导数讲义(学生版)

1、最新资料推荐导数一、导数的概念函数 y=f(x), 如果自变量 x在 x 0 处有增量x ，那么函数 y 相应地有增量 y =f（ x 0 + x ） f （x 0 ），比值y 叫做函数 y=f （x）在 x 0 到 x 0 + x 之间的平均变x化率，即y = f (x0x)f ( x0 ) 。如果当x0 时，y 有极限，我们就说函xxx数 y=f(x)在点 x 0 处可导，并把这个极限叫做 f （x）在点 x 0 处的导数，记作 f （ x 0 ）或 y|x x0。f (x 0 )=limy = limf ( x0x)f ( x0 ) 。x 0xx0x例、 若 limf ( x0x)f (

2、 x0 )k ，则 limf ( x02 x)f ( x0 ) 等于（）x0xx 0xA 2kB k C 1 kD 以上都不是2变式训练：1 limx02 limh03若 f设函数 f (x) 在点 x0 处可导，试求下列各极限的值f ( x0x)f (x0 ) ；xf (x0h) f ( x0h) .2hf ( x0k ) f ( x0 ) =？( x0 )2 ，则 limk 02k1最新资料推荐二、导数的几何意义函数 y=f （x）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线y=f （x）在点 p（x 0 ，f （x 0 ）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x）在点p（x 0 ， f （

3、x 0 ）处的切线的斜率是 f （x 0 ）。切线方程为 yy 0 =f / （ x 0 ）（xx 0 ）。三、导数的运算1基本函数的导数公式 : C0; （ C 为常数） xnnxn 1; (sin x)cos x ; (cos x)sin x ; (ex ) ex ; (ax )ax ln a ; ln x1;x1 l o ga xlog a e .x习题：求下列函数的导数：（ 8 分钟独立完成）（ 1）f (x)（ 2）4（ ） f ( x)x （ ）f ( x) x34 f ( x) sin x（ 5）f (x)cos x（ 6）( ) 3x（ ）x（ ）2fxf ( x)ef ( x

4、)logx78（ 9）f (x)ln x（10）1（）31f (x)x11y44cos x（12）x（13）lgx（）3y1 xyx e14yxcos x2最新资料推荐2、导数的四则运算法则： f (x)g( x)f ( x)g ( x) f (x)g( x)f ( x)g ( x) f (x)g( x)f ( x) g (x) f ( x) g (x)f ( x)f(x)g( x)f (x) g (x)g( x)g 2 ( x)练习：求下列函数的导数：（ 1）yx22x ；（ ） yx ln x ；2（ 3） yx sin x ；（4） yx ln x 。（ 5）ysin x；（ ）x2x6

5、 y。ln x3、复合函数求导：如果函数(x) 在点 x 处可导，函数 f ( u) 在点 u=( x) 处可导，则复合函数 y= f(u =f( x)在点 x处也可导，并且)(f ( x) ) = f (x) (x)例、求下列函数的导数（1）y= 1 2x cos x（ ） y=x+ 1 x22ln ()练习：求下列函数的导数（ ）y=1（ ） y=sin（ x）1(3x 1)223 +43最新资料推荐常考题型：类型一、求导数相关问题例 1、若曲线 yex 上点 P 处的切线平行于直线 2x y 1 0，则点 P 的坐标是_例、曲线 yxx 1在点(1，1)处切线的斜率等于()2eA2e B

6、 eC2 D 1例 3、2014 新课标全国卷 设曲线 yaxln(x1)在点，处的切线方(0 0)程为yx，则 a()2A0 B 1 C 2 D 3类型二、求切线方程（一）已知切点坐标，求切线方程32在点 (1， 1)处的切线方程例 1. 曲线 y x3x 1（二）已知切点斜率，求切线方程例 2. 与直线 2 xy40 的平行的抛物线yx2 的切线方程（三）已知曲线外一点，求切线方程例 3. 求过点 (2，0) 且与曲线 y1 相切的直线方程x4最新资料推荐（四）已知曲线上一点，求过该点的切线方程例 4. 求过曲线 yx32x 上的点 (1， 1) 的切线方程变式训练：1、2014 广东卷

