连续介质力学-第1章-四川大学

1、1.1 1.1 矢量、矩阵与张量矢量、矩阵与张量iiiaaaaeeeea31332211x3x1x2e3e2e1 直角坐标系的基矢量直角坐标系的基矢量iia ea x3x1x2a1a2a3a 矢量的分量矢量的分量 Einstein求和约定求和约定 iia ea 在式子中的一项内，若出现了重复脚标，则表示该项关于这一在式子中的一项内，若出现了重复脚标，则表示该项关于这一脚标对脚标对1、2、3求和，而勿须再写出求和记号求和，而勿须再写出求和记号 哑标哑标: : 求和约定中的重复脚标哑标哑标可以用其它的字母代替，只要该字母在本项中没有出现过就行 jjiiaaeeakmmkjjcbacba 哑标在同一

2、项中只能重复一次哑标在同一项中只能重复一次 iiicbaiiiicba31矢量的代数运算 (1) 加法加法iiiiiiiiicbabaeeeebac )(2) 数乘数乘jjjjbbeeba)()( (3) (3) 数积数积 332211bababababaiijjii)()(eeba)()(jijiji01ee332211bababababaiijjii)()(eebaKronecker记号记号ij)()(jijiij01cosbaba13322110311332232112iijiijjijijjiibabababa)()()(eeeebaijijaa jiijaa 自由指标自由指标: 不重

3、复的脚标 对于一个包含多项的式子而言，每项的自由指标应该相同对于一个包含多项的式子而言，每项的自由指标应该相同 对于方程而言，等号两端的自由指标应该相同对于方程而言，等号两端的自由指标应该相同 ikikmimaaBbAikjkmimaaBbAikikmimiaaBxAximimjaxAx 若方程包含了一个自由指标，就意味着有三个方程若方程包含了一个自由指标，就意味着有三个方程 111axAxmm222axAxmm333axAxmmimimiaxAx(4) (4) 矢积矢积 c b a 123312231213132321321321321 eeeeeeeeebacbababababababbb

4、aaac的模就是a和b所张成的平行四边形的面积 1.1. a a、b b和和e e的脚标一定是的脚标一定是1 1、2 2、3 3的一个排列，在同一项内，不会重复出现的一个排列，在同一项内，不会重复出现1 1、2 2、3 3中的任何一个数。中的任何一个数。2.2. 当当a a、b b和和e e的脚标是的脚标是123123这个自然顺序的一个偶排列（即这个自然顺序的一个偶排列（即123123，231231，312312）时，该项取正号。时，该项取正号。3.3. 当当a a、b b和和e e的脚标是的脚标是123123这个自然顺序的一个奇排列（即这个自然顺序的一个奇排列（即132132，213213，

5、321321）时，该项取负号。时，该项取负号。 )(0)123(1)123(1有两个值相等时当的奇排列时是当的偶排列时是当ijkijkijkijk置换符号置换符号 kijjkiijkkjiikjjikijk123123是偶排列；是偶排列；当一个排列从当一个排列从123123开始交换相邻两个数的位置，开始交换相邻两个数的位置，若需要交换奇数次则该排列是奇排列，交换偶若需要交换奇数次则该排列是奇排列，交换偶数次则是偶排列。数次则是偶排列。方法一：方法二：偶排列与奇排列： 死记硬背死记硬背偶排列偶排列: 123: 123，231231，312312奇排列奇排列: 132: 132，213213，32

6、1321方法三：321偶排列偶排列奇排列奇排列kjiijkjjiibabaeeebac)()(kijkjieeeabba abba(5) (5) 混合积混合积 )(cbacba，acb三个矢量的混合积三个矢量的混合积 如果如果a a、b b、c c的空间位置顺序服的空间位置顺序服从右手螺旋法则，那么混合积的几从右手螺旋法则，那么混合积的几何意义就是由何意义就是由a a、b b、c c所张成的平所张成的平行六面体的体积行六面体的体积 kjiijkkjijkikjiiljkllkjjkliikkjjiicbacbacbacbacba )(eeeeecba，bacacbcba， bcaabccabc

