2019年高考—圆锥曲线知识点总结

1、.2019 年高考专题 -圆锥曲线的方程与性质1椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点f 、 f2 的距离的和等于常数2 a （大于 | f f2 | ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆11的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若m 为椭圆上任意一点，则有| mf1 | mf 2 |2a 。椭圆的标准方程为：x2y21（a b 0y2x 21（ ab 0）（焦点在 y 轴a2b2）（焦点在 x 轴上）或2b 2a上）。注：以上方程中 a,b 的大小 ab 0 ，其中 b2a2c2 ；在 x2y21 和 y2x21 两个方程中都有 ab0 的条件，要分清焦点的位置，只要看x2 和 y2的分a

2、2b2a2b2母的大小。例如椭圆x2y21 （ m0， n 0 ， mn ）当 mn 时表示焦点在x 轴上的椭圆；当 mn 时mn表示焦点在 y 轴上的椭圆。（2）椭圆的性质范围：由标准方程x2y21 知 | x |a ， | y | b ，说明椭圆位于直线xa ， yb 所围成的矩形里；a2b2y 代替 y 方程不变，所以若点(x, y) 在曲线上时，点(x, y) 也在曲线上，对称性：在曲线方程里，若以所以曲线关于x 轴对称，同理，以x 代替 x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以x 代替 x ， y 代替 y方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点对称

3、。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、 y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令x 0 ，得 yb ，则 b1(0, b) ， b2 (0, b) 是椭圆与 y 轴的两个交点。同理令y0 得 xa ，即 a1 ( a,0) ，a2 (a,0) 是椭圆与 x 轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段 a1 a2、 b1b2 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b ， a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知： 椭圆的短轴端点到焦点

4、的距离为a ；在 rtob2 f2 中，| ob2 |b ，|of2 | c ，| b2 f2 | a ，且 |of2 |2 | b2 f2 |2| ob2 |2 ，即 c2a2b2 ；离心率：椭圆的焦距与长轴的比ecac 0 ，0e1，且 e 越接近 1， c 就叫椭圆的离心率。a越接近 a ，从而 b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于 0 ， c 就越接近于0 ，从而 b 越接近于 a ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b 时， c0 ，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2y2a2 。2双曲线（ 1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（| pf1

5、| pf2|2a ）。注 意 ： 式 中 是 差 的 绝 对 值 ， 在 0 2a| f1 f2 | 条 件 下 ； | pf1 | | pf2 |2a 时 为 双 曲 线 的 一 支 ；| pf2 | pf1 |2a 时为双曲线的另一支（含f1 的一支）；当 2a| f1f2 | 时， | pf1 | pf2 | 2a 表示两条射线；当2a | f1f2 | 时， | pf1 | | pf2 |2a 不表示任何图形；两定点f1 , f2 叫做双曲线的焦点， | f1f2 | 叫做焦距。;.椭圆和双曲线比较：椭圆双曲线定义| pf1 | pf2 | 2a(2a | f1 f2 |)| pf1

6、| | pf2 |2a(2 a| f1f2 |)方程x2y21x 2y 21x 2y21y2x 21a2b 2b 2a 2a 2b 2a 2b 2焦点f (c,0)f (0, c)f (c,0)f (0,c)注意：如何用方程确定焦点的位置！（ 2）双曲线的性质范围：从标准方程x 2y21 ，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线xa 的外侧。即a 2b2x2a 2 ， xa 即双曲线在两条直线xa 的外侧。对称性：双曲线x2y21关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点a2b2是双曲线 x 2y 21的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。a 2b 2x2y

7、 2顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线1的方程里，对称轴是x, y 轴，所a 2b2x 2y 2以令 y0 得 xa ，因此双曲线和x 轴有两个交点 a (a,0) a2 ( a,0)，他们是双曲线1 的顶点。a 2b 2令 x0，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2a, a22叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段2）实轴：线段a ab b 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b 叫做双曲线的虚半轴长。渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条

8、对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线x2y21 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。a2b2等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab ；2）等轴双曲线的性质： （ 1）渐近线方程为： yx；（ 2）渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。abxy(0)03，则等轴双曲线可以设为：22，当时交点在 x 轴，）注意到等轴双曲线的特征当 0时焦点在 y 轴上。注意 x 2y 21与 y2x21 的区别：三个量a,b, c 中 a,b 不同（互换） c 相同，还有

