三角函数公式大全

1、三角函数公式大全 倒数关系：tan cot=1sin csc=1cos sec=1商的关系：sin/cos=tan=sec/csccos/sin=cot=csc/sec平方关系：sin2()+cos2()=11+tan2()=sec2()1+cot2()=csc2() 平常针对不同条件的常用的两个公式tan *cot=1 一个特殊公式（sina+sin）（sina-sin）=sin（a+）sin（a-）证明：（sina+sin）（sina-sin）=2 sin(+a)/2 cos(a-)/2 2 cos(+a)/2 sin(a-)/2=sin（a+）sin（a-） 坡度公式：我们通常半坡面的铅

2、直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比）， 用字母i表示，即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a(叫做坡角），那么 i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式：正弦：sin =的对边/ 的斜边余弦：cos =的邻边/的斜边正切：tan =的对边/的邻边余切：cot =的邻边/的对边 半角公式： sin2(/2)=(1-cos)/2cos2(/2)=(1+cos)/2 tan2(/2)=(1-cos)/(1+cos) tan(/2)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin)=0倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可

3、引出半角公式推导过程中可得到一组降次公式，即 万能公式：sin=2tan(/2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2)tan=2tan(/2)/1-tan2(/2)其他 sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2tanatanbtan(a+b)+tana+tanb-tan(a+b和差化积： sin+sin = 2 sin

4、(+)/2 cos(-)/2 sin-sin = 2 cos(+)/2 sin(-)/2 cos+cos = 2 cos(+)/2 cos(-)/2 cos-cos = -2 sin(+)/2 sin(-)/2tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb=tan(a+b)(1-tanatanb)tana-tanb=sin(a-b)/cosacosb=tan(a-b)(1+tanatanb)两角和公式：sin(a+b) = sinacosb+cosasinbsin(a-b) = sinacosb-cosasinbcos(a+b) = cosacosb-sinasinbcos(a-b)

5、= cosacosb+sinasinbtan(a+b) = (tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b) = (tana-tanb)/(1+tanatanb)cot(a+b) = (cotacotb-1)/(cotb+cota)cot(a-b) = (cotacotb+1)/(cotb-cota)积化和差：sinsin =-cos(+)-cos(-) /2coscos = cos(+)+cos(-)/2sincos = sin(+)+sin(-)/2cossin = sin(+)-sin(-)/2 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2k+）=

6、sincos（2k+）= costan（2k+）= tancot（2k+）= cot公式二：设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin（+）= -sincos（+）= -costan（+）= tancot（+）= cot公式三：任意角与 -的三角函数值之间的关系：sin（-）= -sincos（-）= costan（-）= -tancot（-）= -cot公式四：利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系：sin（-）= sincos（-）= -costan（-）= -tancot（-）= -cot公式五：利用公式-和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系：sin

7、（2-）= -sincos（2-）= costan（2-）= -tancot（2-）= -cot公式六：/2及3/2与的三角函数值之间的关系：sin（/2+）= coscos（/2+）= -sintan（/2+）= -cotcot（/2+）= -tansin（/2-）= coscos（/2-）= sintan（/2-）= cotcot（/2-）= tansin（3/2+）= -coscos（3/2+）= sintan（3/2+）= -cotcot（3/2+）= -tansin（3/2-）= -coscos（3/2-）= -sintan（3/2-）= cotcot（3/2-）= tan(以上kz

8、)asin(t+)+ bsin(t+) =(a +b +2abcos(-) sin t + arcsin (asin+bsin) / a2 +b2; +2abcos(-) 表示根号,包括中的内容三角函数的诱导公式（六公式） (4)对于任意非直角三角形，总有tana+tanb+tanc=tanatanbtanc证：a+b=-ctan(a+b)=tan(-c)(tana+tanb)/(1-tanatanb)=(tan-tanc)/(1+tantanc)整理可得tana+tanb+tanc=tanatanbtanc同样可以得证,当x+y+z=n(nz)时，该关系式也成立由tana+tanb+tanc

9、=tanatanbtanc可得出以下结论(5)cotacotb+cotacotc+cotbcotc=1(6)cot(a/2)+cot(b/2)+cot(c/2)=cot(a/2)cot(b/2)cot(c/2)(7)(cosa) 2;+(cosb) 2+(cosc) 2=1-2cosacosbcosc(8)（sina) 2+(sinb) 2+(sinc) 2=2+2cosacosbcosc其他非重点三角函数：(1)tana= sina/cosa(2)csc(a) = 1/sin(a)(3)sec(a) = 1/cos(a)(4)sec2a +csc2=sec 2.csc2 二倍角公式：sin2

10、a=2sinacosacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2atan2a=（2tana）/（1-tan2a） 三倍角公式： sin3=3sin-4sin3 =4sinsin(/3+)sin(/3-)cos3=4cos3-3cos=4coscos(/3+)cos(/3-)tan3a =tan（）(-3+tan2）/(-1+3tan2）=tan a tan(/3+a) tan(/3-a)三倍角公式推导sin(3a)=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sina)+(1-2sina)sina=3sina-4sin3acos3a=c

11、os(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cosa-1)cosa-2(1-cos2a)cosa=4cos3a-3cosasin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sina)=4sina(3/2)-sina=4sina(sin60-sina)=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)=4sina*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2*2sin(60-a)/2cos(60-a)/2=4sinasin(60+a)sin(60-a)cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cosa-3/4)=4cosacosa-(3/2) 2=4