7、ba，例例: :导出导出KroneckerKronecker符号与置换符号间的运算关系。符号与置换符号间的运算关系。1333231232221131211kjikjikjiijk333222111rkrjriqkqjqipkpjpiijkpqr 例例1.5 证明jminjnimmnkijk kkknkmjkjnjmikinimmnkijkikjnkminjmkkjkknimjkinkmikknjmjnimkkmnkijkikjnkminjmjkknimjkinkmikknjmjnim33jnmiinjmnjiminmjnijmjnim333kkniikkn小结：小结：iia ea Einste

8、in求和约定求和约定 Kronecker记号记号)()(jijiij01)(0)123(1)123(1有两个值相等时当的奇排列时是当的偶排列时是当ijkijkijkijk置换符号置换符号 自由标，哑标自由标，哑标1.2 场论概要如果一种物理量在某个空间区域中的每一点都有确定的值，就称这个空间区域上定义着该物理量的场场。 数量场数量场: 温度场、电位场等矢量场矢量场: 速度场、力场等 1. 梯度（gradient）若在数量场中的一点M处存在着矢量g g，其方向为M点处函数变化率最大的方向，其模为这个最大变化率的数值，则称g g为这个函数在M点处的梯度梯度 gradg gradg称为Hamilto

9、n算符算符 123123iixxxx eeee若某个函数对坐标若某个函数对坐标xi取偏微分取偏微分，则简记为则简记为(.),i iieg，方向导数方向导数 123123coscoscosiinnxxx n，2. 散度（divergence）SvvvSnvSSSiiSdcoscoscosdd332211)(nv称为矢量v在S上的通量通量 SvvvSSSdcoscoscosd332211)(nv)(213132321ddddddxxvxxvxxvSGauss公式(奥高公式，或奥式公式)：通量散度Vd dVdivSnuSu物理意义: 若div u 0 则表示在该点处有“源” 若div u = 0 则

10、表示在该点处无“源”无“汇” 其大小表示“源”和“汇”的强度 与坐标系无关332211divxuxuxuuii，uun dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx 3. 旋度（rotation）StokesStokes公式：公式： 设设 为分段光滑的空间有向闭曲线为分段光滑的空间有向闭曲线 , , 是以是以 为边界的分片光滑的有向曲面为边界的分片光滑的有向曲面, , 的正向与的正向与 法线符合右手规则法线符合右手规则, ,函数函数),(zyxP, ,),(zyxQ),(zyxR在包含曲面在包含曲面 在内的一个空间区域内在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数

11、具有一阶连续偏导数 , , 则有公式则有公式 的的nLS对于矢量场u，称 为沿L的环量。若L为某一曲面S的边界，曲面S的法线单位矢量为n n，而且曲线L的走向与n n满足右手法则，则根据Stokes公式，有：332121233112233112123123S123 =()()()eeeLSu t dLuuuuuudx dxdx dxdx dxxxxxxxdSxxxuuuLLdtuLLd tu物理意义： 旋度是用来描述一个旋涡源 (vortex source)的旋涡流强度的，而所谓的旋涡源 (vortex source)就是一个能在其周围造成一个“环”(即：环量u.tdL) 的流源。因此为了描述

12、此旋涡源的強度，定义: 单位面积的最大环量称作旋度, 其方向为此环所为的面的法向量。123123123eee u = u = rotxxxuuu令：小节：梯度：散度：旋度： grad uu div uu rot uu123123(, , )( , , )xxxuuu u并积数积矢积矩阵：方阵：行数列数；行数列数；矩阵的转置：将将m mn n的矩阵的矩阵A A的行列互换，得到的行列互换，得到n nm m的新矩阵，称作的新矩阵，称作A A的的转置转置，记为记为AT；列矩阵：只有一列的矩阵；只有一列的矩阵；行矩阵：列矩阵的转置；列矩阵的转置；11112122122212 nnnnnnnaAAAaAA

