导数公式的证明(最全版)

1、最新资料推荐导数的定义： f(x)=limy/xx0（下面就不再标明x0 了）用定义求导数公式（ 1）f(x)=xn证法一：（ n 为自然数）f(x)=lim (x+x)n-xn/x=lim (x+x-x)(x+x)(n-1)+x*(x+x)(n-2)+.+x(n-2)*(x+x)+x(n-1)/x=lim (x+x)(n-1)+x*(x+x)(n-2)+.+x(n-2)*(x+x)+x(n-1)=x(n-1)+x*x(n-2)+x2*x(n-3)+ .x(n-2)*x+x(n-1)=nx(n-1)证法二：（ n 为任意实数）f(x)=xn1最新资料推荐lnf(x)=nlnx(lnf(x)=(

2、nlnx)f(x)/f(x)=n/xf(x)=n/x*f(x)f(x)=n/x*xnf(x)=nx(n-1)（ 2）f(x)=sinx f(x)=lim (sin(x+x)-sinx)/x=lim (sinxcosx+cosxsinx-sinx)/x=lim (sinx+cosxsinx-sinx)/x=lim cosxsinx/x=cosx2最新资料推荐（ 3）f(x)=cosx f(x)=lim (cos(x+x)-cosx)/x=lim (cosxcosx-sinxsinx-cosx)/x=lim (cosx-sinxsinx-cos)/x=lim -sinxsinx/x=-sinx（

3、4）f(x)=ax证法一：f(x)=lim (a(x+x)-ax)/x=lim ax*(ax-1)/x（设 ax-1=m，则x=loga(m+1) ）=lim ax*m/loga(m+1)3最新资料推荐=lim ax*m/ln(m+1)/lna=lim ax*lna*m/ln(m+1)=lim ax*lna/(1/m)*ln(m+1)=lim ax*lna/ln(m+1)(1/m)=lim ax*lna/lne=ax*lna证法二：f(x)=axlnf(x)=xlnalnf(x) =xlna f (x)/f(x)=lnaf (x)=f(x)lnaf (x)=axlna4最新资料推荐若 a=e，

4、原函数 f(x)=ex则 f(x)=ex*lne=ex（ 5）f(x)=logax f(x)=lim (loga(x+x)-logax)/x=lim loga(x+x)/x/x=lim loga(1+x/x)/x=lim ln(1+x/x)/(lna*x)=lim x*ln(1+x/x)/(x*lna*x)=lim (x/x)*ln(1+x/x)/(x*lna)=lim ln(1+x/x)(x/x)/(x*lna)=lim lne/(x*lna)=1/(x*lna)5最新资料推荐若 a=e，原函数 f(x)=logex=lnx则 f(x)=1/(x*lne)=1/x（ 6）f(x)=tanx

5、f(x)=lim (tan(x+x)-tanx)/x=lim (sin(x+x)/cos(x+x)-sinx/cosx)/x=lim (sin(x+x)cosx-sinxcos(x+x)/(xcosxcos(x+ x)=lim (sinxcosxcosx+sinxcosxcosx-sinxcosxcosx+sinxsinxsinx)/(xcosxcos(x+x)=lim sinx/(xcosxcos(x+x)=1/(cosx)2=secx/cosx=(secx)2=1+(tanx)2（ 7）f(x)=cotx f(x)=lim (cot(x+x)-cotx)/x6最新资料推荐=lim (cos

6、(x+x)/sin(x+x)-cosx/sinx)/x=lim (cos(x+x)sinx-cosxsin(x+x)/(xsinxsin(x+x)=lim (cosxcosxsinx-sinxsinxsinx-cosxsinxcosx-cosxsinxcosx)/(xsinxsin(x+x)=lim -sinx/(xsinxsin(x+x)=-1/(sinx)2=-cscx/sinx=-(secx)2=-1-(cotx)2（ 8）f(x)=secx f(x)=lim (sec(x+ x)-secx)/x=lim (1/cos(x+x)-1/cosx)/x=lim (cosx-cos(x+x)/

7、(xcosxcosx)=lim (cosx-cosxcosx+sinxsinx)/(xcosxcos(x+x)=lim sinxsinx/(xcosxcos(x+x)=sinx/(cosx)2=tanx*secx7最新资料推荐（ 9）f(x)=cscx f(x)=lim(csc(x+x)-cscx)/x=lim (1/sin(x+x)-1/sinx)/x=lim (sinx-sin(x+x)/(xsinxsin(x+x)=lim (sinx-sinxcosx-sinxcosx)/(xsinxsin(x+x)=lim -sinxcosx/(xsinxsin(x+x)=-cosx/(sinx)2=

8、-cotx*cscx（ 10） f(x)=xx lnf(x)=xlnx (lnf(x)=(xlnx) f(x)/f(x)=lnx+1 f(x)=(lnx+1)*f(x) f(x)=(lnx+1)*xx8最新资料推荐（ 12） h(x)=f(x)g(x) h(x)=lim (f(x+x)g(x+x)-f(x)g(x)/x=lim (f(x+x)-f(x)+f(x)*g(x+x)+(g(x+x)-g(x)-g(x+x)*f(x)/x=lim (f(x+x)-f(x)*g(x+x)+(g(x+x)-g(x)*f(x)+f(x)*g(x+x)-f(x)*g(x+x)/x=lim (f(x+x)-f(x

9、)*g(x+x)/x+(g(x+x)-g(x)*f(x)/x=f(x)g(x)+f(x)g(x)（ 13） h(x)=f(x)/g(x) h(x)=lim (f(x+x)/g(x+x)-f(x)g(x)/x=lim (f(x+x)g(x)-f(x)g(x+x)/(xg(x)g(x+x)9最新资料推荐=lim (f(x+x)-f(x)+f(x)*g(x)-(g(x+x)-g(x)+g(x)*f(x)/(xg(x)g(x+x)=lim (f(x+x)-f(x)*g(x)-(g(x+x)-g(x)*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)/(xg(x)g(x+x)=lim (f(x+x)-f(x

10、)*g(x)/(xg(x)g(x+x)-(g(x+x)-g(x)*f(x)/(xg(x)g(x+x)=f(x)g(x)/(g(x)*g(x)-f(x)g(x)/(g(x)*g(x)=f(x)g(x)-f(x)g(x)/(g(x)*g(x)x（ 14） h(x)=f(g(x) h(x)=lim f(g(x+x)-f(g(x)/x=lim f(g(x+x)-g(x)+g(x)-f(g(x)/x（另 g(x)=u ，g(x+x)-g(x)=u）=lim (f(u+u)-f(u)/x=lim (f(u+u)-f(u)*u/(x*u)10最新资料推荐=lim f(u)*u/x=lim f(u)*(g(x

11、+x)-g(x)/x=f(u)*g(x)=f(g(x)g(x)( 反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数关于 y=x 对称，所以导数也关于y=x 对称，所以导数的乘积为1)（ 15） y=f(x)=arcsinx则 siny=x(siny)=cosy所以(arcsinx)=1/(siny)=1/cosy=1/ 1-(siny)2(siny=x)=1/ 1-x2即 f(x)=1/ 1-x2(16)y=f(x)=arctanx则 tany=x(tany)=1+(tany)2=1+x211最新资料推荐所以(arctanx)=1/1+x2即 f(x)= 1/1+x2总结一下（ xn） =nx(n-1)（ sinx ）=cosx（ cosx）=-sinx（ ax） =axlna（ ex） =ex（ logax ）=1/(xlna)（ lnx ） =1/x (tanx)=(secx)2=1+(tanx)2 (cotx)=-(cscx)2=-1