12、cosa(cosa-cos30)=4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30)=4cosa2cos(a+30)/2cos(a-30)/2 -2sin(a+30)/2sin(a-30)/2=-4cosasin(a+30)sin(a-30)=-4cosasin90-(60-a)sin-90+(60+a)=-4cosacos(60-a)-cos(60+a)=4cosacos(60-a)cos(60+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a) 四倍角公式： sin4a=-4 (cosa.sina(2sin2a-1) cos4a=1+(-8cos2a+8c

13、os4a) tan4a=(4tana-4tan3a)/(1-6tan2a+tan4a) 五倍角公式： sin5a=16sin5a-20sin3a+5sina cos5a=16cos5a-20cos3a+5cosa tan5a=tana (5-10tan2a+tan4a)/(1-10tan2a+5tan4a) 六倍角公式： sin6a=2(cosasina(2sina+1)(2sina-1)(-3+4sin2a)cos6a=(-1+2cos2a) 16cos4a-16cos2a+1) tan6a=(-6tana+20tan3a-6tan5a)/(-1+15tan2a-15tan4a+tan6a)

14、 七倍角公式： sin7a=-sina(56sin2a-112sin4a-7+64sin6a) cos7a=cosa(56cos2a-112cos4a+64cos6a-7) tan7a=tana (-7+35tan2a-21tan4a+tan6a)/(-1+21tan2a-35tan4a+7tan6a) 八倍角公式： sin8a=-8(cosasina(2sin2a-1)(-8sin2a+8sin4a+1) cos8a=1+(160cos4a-256cos6a+128cos8a-32cos2a)tan8a=-8tana (-1+7tan2a-7tan4a+tan6a)/(1-28tan2a+7

15、0tan4a-28tan6a+tan8a)九倍角公式：sin9a=sina(-3+4sin2a)(64sin6a-96sin4a+36sin2a-3);cos9a=(cosa(-3+4cos2a)(64cos6a-96cos4a+36cos2a-3);tan9a=tana (9-84tan2a+126tan4a-36tan6a+tan8a)/(1-36tan2a+126tan4a-84tan6a+9tan8a)十倍角公式：sin10a=2(cosasina(4sin2a+2sina-1)(4sin2a-2sina-1)(-20sin2a+5+16sin4a) cos10a=(-1+2cos2a

16、)(256cos8a-512cos6a+304cos4a-48cos2a+1) tan10a=-2tana (5-60tan2a+126tan4a-60tan6a+5tan8a)/(-1+45tan2a-210tan4a+210tan6a-45tan8a+tan10a) n倍角公式:根据棣美弗定理，(cos+ i sin) n = cos(n)+ i sin(n)为方便描述，令sin=s，cos=c考虑n为正整数的情形：cos(n)+isin(n)=(c+is)n=c(n,0)cn+c(n,2)c(n-2)(is) 2+c(n,4)c (n-4) (is)4+. +c(n,1)c(n-1)(i

17、s)1+(n,3)c(n-3)(is)3+c(n,5)c(n-5)(is)5+.=比较两边的实部与虚部,实部：cos(n)=c(n,0)cn+c(n,2)c(n-2)(is)2+c(n,4)c(n-4)(is)4+.i*(虚部)：i*sin(n)=c(n,1)c(n-1)(is)1+ c(n,3)c(n-3)(is)3+c(n,5) c(n-5)(is)5+.对所有的自然数n， 1. cos(n)： 公式中出现的s都是偶次方，而s2=1-c2(平方关系)，因此全部都可以改成以c(也就是cos)表示。 2. sin(n)：(1)当n是奇数时：公式中出现的c都是偶次方，而c2=1-s2(平方关系)

18、，因此全部都可以改成以s(也就是sin)表示。 (2)当n是偶数时：公式中出现的c都是奇次方，而c2=1-s2(平方关系)，因此即使再怎么换成s，都至少会剩c(也就是 cos)的一次方无法消掉。 (例. c3=c*c2=c(1-s2)，c5=c(c2) 2=c(1-s2) 2 幂级数展开式：sin x = x-x3/3!+x5/5!-+(-1) (k-1) (x (2k-1)/(2k-1)!+。 (-x)cos x = 1-x2/2!+x4/4!-+(-1)k*(x2k)/(2k)!+ (-x)arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + (|x|1)a

19、rccos x = - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ) (|x|1)arctan x = x - x3/3 + x5/5 -(x1)无限公式：sinx=x(1-x2/2)(1-x2/42)(1-x2/92)cosx=(1-4x2/2)(1-4x2/92)(1-4x2/252)tanx=8x1/(2-42)+1/(92-4x2)+1/(252-42)+secx=41/(2-42)-1/(92-42)+1/(252-42)-+(sinx)x=cosx/2cosx/4cosx/8(1/4)tan/4+(1/8)tan/8+(1/16)tan/16+=1/arc

20、tan x = x - x3/3 + x5/5 -(x1)双曲函数： sha = (ea-e a)/2 cha = (ea+e-a)/2 tha = sin h(a)/cos h(a)和自变量数列求和有关的公式sinx+sin2x+sin3x+sinnx=sin(nx/2)sin(n+1)x/2)/sin(x/2)cosx+cos2x+cos3x+cosnx=cos(n+1)x/2sin(nx/2)/sin(x/2)an(n+1)x/2)=(sinx+sin2x+sin3x+sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x+cosnx)sinx+sin3x+sin5x+sin(2n-1)x=(sin2nx)/sinxcosx+cos3x+cos5x+cos(2n-1)x=sin(2nx)/(2sinx)内容规律：三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。1三角函数本质：