13、AaAAAaA 对称矩阵：对于方阵对于方阵A A，有，有A=AT； 反对称矩阵：若若AT =A； 对角阵：方阵方阵A A的主对角线上有非零元素，其余元素均为零，的主对角线上有非零元素，其余元素均为零，记为记为A=diagA=diag（ A A1111, , A A2222, , , , A Annnn）；）； 单位阵：对角线元素全为对角线元素全为1 1的对角阵，记为的对角阵，记为I I；矩阵的加法分解：任意方阵任意方阵A A都可以分解为一个对称矩阵都可以分解为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。和一个反对称矩阵的和。TT11()()22AAAAAT1()2DAAT1()2WAA令： 逆矩阵：对于

14、方阵对于方阵A，若存在方阵，若存在方阵B，使，使AB = BA = I，则，则称称B是是A的逆矩阵，记为的逆矩阵，记为B = A1 逆矩阵存在的充要条件是逆矩阵存在的充要条件是|A|0 克莱默法则： A-1=A*/|A|其中： 伴随矩阵伴随矩阵 , 余子式：余子式： 代数余子式：代数余子式： =(-1)i+j余子式余子式*111212122212AnnnnnnAAAAAAAAA 1112112122221212jnjniiijinnnnjnnAAAAAAAAAAAAAAAA*ijA关于转置和逆的计算规则:转置:逆:()AATT()TTTABAB()TTTABB A111()AA111()ABB

15、 A正交矩阵： 对于方阵对于方阵A，若有，若有A1AT，则称，则称A是正交矩阵是正交矩阵例例1.151.15 如图1.12，平面直角坐标系绕原点O旋转一角度形成新坐标系，导出其坐标变换矩阵MM，并说明MM是正交矩阵。 2x2x2e1e1x1x图图1.12 平面直角坐标变换平面直角坐标变换 解解：由图1.12易得，新坐标系的单位矢量 即 上式可简记为 和 易于证明，MM满足条件 ，故MM是正交矩阵。MM还可表示为112212cossinsincos eeeeee2121cossinsincoseeee2121eeeeMTM)()(2121eeee )M2212211122122111cos(co

16、s(cos(cos(eeeeeeeeeeeeeeee，TMM1在三维情况下 321321eeeeeeMTM)()(321321eeeeee )M332313322212312111332313322212312111cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee，其中可以证明：TM MITMMI3x2x2x1x1x3x若反过来考虑，坐标变换是123123()() eeeeee则存在：11*2233Meeeeeecos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos(

17、)111213111213212223212223313233313233eeeeeeeeeeee= eeeeee=eeeeeeeeeeeeeeeeee*M，比较可以看出，M*=MT而推导可以得到，M*=M-1MTM-1坐标变化矩阵M是正交矩阵同理，一个正交矩阵必对应一个坐标变换。detM10 （a）若绕过原点的某轴的一个旋转detM10 （b）若(1)绕过原点的某轴的一个旋转;(2)对某个轴的反射,右手系的原坐标系改换为左手系 ;3x2x2x1x1x3x3x2x2x1x1x3x(a) 右手系保持为右手系 (b) 右手系改换为左手系 对于方阵A A，若存在着数和非零向量b b，使 矩阵的特征值

18、bAb 成立，则称是方阵A A的特征值特征值，称b b是A A的特征向量特征向量。 求解方法：bAb ()AI b0det(AI)0特征方程：特征方程：对于三阶方阵A A，其特征方程为 0det(333231232221131211 AAAAAAAAAI)A23322113)(AAA0333231232221131211333113113332232222211211AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA展开得:332211AIAAAAii 333113113332232222211211AIIAAAAAAAAAAAA AdetIIIA 0IIIIIIAA2A3特征方程可记为特征方程可记为

19、: : 在A A的特征值求得后，将其代入特征方程，即得： 0bI)(A 000321333231232221131211bbbAAAAAAAAA特征向量b b就是上述齐次方程的非零解。 当当A是对称矩阵时，有如下定理成立：是对称矩阵时，有如下定理成立： A的特征值均为实数。的特征值均为实数。 对应于不同特征值的特征向量相互正交。对应于不同特征值的特征向量相互正交。 若若是特征方程的是特征方程的m重根，则相应的齐次方程一定存在着重根，则相应的齐次方程一定存在着m个线性无关的非零解，并可由此而导出个线性无关的非零解，并可由此而导出m个相互正交的个相互正交的特征向量。特征向量。 例例1.18 1.1

