角形中的最值问题

1、角形中的最值问题-作者 : _-日期 : _第 42 课 三角形中的最值问题考点提要1掌握三角形的概念与基本性质2能运用正弦定理、余弦定理建立目标函数，解决三角形中的最值问题基础自测1（ 1） abc 中， cosa33sina ，则 a 的值为 30 或 90；（2） abc 中，当 a=时， cos a2cos b c 取得最大值33222在 abc 中， sin a: sin b : sin cm : (m1) : 2m ，则 m 的取值范围是m1 2解 由 sin a : sin b : sin ca : b : cm : (m1) : 2m ，令 amk ,b(m1) k, c2mk

2、 ，由 abc, acb ，得 m1 23锐角三角形 abc 中，若 a=2b ，则 b 的取值范围是30ob45o4设 r， r 分别为直角三角形的外接圆半径和内切圆半径，则r 的最大值r为215在 abc 中，内角 a，b，c 所对边的边长分别是a,b, c ，若 b23ac ，则 b 的取值范围是0 b 1206在 abc 中，若 ab ，则下列不等式中，正确的为 sin a sin b ； cos a sin 2b ； cos2a ba b2rsin a 2rsin bsin a sin b ，故 正确；2cos a cosbsin(a) b ，故 正确（或由余22弦函数在 (0,)

3、上的单调性知 正确）；由 cos2 a cos2b12sin 2 a sin bab ，故 正确知识梳理1直角 abc 中，内角 a，b，c 所对边的边长分别是a, b,c ，c=90，若内切圆的半径为 r ，则 ra bc 22在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础，起到工具性的作用它们在处理三角形中的三角函数的求值、化简、证明、判定三角形的形状及解三角形等问题中有着广泛的应用例题解析例 1 已知直角三角形的周长为1，求其面积的最大值3点评例 2 已知 abc 中， a1,b2 （ 1）求最小内角的最大值； （2）若 abc 是锐角三角形，求第三边 c 的取值范围12c,解 （1）由

4、三角形三边关系得第三边c 满足 2c1,解得 1 c3 ，故最小1c2,内角为 a 又 cosab2c2a2c231( c3) 12 c 33 （当且仅2bc4c4c4c2当 c3 时等号成立），所以 a 30，即最小内角的最大值为30（2）因为 abc 是锐角三角形，即 a ，b，c 三个角均为锐角，又因为a b，所以a b，故只需说明 b ，c 为锐角即可40 cosb1,01c241,即2c解得由 b，c 为锐角得20 cosc1,14c01,43 c5 点评 在锐角三角形中研究问题的时候，一定要注意其三个角都为锐角这个条件另外要注意变形的等价性，如“内角a 为锐角0 cos a1”例

5、3 （2008 江苏）求满足条件 ab2, ac2bc 的 abc 的面积的最大值解 设 bc x ，则 ac 2x 根据面积公式得 s abc = 1 abbc sin bx1cos2 b ，2根据余弦定理得 cos bab2bc 2ac24x22x24x2，2 ab bc4x4x代入上式得 s abc = x 1(4x2) 2128( x212)2，4x16由三角形三边关系有2xx2,解得 222x222 ，22x,x故当 x212, x 2 3 时 s abc 取最大值12822 16点评例 4 如图，已知 a=30， p， q 分别在 a 的两边上， pq=2当 p，q 处于什么位置时

6、， apq 的面积最大？并求出 apq 的最大面积5点评 表示三角形的面积可采用两边及夹角的表示法，本题解法一运用了余弦定理和基本不等式，解法二运用了正弦定理和基本不等式建立目标函数uuuruuuruuur例 5 已知 abc 的周长为 6， | bc |,| ca |,| ab |成等比数列，求：（ 1） abc 的面积 s 的最大值；（2） ba bc 的取值范围uuuruuur uuur解 设 | bc |,| ca |,| ab |依次为 a，b，c，则 a+b+c=6，b 2 =ac由 bac a c6b 得 0 b 2 （当且仅当 a=c 时，等号成立），22又由余弦定理得 cos

7、 ba2c2b2a2c2ac 2ac ac1 （当且2ac2ac2ac2仅当 a=c 时，等号成立），故有0b ，1 ac sin b1 b2 sin b 13（1） s22sin3 ，即 s3 （当且仅2223max当 a=b= c 时，等号成立）；（2） ba bcac cos ba 2c 2b 2(a c)22ac b222(6b)23b2(b3) 227 2q 0 b 2,uuuruuur182 ba bc6点评 本题运用均值定理进行放缩，再运用不等式的性质求解（1）为不等式问题，（ 2）为函数问题方法总结1三角形中角的最值（范围）问题，一般运用余弦定理，通过求该角余弦的范围，根据余弦

