, 回路 发生位移，两回路中的磁链必定发生变化，才能维持两回路电流不变。,两个回路的能量为, 上式表明：在 不变的情况下磁场能量的改变（即磁力）仅是由于互感 的改变引起的。, 前面假设的 不变和 不变是在一个回路发生位移时的两种假设，无论假设 不变还是 不变，求出的磁场力是相同的。, 两回路中都有感应电动势（因为磁链发生变化），与回路相连的电源要作功来克服感应电动势以保持两个回路的电流不变。, 电源作功为 即电源输入能量的一半用于增加磁场储能，另一半用于回路 位移所需的机械功。,得,3.4.1 边值问题的分类,第一类边值问

32、题： 给定整个边界上的位函数值； 第二类边值问题： 给定边界上每一点位函数的法向导数； 第三类边值问题：给定一部分边界上每一点的电位， 同时给定另一部分边界上每一点的电位法向导数。 给定导体上的总电量亦属于第二类边值问题。,3.4.2 唯一性定理,唯一性定理证明：,设在区域V内，1和2满足泊松方程，即,在V的边界S上，1和2满足同样的边界条件， 即,令 =1-2，则在V内，2=0，在边界面S上，|S=0。在格林第一恒等式中，令=，则,由于 2 =0，所以有,在S上 =0，因而上式右边为零，因而有,3.5 镜像法, 待求区域的电位由其电荷分布与边界条件共同决定。, 镜像法则是在研究区域之外，用一

33、些假想的电荷分布代替场问题的边界。, 这些假想的电荷称为像电荷，大多是一些点电荷或线电荷。, 镜像法只适用于一些特殊边界。, 镜像法求解电位问题的理论依据是惟一性定理。, 本节将分别讨论平面镜像、球面镜像和柱面镜像。,1. 点电荷对接地导体平面的镜像,求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为h处的点电荷q的电位。,图3.5.1 无限大导体平面上点电荷的镜像,由Dn=S可得导体表面的面电荷密度：,导体表面总的感应电荷：,图 3.5.3 点电荷与正交接地导体平面的镜像,3.5.2 导体球面的镜像, 球外区域任意一点的电位由点电荷 和导体球表面的感应电荷决定。, 像电荷的位置及大小由以下原则决定:点

34、电荷与像电荷的共同作用应使球面的电位为零。,一半径为a的接地导体球，在与球心O 相距 的 点有一点电荷 ，求球外的电位分布。, 在求解区域外（球内）用一点电荷 （像电荷）代替球面上感应电荷的影响。,球外任意一点P 的电位,为确定像电荷的位置及大小，可在球面上取两个特殊点 、 。它们的电位均为零。,联立求解得,于是球外任意点的电位,3.5.3 导体柱面的镜像,于是圆柱外任意点的电位,采用球坐标系，取原点为球心 O 点，Z 轴与 重合，则球外任意点 处有,如图，半径为 的接地导体圆柱外有一根和它平行的线电荷，密度为 ，与圆柱轴线相距为 。求空间的电位函数。,分析方法与球面镜像相同，并用 的关系进行试探求解。同样在圆周上取两个特殊点 、 ，因为圆柱接地，它们的电位为零。,3.5.4 介质平面的镜像,6 设两