20、8 求A A的特征值和特征方向。 0A00aaaaaa)(0a解解： 特征方程为 :022)(aaaaaaaa故特征值 a21a32将特征值依次代入线性齐次方程组，对应于 的方程为 000222321bbbaaaaaaaaaa21可取其解为:T)(b)(1111对应于 ，齐次方程组为 a32000321bbbaaaaaaaaa000000000111321bbb可求得其基础解系为 T)(p)(0112T)(p)(1013b(2) = p(2)p(3)b(3)b(1)图图1.15 1.15 特征向量特征向量注意这样得到的特征方向，一定有b(1)与p(2)正交， b(1)与p(3)正交。虽然p(2

21、)与p(3)不一定正交，但两者构成基础解系的两个基，因而线性无关。这两个向量的线性组合的全体张成了与b(1)正交的平面（如图1.15），这个平面上的任意不重合的两个方向都可构成对应于这个平面上的任意不重合的两个方向都可构成对应于2 2和和3 3的主方向的主方向。如果要取三个两两正交的方向，那么，可根据b(1)和p(2)的方向将p(3)正交化。 Kronecker符号正交化：T)(b)(1111T)(b)(0112T)(b)(2113T)(n)(111311T)(n)(011212T)(n)(211613单位化：对于正交且单位化了的特征向量： ( )( )1 ()nn0 ()i Tjijijij

22、jijjTij)()(nnjijjTi)()(Ann对于k阶对称方阵A A )nnnA()nnn()()()()()()(kkTk212121diag( (1)1(2)(1)(2)(3)2(3)3nnA nnnn对于三阶方阵A A 321AMMT(1)(2)(3)nnnM 对于三阶对称矩阵对称矩阵A A，一定存在着一个坐标变换，使得A A在变换后的坐标系下成为一个对角阵，其对角线元素就是A A的特征值，新坐标系的坐标方向就是对应的特征方向。 这个坐标变换矩阵的列向量就是特征向量。在A A的特征值是互不相等的情况下，三个特征方向是完全确定的，并两两正交。在A A的特征值有一个二重根的情况下，例如

23、 时，对应于 的特征方向 是确定的。而在垂直于 平面内的任意方向都是对应于 或 的特征方向。当然能够在这个平面内找到两个方向 和 ，使 、 和 两两正交。当且仅当矩阵A A具有的 形式时，A A的特征值只有一个，它就是三重根 。在这种情况下，对于任意的坐标变换矩阵MM， 其结果仍然具有 的形式。因此可以说，任何方向都是A A的特征方向，当然也存在着三个两两正交的特征方向。132 1)(n1)(n123)(n2)(n3)(n1)(n2)(n3IIMMMIMMAMTTTI正定矩阵：若对于任意的非零向量b b，恒有b bTAb0Ab0，则称A A为正定矩阵正定矩阵。可以证明，对称矩阵A A为正定矩阵

24、的充要条件是A A的所有特征值均为正数。jjiiaaeeakmmkjjcbacba 一种常用的计算技巧 iiicbaiiiicba31Einstein求和约定：31 122331iiiiiaaaaaaeeeee在式子中的一项内，若出现了重复脚标，则表示该项关于这一在式子中的一项内，若出现了重复脚标，则表示该项关于这一脚标对脚标对1、2、3求和，而勿须再写出求和记号求和，而勿须再写出求和记号 。 如果有时需要使用同一个脚标但不表示求和，则在该脚标下加一横线，如 ，就只表示a a和b b的第m个分量的乘积。 mmba求和约定中的重复脚标称为哑标哑标。由于哑标并未限定用哪些字母，因此，哑标可以用其它

