“双勾函数”的性质及应用

1、 “双勾函数”的性质及应用问题引入：求函数的最小值问题分析：将问题采用分离常数法处理得，此时如果利用均值不等式，即，等式成立的条件为，而显然无实数解，所以“”不成立，因而最小值不是，遇到这种问题应如何处理呢？这种形式的函数又具有何特征呢？是否与我们所熟知的函数具有相似的性质呢?带着种种疑问，我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”的性质1“双勾函数”的定义我们把形如（为常数，）的函数称为“双勾函数”因为函数（为常数，）在第一象限的图像如“”，而该函数为奇函数，其图像关于原点成中心对称，故此而得名2类比“二次函数”与“双勾函数”的图像二次函数图像“双勾函

2、数”图像3类比“二次函数”的性质探究“双勾函数”的性质（1）“二次函数”的性质当时，在对称轴的左侧，随着的增大而减小；在对称轴的右侧，随着的增大而增大；当时，函数有最小值 当时，在对称轴的左侧，随着的增大而增大；在对称轴的右侧，随着的增大而减小当时，函数有最大值 （2）“双勾函数”性质的探究当时，在左侧，随着的增大而减小；在的右侧，随着的增大而增大；当时，函数有最小值 当时，在的左侧，随着的增大而增大；在的右侧，随着的增大而减小当时，函数有最大值 综上知，函数在和上单调递增，在和上单调递减下面对“双勾函数”的性质作一证明证明：定义法设R，且，则以下我们怎样找到增减区间的分界点呢？首先，就是一个

3、分界点，另外我们用“相等分界法”，令，可得到，因此又找到两个分界点，这样就把的定义域分为，四个区间，再讨论它的单调性设，则，即在上单调递减同理可得，在上单调递增；在上单调递增；在上单调递减故函数在和上单调递增，在和上单调递减性质启发：由函数的单调性及在其单调区间的端点处取值的趋势，可作出函数的图像，反过来利用图像可形象地记忆该函数的单调性及有关性质此性质是求解函数最值的强有力工具，特别是利用均值不等式而等号不成立时，更彰显其单调性的强大功能4“二次函数”与“双勾函数”在处理区间最值问题上的类比（1）“二次函数”的区间最值设，求在上的最大值与最小值分析：将配方，得对称轴方程，当时，抛物线开口向上

4、若必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；若，此时函数在上具有单调性，故在离对称轴较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值当时，抛物线开口向下若必在顶点取得最大值，离对称轴较远端点处取得最小值；若，此时函数在上具有单调性，故在离对称轴较远端点处取得最小值，较近端点处取得最大值以上，作图可得结论当时，；图1图2图3图4图5当时，；图6图7图8图9图10（2）“双勾函数”的区间最值设，求在上的最大值与最小值分析：当时，其图像为第一象限部分若，则函数必在界点处取得最小值，最大值需比较两个端点处的函数值；若，此时函数在上具有单调性，故在离直线较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值当时，

5、其图像为第三象限部分若，则函数必在界点处取得最大值，最小值需比较两个端点处的函数值；若，此时函数在上具有单调性，故在离直线较远端点处取得最小值，较近端点处取得最大值以上，作图可得结论当时，图11图12图13当时，图14图15图16二、实践平台例1某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在吨至吨之间时，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式近似地表示为问：（1）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本；（2）每吨平均出厂价为万元，年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润分析：将问题归结为“双勾函数”问题，利用“双勾函数”的性质，可使问题轻松获解解：（1）由题意可知，

6、每吨平均成本为万元即，因为函数在区间上为减函数，在区间上为增函数所以当时，函数有最小值为（万元），所以当年产量为吨时，每吨的平均成本最低，最低成本为万元（2）设年获得总利润为万元，则，当，故当年产量为吨时，可获得最大利润万元评注：本题的关键是用年产量吨把每吨平均成本及利润表示出来，然后再求其最值，在求解最值时我们要用到“双勾函数”的单调性，记住这个结论可以简化计算过程函数的单调性除一些理论上的应用外，它还可以灵活有效地解决现实生活中与之相关的实际问题例2甲、乙两地相距km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过km/h，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位），由可变部分和固定部分组成；可变部分

7、与速度(km/h)的平方成正比，比例系数为，固定部分为元（1）把全程运输成本（元）表示为(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶分析：要计算全程的运输成本()，而已知每小时的运输成本，只需计算全程的时间，由题意不难得到全程运输成本()，所要解决的问题是求何时取最小值，显然要对的大小进行讨论，讨论的标准也就是与的大小解：（1）依题意知：汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，因此全程运输成本为，又据题意，故所求函数及其定义域分别为：，（2）设，在上是减函数，在上是增函数若，结合“双勾函数”的性质知，当时运输成本最小若，函数在上单调递减，所以当时，

8、全程运输成本最小 评注：解应用题时，首先要训练读题能力，成功地完成对数学文字语言、符号语言、图形语言的理解、接受和转换，继而对题中各元素的数量关系进行加工和提炼，分清主次，并建立数学模型解决实际问题例3（2006安徽高考）已知函数在R上有定义，对任意实数和任意实数，都有（）证明；（）证明其中和均为常数；（）当（）中的，设，讨论在内的单调性并求最值分析：承接第（）问的结论，将问题归结为“双勾函数”的单调性与函数最值的求解问题证明：（）令，则，（）令，则假设时，R），则，而，即成立令，假设时，则，而，即成立成立（）当时， 由“双勾函数”性质知在上为减函数，在上为增函数，所以当时，评注：数学高考试题

9、注重“考基础、考能力、考思想”所以熟悉数学化归的思想，有意识地运用数学变换的方法去灵活解决有关的数学问题，将有利于强化在解决数学问题中的应变能力，有利于提高解决数学问题的思维能力和技能、技巧 适当进行化归、转化能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口，是分析问题中思维过程的主要组成部分 本题就是转化思想应用的一个典型，通过转化将本来抽象的问题归结到“双勾函数”区间最值的求解，让我们有一种豁然开朗的感觉例4（2001广东高考）设计一幅宣传画，要求画面面积为cm，画面的宽与高的比为，画面的上、下各留cm空白，左、右各留cm空白怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求，那么

10、为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小?分析：设定变元，寻找它们之间的内在联系(等量关系)，选用恰当的代数式表示问题中的这种联系，建立函数模型，将问题归结为“双勾函数”区间最值问题，并运用“双勾函数”性质进行求解解：设画面高为cm，宽为cm，则设纸张面积为cm，则有,将代入上式得,令，则，函数在上为减函数，在上为增函数，所以当时，取最小值，此时，高：cm，宽：cm如果，则，所以函数在上为增函数，故当时，取最小值，此时评注：函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种动态刻画 要充分重视解题过程中的推理，注意运用推理来简化运算充分利用题目给出的信息，抽象其数学特征，建立函数关系很明显，只有在对问题的观察、分析