9、焦点所在的坐标169916轴也变了。3抛物线（1）抛物线的概念平面内与一定点 f 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 (定点 f 不在定直线 l 上 )。定点 f 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。方程 y 22 pxp0 叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是f（ p ,0 ），它的准线方程是xp；22;.（ 2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式： y22 px ， x22 py ， x 22 py .这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以

10、及准线方程如下表：标准方程y22 pxy22 pxx22 pyx22 py( p0)( p0)( p0)( p0)yyyllf图形o fxfoxlox焦点坐标( p ,0)(p ,0)(0, p )(0,p )2222准线方程pxpypypx2222范围x 0x0y0y0对称性x 轴x 轴y 轴y 轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率e 1e1e1e1说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（ 2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（ 3）注意强调 p 的几何意义：是焦点到准线的距离。（一）椭圆的定义

11、：1、椭圆的定义：平面内与两个定点f1 、 f2 的距离之和等于定长（大于| f1 f2 | ）的点的轨迹叫做椭圆 。这两个定点f1 、 f2 叫做椭圆的 焦点 ，两焦点的距离 | f1f2 | 叫做椭圆的 焦距 。对椭圆定义的几点说明：（1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）；（2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分；（3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于 | f1f2| 这个条件。若不然，当这个“常数”等于 | f1f | 时，我们得到的是线段f f ；当这个“常数”小于| f f | 时，无轨迹。这

12、两种特殊情况，同学们必须注21212意。（ 4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为a1， a 2， b 1 ， b 2，于是我们易得 | a1a2| 的值就是那个“常数” ，且 |b 2f2|+|b 2f1| 、|b 1f2|+|b 1f1| 也等于那个“常数” 。同学们想一想其中的道理。;.（ 5）中心在原点、焦点分别在x 轴上， y 轴上的椭圆标准方程分别为：x 2y21 (aby2x21 (ab0),a2b20),b2a2相同点是：形状相同、大小相同；都有a b 0， a2c2b2 。不同点是： 两种椭圆相

13、对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为 （ c，0）和（ c，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0， c）和（ 0， c）。椭圆的焦点在x轴上标准方程中 x2 项的分母较大；椭圆的焦点在 y轴上标准方程中 y2项的分母较大。（二）椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率对于第一类性质，只要x 2y 21(a b 0) 的有关性质a2b2中横坐标 x 和纵坐标y 2x 21(a b0) 的有关性质。总结如下：y 互换，就可以得出2b2a几点说明：（ 1）长轴：线

14、段 a1 a2 ，长为 2a ；短轴：线段 b1b2 ，长为 2b ；焦点在长轴上。（ 2）对于离心率 e，因为 ac0，所以 0e1，离心率反映了椭圆的扁平程度。;.ca2b2b2，所以 e 越趋近于1， b 越趋近于 0 ，椭圆越扁平；e越趋近于0， b 越趋由于 ea1aa2近于 a ，椭圆越圆。（3）观察下图， | ob2 |b,| of2 | c ，所以 | b2 f2 |a ，所以椭圆的离心率 e = cosofb22知识点一：椭圆的定义第一定义： 平面内一个动点p 到两个定点 f1、f2 的距离之和为定值( pf1pf22a f1f2 ) , 这个动点 p的轨迹叫椭圆 . 这两个

15、定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意： 若 ( pf1pf2f1 f2 ) ，则动点 p 的轨迹为线段f1 f2 ；若 ( pf1pf 2f1 f2 ) ，则动点 p 的轨迹不存在 .知识点二：椭圆的标准方程1当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程：x 2y21 ( ab0)，其中 c 2a 2b 2a 2b22当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程：y 2x 21 ( ab0)，其中 c 2a2b2 .a 2b2注意：只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；在椭圆的两种标准方程中，都有 (ab 0) 和 c2a 2b 2 ；椭圆的焦点总在

16、长轴上 .当焦点在 x 轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0) ， ( c,0) ；当焦点在 y 轴上时，椭圆的焦点坐标为( 0, c) ， (0,c) ；知识点三：椭圆的第二方程1. 椭圆 x 2y 2 1的参数方程a 2b2xacos（为参数）ybsin;.2. 椭圆的第二定义到 f（ c， 0）的距离和到直线l ： xa2的距离之比为常数c（ a c0 ）的点的轨迹为x2y21。caa 2b 23. 焦半径 p（ x0 ， y0 ）在椭圆x 2y21上， f （c ， 0）、 f （ c ， 0）为焦点a 2b212pf1aex0pf2aex0例题讲解（三）直线与椭圆：直线 l ： axby