25、的字母代替，只要该字母在本项中没有出现过就行。哑标在同一项中只能重复一次哑标在同一项中只能重复一次 11 1 1121 2131 3212 12222ijija ba ba ba ba ba b例：2323313 13232333 3a ba ba ba b1 1223 3iia ba ba ba b不重复的脚标称为自由指标。 第一，它指1，2，3中是i 的那一个。对于一个包含多项的式子而言，每项的自由指标应该相同。例如 就是允许出现的表达式，而 就是不正确的表达式。 ikikmimaaBbAikjkmimaaBbA第二，它指1，2，3中的每一个。对于方程而言，等号两端的自由指标应该相同，例如

26、，就是 允许出现的代数方程，而 就是不正确的。 ikikmimiaaBxAximimjaxAx若方程包含了一个自由指标，那么这个方程就表示了三个方程，而不必在方程后再加注 i =1，2，3 的字样。例如， 就表示了如下的三个方程： imimiaxAx111axAxmm222axAxmm333axAxmm321321321bbbaaaeeebac123312231213132321eeeeeebabababababa 第一，a、b和e e的脚标一定是1、2、3的一个排列，也就是说，在同一项内，不会重复出现1、2、3中的任何一个数。第二，当a、b和e e的脚标是123这个自然顺序的一个偶排列（即1

27、23，231，312）时，该项取正号。第三，当a、b和e e的脚标是123这个自然顺序的一个奇排列（即132，213，321）时，该项取负号。1(123)1(123)0()ijkijkijkijk 当是的偶排列时当是的奇排列时当有两个值相等时置换符号: 偶排列与奇排列： 123是偶排列；当一个排列从123开始交换相邻两个数的位置，若需要交换奇数次则该排列是奇排列，交换偶数次则是偶排列。方法一：方法二：132偶排列奇排列123123123ijkijkaaaa b ebbbeeea b or ijijiijja ba ba ba bkijjkiijkkjiikjjikijkkijkjieee作业：

28、P46 1.4，1.5，1.101.3 张 量标量矢量张量数量矢量“方向”数量方向1.3.1 矢量的坐标变换式平移旋转反射3x3x3x3x3x3x2x2x2x1x1x1x2x2x2x1x1x1x )M332313322212312111332313322212312111cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee，321321eeeeeeMTM)()(321321eeeeeeb)(b)(321321eeeeeebb)(bM)(b)(321321321eeeeeeeeebTbMbTjjiibMb

29、Mbb jijibMb 梯度： grad uu若u是标量， 是矢量；若u u是矢量， 是？。uu如：22221122212eev)()(xxxxx 1112xxv212xxv2214xxv21222xxxv定义：基矢量e ei和e ej可作并积并积，而形成二阶单位并矢量二阶单位并矢量e eie ej 2221122212111242eeeeeeeev)(xxxxx212122121242eeeevxxxxx)( 在三维空间中，二阶单位并矢量有九个。一般地，九个二阶单位并矢量的线性组合A A可记为： 111213112321222323132333123123() ()A()ijijTAAAAA

30、AAAAAeAe eeeeeeeeeeee321333231232221131211321eeeeeeeeAAAAAAAAAAAjiij)(T)(A)(321321eeeeeeTT)M(AM)(321321eeeeeeAMAMATmnnjmiijAMMATMAMA mnjnimijAMMA 如果一个量如果一个量A A在坐标系在坐标系 和和 中具有不变的形式中具有不变的形式，即即 321xxx321xxxjiijjiijAAeeeeA且在坐标变换（且在坐标变换（1.611.61）中满足如下的关系）中满足如下的关系： mnjnimijAMMA 则称则称A A为为二阶张量二阶张量。 11232310

31、0010001ijijeIe eeeeee为二阶单位张量二阶单位张量 定义：TMJMJ 例例1.241.24：证明，在材料力学中定义的平面图形的惯性矩和惯性积的集合构成二维情况下的张量分量 xxyxyyIIIIJAAAAAyAxyAxyAxdddd22解解：可以看出，矩阵 AyxyxyxAd22Jyxx记：AATdxxJMxx TTTMxxxMxddyyAdxxAyxyxyxyxAddddcosdsindsindcosddd)(在xy中TTATATTATAAAMJMMxxMMMxxxxJdddcossinsincosM例例1.26 证明： 是二阶张量。 v解解：jiijjjiivvxeeeev