7、曲线 y 5ex3 在点 (0 ， 2) 处的切线方程为 _2b2、2014 江苏卷 在平面直角坐标系xOy中，若曲线 yax x( a，b 为常数 )过点 P(2 ， 5) ，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x2y30 平行，则 ab的值是 _3、与直线 xy 10 平行 ,且与曲线 y x 21 相切的直线方程3类型三、求单调区间及极值、最值考点一求不含参数的函数的单调区间例 1. 求函数 y=x2(1 x) 3 的单调区间 .变式训练：1. 函数 yxln x 的单调递减区间是（）A(1, )11e, e )B (C(0, e )D (e, )2. (05 年广东高考题 ) 函数 f

8、 ( x) x3 3x2 1是减函数的区间为 ( )（） (2,) （） (, 2) （） (,0) （） (0, 2)5最新资料推荐考点二求含参数的函数的单调区间考例 1、已知函数f (x) 1 x2 mln x (m 1)x ， m R 当 m 0 时，讨论函数 2f ( x) 的单调性 .例 2、设函数 f(x)=2 x33(a1)x21,其中 a1.求 f(x) 的单调区间；例 3、设函数 f ( x)= ax( a+1)ln( x+1) ，其中 a-1 ，求 f ( x) 的单调区间。6最新资料推荐变式训练：x11、2014 山东卷 设函数 f ( x) alnxx1，其中 a 为常

9、数(1) 若 a0，求曲线 y f ( x) 在点 (1 ， f (1) 处的切线方程；(2) 讨论函数 f ( x) 的单调性2、【 2014安徽卷 】设函数 f ( x) 1(1 a) xx2 x3，其中 a0.(1) 讨论 f ( x) 在其定义域上的单调性；7最新资料推荐考点三：利用单调区间求未知参数取值范围：例 1、 2014 新课标全国卷 若函数 f ( x) kx lnx 在区间 (1 ， )单调递增，则 k 的取值范围是 ()A( ， 2 B ( ， 1C2 ， ) D 1 ， )例 2、2014 全国新课标卷 已知函数 f ( x) ax33x2 1，若 f ( x) 存在唯

10、一的零点 x0，且 x00，则 a 的取值范围是 ()A(2 ， ) B (1 ， )C( ， 2) D ( ， 1)例 3、2014 辽宁卷 当 x 2，1 时，不等式 ax3 x2 4x30 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ()A 5， 3B.96，8C 6， 2D 4， 3变式训练：（山东省烟台市 2011 届高三上学期期末考试试题（数学文） ） 已知函数 f ( x) ax3 bx2 的图像经过点 M (1,4) ，曲线在点 M 处的切线恰好与直线x 9 y 0 垂直 .（）求实数 a, b 的值；（）若函数 f ( x) 在区间 m, m 1 上单调递增，求 m 的取值范围 .8a

11、1bbx 1与 x4ln xf ( x) 2ax3x最新资料推荐考点四：结合单调性求极值问题求函数的极值的步骤 :(1) 确定函数的定义域，求导数 f (x) .(2) 求方程 f (x)0 的根 .(3) 用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格 . 检查f (x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f ( x) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f ( x) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f ( x) 在这个根处无极值 .注 : 可导函数 yf ( x) 在 x x0 处取得极值是 f ( x0 ) 0 的充分不必要条件 .例

12、 1、已知函数在处都取得极值（ 1）求、的值；变式训练： 设 x 1, x2 是 f x a ln xbx x 函数的两个极值点 .（1）试确定常数 a 和 b 的值；（2）试判断 x1,x 2 是函数 f x的极大值点还是极小值点，并求相应极值 .9最新资料推荐例 2、（06 安徽卷）设函数 f xx3bx2cx( x R) ，已知 g( x)f (x) f ( x) 是奇函数。（）求 b 、 c 的值。（）求 g ( x) 的单调区间与极值。例 3、已知函数 f ( x)ax3bx2(c3a2b) xd 的图象如图所示（ I ）求 c, d 的值；（ II ）若函数 f (x) 在 x2

