《数理统计》考试题及参考答案

1、;数理统计考试题及参考答案一、填空题（每小题3 分，共 15分）1，设总体 x 和 y 相互独立，且都服从正态分布n (0, 32 ) ，而 ( x1 , x 2, x 9 ) 和 (y1 ,y2 ,y9 ) 是分别来自 x 和 y 的样本，则 ux1x 9 服从的分布是 _ . 解： t (9) y12y922，设 ?1与 ?2 都是总体未知参数的估计，且?1 比 ?2 有效，则?1 与 ?2 的期望与方差满足 _ .解： e( ?1)e( ?2 ),d( ?1)d( ?2 ) 3，“两个总体相等性检验”的方法有_与 _ _. 解： 秩和检验、游程总数检验4，单因素试验方差分析的数学模型含有

2、的三个基本假定是_ .解： 正态性、方差齐性、独立性5，多元线性回归模型 y x ?1x y 中， 的最小二乘估计是 = _ . 解： =( x x )二、单项选择题（每小题3 分，共 15 分）1，设 ( x1 , x2 , x n ) (n2)为来自总体 n (0,1)的一个样本，x 为样本均值，s2为样本方差，则_d_ .（ a） nxn (0,1)；（b） ns 22 (n) ；（ c） ( n 1) xt( n) ；（d） (n n1)x12f (1,n 1) .si2xi22，若总体 xn (,2 ) ，其中2 已知，当置信度 1保持不变时，如果样本容量n 增大，则的置信区间 _b

3、_ .（ a）长度变大；（ b）长度变小；（ c）长度不变；（ d）前述都有可能 .3，在假设检验中，分别用，表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是 _c_ .（ a）减小时也减小；（ b）增大时也增大；（ c）,其中一个减小，另一个会增大；（ d）（ a）和（ b）同时成立 .4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设st 为总离差平方和， se 为误差平方和，sa 为效应平方和，则总有 _a_ .（ a） stsesa ；sa2( r 1) ；（ b）2.;（ c） sa /(r1)f (r1, nr ) ；（ d） sa 与 se 相互独立 .se

4、/(nr )5，在一元回归分析中，判定系数定义为r2s回 ，则 _b_ .st（ a） r2 接近 0 时回归效果显著；（b） r2接近 1 时回归效果显著；（ c） r2 接近时回归效果显著；（ d）前述都不对 .三、（本题 10分）设总体 xn ( 1 ,2 ) 、 yn (2 ,2 ) ， ( x1 , x 2 , x n1 ) 和 (y1,y2 , , yn2) 分别是来自 x 和 y 的样本， 且两个样本相互独立，x、 y 和 sx2、 sy2 分别是它们的样本均值和样本方差，证明( x y )1( 12 )t (n1n22) ，其中 s2( n1 1)sx2(n21)sy2.s1n

5、1n22nn12证明： 易知22( xy )(2 )xyn (,) ，u112n211n (0,1) n1n1n2由定理可知(n1 1) sx22(n11) ，(n21)sy22( n21) 22由独立性和2 分布的可加性可得v(n1 1)sx2(n2 1)sy22(n1n22) 22由 u 与 v 得独立性和 t 分布的定义可得( xy )( 12 )ut(n1n22) s11v /(n1n22)n1n21 ex四、（本题 10 分） 已知总体x 的概率密度函数为f (x ),x 0,其中未知参数0 ,0,其它( x1 , x 2 , x n ) 为取自总体的一个样本，求的矩估计量，并证明该

6、估计量是无偏估计量1x1n解：（ 1） v1exxf ( x)dxdx，用 v1x 代替，所以0xen ix i1.?1nx i x n i 1（ 2） e( ?)e( x )1 ne( x i ) e( x )，所以该估计量是无偏估计n i 1五、（本题 10分）设总体 x 的概率密度函数为f ( x; )(1 ) x, 0 x 1，其中未知参数( x1 ,x 2 , xn ) 是来自总体x 的一个样本，试求参数的极大似然估计解：n( 1)n ( xi ) ,0 xi1l( )i 10,其它;1 ，当 0xi 1 时， ln l ( ) n ln( 1)n，令 d ln l ( )ln xi

7、i 1d?1 nnln xii1nnln x 0 ，得1ii 1六 、（ 本 题 10 分 ） 设 总 体 x 的 密 度 函 数 为ex ,x 0 ;f (x ; )x未 知 参 数0 ,0 ,( x1 ,x 2 , xn ) 为总体的一个样本，证明x 是1 的一个 umvue证明： 由指数分布的总体满足正则条件可得211i ( ) e2 ln f ( x; )e，221 的的无偏估计方差的 c-r 下界为221( 1 ) 21ni ( )1n 2n 2另一方面e( x ) 1 ， v a rx( ) 12，n0 ，即 x 得方差达到c-r 下界，故x 是 1 的 umvue七、（本题 10

8、 分）合格苹果的重量标准差应小于0.005 公斤在一批苹果中随机取9 个苹果称重 , 得其样本标准差为s0.007 公斤 , 试问：（1）在显著性水平0.05 下 , 可否认为该批苹果重量标准差达到要求 ? （ 2）如果调整显著性水平0.025，结果会怎样？.;参考数据 :219.023,2(9)16.919 ,217.535 ,215.507 0.025 (9)0.050.025 (8)0. 05 (8)解：（ 1） h 0 :20.005,2n1 s2282，则应有：p2280.005,2(8)15.507 ，0.050.05具体计算得：280.007215.6815.507, 所以拒绝假

9、设h 0 ，即认为苹果重量标准差指标未达到要20.005求（ 2）新设h 0:20.005,由217.535,280.007215.6817.535,则接受假设，0.0250.0052即可以认为苹果重量标准差指标达到要求八、（本题 10分）已知两个总体 x 与 y 独立， x (1,12 ) ，y (2 , 22 ) ，1 ,2 ,12 , 22 未知，2( x1, x 2 , , x n) 和(y1, y2 , , yn2) 分别是来自x 和 y 的样本，求1的置信度为1的置信区间 .122解： 设 sx2 ,sy2分别表示总体x， y 的样本方差，由抽样分布定理可知(n1 1)sx22(n11) ，(n2 1)sy22(n21) ，2212由 f 分布的定义可得(n11)sx2(n11)222f1sx2f (n11,n21) 222(n21)sy(n21)sy122对于置信度1，查 f 分布表找 f / 2 (n11,n21) 和 f1/2 (n11,n2 1) 使得p f /2 ( n11, n2 1) f f1/2 (n1 1, n21) 1，即22222psx / sy1sx/ sy1，f1/ 2 (n11, n21)