32、，)(mmiixMxmimiMxxjnjnvMv ijnjmimiijnjmiinmnxvMMMxvMxxxvxv)(矢量的基 称为一阶单位并矢量ie两个一阶单位并矢量作并积的结果 称为二阶单位并矢量 ije ekjieee以此类推， 称为三阶单位并矢量 三阶张量为：如果一个量 在坐标系 和 中具有不变的形式，即 321xxx321xxxkjiijkkjiijkeeeeee且其分量在坐标变换（1.61）中满足 ijklknjmimnlMMM则称 为三阶张量。 ijkijke e e置换张量置换张量 零张量零张量: 所有分量都为所有分量都为0 0的张量的张量 零阶张量零阶张量 ：标量标量1.3.

33、3 张量的代数运算张量的代数运算 数乘： jiijjiijAAeeeeA)()(jiijijjiijjiijBABAeeeeeeBA)(加法： 乘法： ijijeeijijkkeeeijije ee eijkkjikjieeeeeee)()(kijkjikjieeeeeee)()(nijmnmjinmjieeeeeeeeee)()()(mijkmkjikjieeeeeeee)()(jmkimjikjikeeeeeeee)()(nkijmknmjinmjieeeeeeeeeee)()()(lnmjilnmjieeeeeeeeee)( 两个张量间可以进行数积、矢积、并积数积、矢积、并积的运算，只要

34、两者的单位并矢量之间允许进行这样的乘法即可。运算时两个单位并矢量间进行相应的积运算，而分量间则对应地进行简单的数量乘积运算。 ijijijkkijkjikijkkjiijbAbAbAbAeeeeeeeebA)()()(321333231232221131211321bbbAAAAAAAAAeeejiijjkikijjikkijjiijkkbAbAbAAbeeeeeeeeAb)()()(321333231232221131211321eeeAAAAAAAAAbbb321332313322212312111321bbbAAAAAAAAAeee)()(meeeeamkjiijkajimijmjimk

35、mijkaaeeee点积：nijnijnijmmnijnmmnjiijBABABAeeeeeeeeBA)()(321333231232221131211333231232221131211321eeeeeeBBBBBBBBBAAAAAAAAAAAAkk 12AAA幂幂运算 mijkmkijkkjiijbAbAeeeeebA)()(nkijmkmnijnmmnjiijBABAeeeeeeeBA)()(矢积：jijibaeeab 并积：并矢张量并矢张量 ijijmmijmijmA e e b eA b e e eAb双重点积： jnimnjminmji)()(:)(eeeeeeeeiknjmnkm

36、jinmkjieeeeeeeeeee)()(:)(ijijjnimmnijnmmnjiijBABABA)(:)(:eeeeBAijkijknmmnkjiijkAAeeeeeeA)(:)(:bBAaBbAaT)()(证明证明: :() ()() () () () () () () () kkijijllmnmnkijkijmnllmnijkkijmnllmnijijmnmnijimnmjnaAbBa AB bA aB bA aB bA a B ba Ab Bee eee eee ee e eeeeeee ijmnimjnijmjimA B a bA B a b() ()() () () () (

37、) () () () kkijijllmnmnkijkijmnllmnijkkijmnllmnijijmnmnijimnmjnaAbBa AB bA aB bA aB bA a B ba Ab Bee eee eee ee e eeeeeee ijmnimjnijmjimA B a bA B a b() ()() () () () () () () () kkijijllmnmnkijkijmnllmnijkkijmnllmnijijmnmnijimnmjnaAbBa AB bA aB bA aB bA a B ba Ab Bee eee eee ee e eeeeeee ijmnimjnij

38、mjimA B a bA B a b() ()() () () () () () () () kkijijllmnmnkijkijmnllmnijkkijmnllmnijijmnmnijimnmjnaAbBa AB bA aB bA aB bA a B ba Ab Bee eee eee ee e eeeeeee ijmnimjnijmjimA B a bA B a b() ()() () () () () () () () kkijijllmnmnkijkijmnllmnijkkijmnllmnijijmnmnijimnmjnaAbBa AB bA aB bA aB bA a B ba Ab

