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1、阿基米德三角形性质与高考题性质1：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴即：ABCPQOxyl19（07年江苏卷）如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于点（1）若，求的值；（5分）（2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（5分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由（4分）19本小题主要考查抛物线的基本性质、直线与抛物线的位置关系、向量的数量积、导数的应用、简易逻辑等基础知识和基本运算，考查分析问题、探索问题的能力满分14分ABCPQOxyl解：（1）设直线的方程为，将该方程代入得令，则因为，解得，或（舍去

2、）故（2）由题意知，直线的斜率为又的导数为，所以点处切线的斜率为，因此，为该抛物线的切线（3）（2）的逆命题成立，证明如下：设若为该抛物线的切线，则，又直线的斜率为，所以，得，因，有故点的横坐标为，即点是线段的中点性质2：例7（13广东）已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.()求抛物线的方程；()当点为直线上的定点时,求直线的方程；()当点在直线上移动时,求的最小值.性质3：22（05江西）如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求APB的重心G的轨迹方程.（2）证明PFA=PFB.22解：（1）设切点A、B坐标分别为，切线AP的方程为：切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以APB的重心G的坐标为，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：（2）因为由于P点在抛物线外，则同理有AFP=PFB.性质4：过焦点的阿基米德三角形面积的最小值为（21）（06年全国卷2）已知抛物线的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，

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