8、函数的单调性处理要注意三角形三边关系和内角范围的隐含条件，尤其要注意锐角三角形的角的关系2三角形中边的最值（范围）问题，主要由有三角形三边关系决定3三角形中面积的最值（范围）问题，可以角为自变量，也可以边为自变量建立目标函数，要注意自变量的范围练习 42 三角形的最值问题班级姓名学号1若直角三角形斜边的长m（定值），则它的周长的最大值是( 2 +1) m2在锐角 abc 中，若 c2b ，则 ab 的取值范围是 （2 ，3 ） ac解absin csin 2b2 cosb ，而b， 2ab3 acsin bsin bac643在 abc 中，若 b 2 ,a1 ，则 a 的取值范围是 0ob4

9、5o 4若 2、3、x 分别是锐角三角形的三边长，则x 的取值范围是(5,13)5若三角形两边之和为16 cm，其夹角为 60o，则该三角形面积的最大值是 163 ，周长的最小值是246已知 abc 中， a = 60 ， bc = 4，则 ab + ac 的最大值为_8 3 _77钝角三角形的三边为a,a1, a2 ，其中最大角不超过120，则 a 的取值范围是3 a 3 2解 由题意钝角三角形中， a 2 为最大边且最大角不超过 120，因此得a (a1)a 2 ， a 2(a1) 2(a2) 2，cosaa2( a 1 )2( a2 )21，2a( a1)2由得 a1，得1a3，得 a

10、1或 a 3，故 322a38已知四边形 abcd 的对角线 ac 与 bd 相交于点 o，若 s aob =9，scod=16，则四边形面积的最小值是4989（ 2006 全国）用长度分别为2、3、4、5、6（单位： cm）的 5 根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为6 10cm2解 由题意可围成以下几种三角形图（ 1）中， cos1 ,sin15 ， s4 15 ；44图（ 2）中， ad2 10 ,sin2 10 ， s610 ；7图（ 3）中， cos1 ,sin3 ， s103比较22上述几种情况可知，能够得到三角形的最大面积为6 10 cm

11、2点评 当周长一定时，三边越是接近，其面积越大这是等周问题中的一个基本结论可见，面积最大的三角形应该这样构成：2+5，3+4，610在 abc 中，已知 acos2 cccos2 a3 b 222（1）求证： a、b、c 成等差数列；（2）求角 b 的取值范围解911如图，正方形 abcd 的边长为 a，e、 f 分别是边 bc、cd 上的动点，eaf=30，求aef 面积的最小值解 设 aef 的面积为 s， bae=（15o45o），则由 eaf=30得 daf= 60o正方形 abcd 的边长为 a，在 rt bae 中， aeaba；coscos在 rt daf 中，afada，cos

12、(60o) cos(60o) s1 ae afsineaf21aasin30oa22 coscos(60 o4coscos(60o)a2a24cos(1 cos3 sin )2cos22 3sincos2210a2a2cos23sin212( 1 cos23 sin2)122a2a2cos23sin212( 1 cos23 sin2)1222sin(2a2a230o) 1a230o)12sin(2 30 o312（ 2008 四川延考）在 abc 中，内角 a ，b，c 对边的边长分别是a, b,c ，已知 a2c22b2 （1）若 b，且 a 为钝角，求内角 a 与 c 的大小；4（2）若

13、b2 ，求 abc 面积的最大值解 （ 1）由题设及正弦定理，有sin 2 asin 2 c2sin 2 b1故 sin 2 ccos2 a 因 a 为钝角，所以 sin ccos a 由 cosacos(c) ，可得 sin csin(c ) ，c=，448a=5 8（2）由余弦定理及条件 b21 (a2c2 ) ，有 cos ba2c2，故24accosb 1 21ac sin b ，又 ac 1由于 abc 面积(a2c2 )4 ， sin b 223 ，2当 ac 时，两个不等式中等号同时成立，所以abc 面积的最大值为 1433 2211备用题1直角 abc 的斜边 ab=2 ，内切圆的半径为r，则 r 的最大值为21 22232在 abc 中，已知 sin a + sin b = 5sin c，求证： sinc 解 等式 sin2a + sin 2b = 5sin2c 立即联想正弦定理，有a2+b2=5c2而 a2 +b2=5c2 与余弦定理连起来也无可非议 c2= a2+b22abcosc， 5c2