13、处的切线方程为 3xy110 ，求函数 f (x) 的解析式；（ III）在（ II ）的条件下，函数yf ( x) 与 y1 f ( x) 5x m 的图象有三个不同3的交点，求 m 的取值范围10最新资料推荐例 4、2014 江西卷 已知函数 f ( x) ( x2bx b)12x( bR) (1) 当 b4 时，求 f ( x) 的极值；1(2) 若 f ( x) 在区间 0， 3 上单调递增，求 b 的取值范围变式训练：1 、 已知 函数 f ( x)x b 的 图 象 与 函 数 g( x)x 23x 2 的 图 象 相 切 , 记F ( x) f ( x) g (x) .（）求实数

14、 b 的值及函数 F ( x) 的极值；（）若关于 x 的方程 F ( x)k 恰有三个不等的实数根，求实数k 的取值范围 .11最新资料推荐2、（2011 全国文 20）已知函数 f ( x)x33ax 2(3 6a)x 12a 4( a R)( ) 证明：曲线 y f (x)在 x 0 的切线过点 (2, 2)；（）若 f ( x)在 xx0处取得极小值， x0(1,3) , 求 a 的取值范围 .考点五：结合单调性求最值问题求函数在 a, b 上最值的步骤：（1）求出 f (x) 在 (a, b) 上的极值 .（ 2）求出端点函数值 f (a), f (b) .（ 3）比较极值和端点值，

15、确定最大值或最小值 .例 1、(2010 年重庆卷 ) 已知函数 f(x) ax3x2 bx( 其中常数 a，bR)，g(x) f(x) f (x) 是奇函数 (1) 求 f(x) 的表达式；(2) 讨论 g(x) 的单调性，并求g(x) 在区间 1,2 上的最大值与最小值12最新资料推荐例 2、设函数 f(x) ax3 bxc(a 0) 为奇函数，其图象在点 (1 ，f(1) 处的切线与直线 x6y70 垂直，导函数 f (x) 的最小值为 12.(1) 求 a，b，c 的值；(2) 求函数 f(x) 的单调递增区间，并求函数 f(x) 在 1,3 上的最大值和最小值例 3、已知函数 f (

16、 x)1 x2aln x,g (x) (a1)x , a1（I ）若函数 f ( x),2g (x) 在区间1,3 上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数 a 的取值范围；（II ）若 a (1,e (e 2.71828 )，设 F (x)f (x) g(x)，求证：当 x1 , x2 1,a时，不等式 | F ( x1)F (x2 ) |1 成立13最新资料推荐例 4、 2014 安徽卷 设函数 f ( x) 1 (1 a) x x2 x3 ，其中 a0.(1) 讨论 f ( x) 在其定义域上的单调性；(2) 当 x0 ，1 时 ，求 f ( x) 取得最大值和最小值时的x 的值四、导数

17、与不等式恒成立问题：可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。两个基本思想解决“恒成立问题”思路 1、 mf ( x)在 xD 上恒成立m f ( x) max思路 2、 mf ( x)在 xD 上恒成立m f ( x) min例 1.设函数 f (x)2 x33ax23bx8c 在 x1 及 x2 时取得极值求 a、b 的值；若对于任意的x0，3 ，都有 f ( x)c2 成立，求 c 的取值范围14最新资料推荐例 2、已知函数 f xa x33x2a 1 x1，其中 a 为实数。32已知不等式 f x x2x a1 对任意 a0,都成立，求实数 x 的取值范围例 3、设函数 f xx4ax3

18、2x2b, ( xR) ，其中 a,b R 。若对于任意的 a2,2，不等式f x1在 1,1 上恒成立，求 b 的取值范围。例 4、若实数 a 0 且 a2 ，函数 f x1 ax 31a 2x22 x 1。32（ 1）证明函数 fx 在 x1 处取极值，并求出函数f x的单调区间。（ 2）若在区间 0,上至少存在一点 x0 ，使得 fx01 ，求实数 a 的取值范围。15最新资料推荐变式训练：1、（2010 辽宁文）已知函数f (x)( a1)ln xax21.（）讨论函数f (x) 的单调性；（）设 a2 ，证明：对任意 x1 , x2(0,) ， | f ( x1 )f ( x2 ) |4 | x1x2 | .2、已知函数 f ( x) x33| x a|( a 0) 若 f ( x) 在 1，1 上