39、 Bee eee eee ee e eeeeeee ijmnimjnijmjimA B a bA B a b()() ()() () ()() () ()(TTTkkijijkijkijTijkkijijijmnnmijimnjnmijimnjnmijmjimkkaAa AA aA aBA a BA a BA B abAa A Bbee eBbee eBbeBbee ebee ebebee) ()ijmjikmkijmjikmkijmjimB a bA B a bA B a bee()() ()() () ()() () ()(TTTkkijijkijkijTijkkijijijmnnmiji

40、mnjnmijimnjnmijmjimkkaAa AA aA aBA a BA a BA B abAa A Bbee eBbee eBbeBbee ebee ebebee) ()ijmjikmkijmjikmkijmjimB a bA B a bA B a bee()() ()() () ()() () ()(TTTkkijijkijkijTijkkijijijmnnmijimnjnmijimnjnmijmjimkkaAa AA aA aBA a BA a BA B abAa A Bbee eBbee eBbeBbee ebee ebebee) ()ijmjikmkijmjikmkijmjim

41、B a bA B a bA B a bee()() ()() () ()() () ()(TTTkkijijkijkijTijkkijijijmnnmijimnjnmijimnjnmijmjimkkaAa AA aA aBA a BA a BA B abAa A Bbee eBbee eBbeBbee ebee ebebee) ()ijmjikmkijmjikmkijmjimB a bA B a bA B a bee()() ()() () ()() () ()(TTTkkijijkijkijTijkkijijijmnnmijimnjnmijimnjnmijmjimkkaAa AA aA aB

42、A a BA a BA B abAa A Bbee eBbee eBbeBbee ebee ebebee) ()ijmjikmkijmjikmkijmjimB a bA B a bA B a bee() ()() () () () () () () () kkijijllmnmnkijkijmnllmnijkkijmnllmnijijmnmnijimnmjnaAbBa AB bA aB bA aB bA a B ba Ab Bee eee eee ee e eeeeeee ijmnimjnijmjimA B a bA B a b() ()() () () () () () () () kkij

43、ijllmnmnkijkijmnllmnijkkijmnllmnijijmnmnijimnmjnaAbBa AB bA aB bA aB bA a B ba Ab Bee eee eee ee e eeeeeee ijmnimjnijmjimA B a bA B a b对称张量与反对称张量对称张量与反对称张量 张量的加法分解张量的加法分解 张量的对称性或反对称性是不会随着坐标系的变换而改变的。 DA)(TAAD21)(TAA21对称张量D有六个独立的分量 反对称张量 只有三个独立的分量 111213222333对称DDDDDD121323121323000反对称张量的对偶矢量 T)(21133

44、2:21jkijki21Ikijkij:() ():():()()()()ijijkmnkmnijkmnjkp ipmnqrqrijkmnjkpqripmqnrijmqnrkmnjkpqripkmnikpmn ipmnkipkmn ipminpmpnimn ipmpnimn ipminpmeee e eee e ee eeeeeeeeeeeeeeeee I 2n ippi ipip ipip ipeeeeeeee 000121323例例1.301.30 证明，反对称张量 与任意矢量b b的数积等于其对偶矢量 与b b的矢积。 bbbeebijkijkijijbb解：这个例子说明，反对称张量 数

45、性地作用于b b，相当于其对偶矢量 矢性地作用于b b。 二阶张量的逆 对于二阶张量A A，若存在着二阶张量B B，使成立，则称B B是A A的逆，并记之为IBAIAB1 ABIAA1IAA1ijmjimAA1ijmjimAA1注意 的分量形式为1A1mjmjA e e*1mjmjAAA二阶张量A A的全体分量的行列式记为 detA A。 二阶张量A A有逆的充要条件是 0detA111AA)(111ABBA)(11detdet)(AA正交张量：TMM1aaaMMaaMaMT)()(aaM二阶张量的迹 AIA:triinmmnjiijAAeeeeA:tr3triiIBABAtrtrtr)(AAtrtr)(tr()tr() tr() tr()ijijmnmnijjninijjijiijA