17、c 0 （ a 、 b 不同时为 0）椭圆 c ： x 2y 21 (a b 0)a2b2那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组，通过方程组的解的个数来判断直线和椭圆交点的情况。方法如下：ax byc0x2y 2消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，化简后形式如下a2b21mx2nxp 0(m 0) ，n24mp（1）当0时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点；（2）当0时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点（相切）；（3）当0时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为a( x1 , y1 ) , b(x2 , y2 ) ，那么

18、线段ab 的长度（即弦长）为| ab |( x1x2 )2( y1y2 ) 2 ，设直线的斜率为k ，可得： | ab |(x1x2 )2 k( x1x2 ) 21k 2 | x1x2 | ，然后我们可通过求出方程的根或用韦达定理求出。例 1求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（4， 0），（ 4， 0），椭圆上一点p 到两焦点的距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是（0， 2），（ 0， 2），并且椭圆经过点（3 ， 5 ）；22（3）焦点在坐标轴上，且经过点a（3 ， 2）和 b（ 2 3 ， 1）;.分析： 根据题意，先判断椭圆的焦点位置，后设椭圆的标准方程，

19、求出椭圆中的a、 b即可。若判断不出焦点在哪个轴上，可采用标准方程的统一形式。解析：（ 1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为x 2y 21（ a b0）a 2b22a 10，2c 8， a 5，c 4b2 a2 c2 5242 9所以所求的椭圆的标准方程为yx2 1259（2）因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为yx20）1（ a2b2a b由椭圆的定义知，2a ( 3 )( 52) 2( 3) 2( 52)23 101 10 2 10222222又c 2， b2 a2 c2 10 4 6所以所求的椭圆的标准方程为y 2x2 1106（3）解法一： 若焦点在 x轴上，设所求

20、椭圆方程为yx2 1（ ab 0）a2b2由 （， 2）和 （ 2， 1）两点在椭圆上可得：a3b3(3) 2( 2)21a 215a 2b2解之得(2 3)2121b 25a2b2若焦点在y轴上，设所求椭圆方程为yx2 1（ 0），同上可解得a 25 ，不合题意，舍去。a 2b2abb215故所求的椭圆方程为x 2y 2 155解法二： 设所求椭圆方程为mx2 ny21（ m 0， n 0 且 m n）。由a（3 ， 2）和 b（ 23 ， 1）两点在椭圆上可得m (3) 2n ( 2)21m (2 3)2n 1213m4n1m115即，解得12mn11n5;.故所求的椭圆方程为 x2y2

21、1155a、 b。点评：（ 1）求椭圆的标准方程时，首先应明确椭圆的焦点位置，再用待定系数法求（2）第（ 3）小题中的椭圆是存在且惟一的，为计算简便，可设其方程为22 1（ m 0， n 0），不必mx ny考虑焦点位置，直接可求得方程想一想，为什么？例 2已知 、c是两个定点， | | 6，且的周长等于 16，求顶点a的轨迹方程。bbcabc分析： 在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系为选择适当的坐标系，常常需要画出草图。如图所示，由abc的周长等于16，| bc| 6 可知，点 a到 b、c两点的距离的和是常数，即| ab| | ac| 16 6 10，因此，点a

22、的轨迹是以 b、 c为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图。解析： 如图所示，建立坐标系，使x 轴经过点 b、 ，原点 与 bc的中点重合。由已知 | ab| | ac| | bc| 16，| bc| 6，有 | ab| | ac| 10，即点 a的轨迹是以b、c为焦点的椭圆，且2c 6， 2a 10， c 3， a 5， b2 5232 16。由于点 a在直线 bc上时，即 y 0 时，a、b、c三点不能构成三角形，所以点 a的轨迹方程是x2y2 1（y 0）。2516点评： 椭圆的定义在解题中有着广泛的应用，另外，求出曲线的方程后，要检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题

23、意的点，应在方程后注明，常用限制条件来注明。2222例 3一动圆与已知圆o1：（ x3） y 1 外切，与圆 o2：（ x3） y 81 内切，试求动圆圆心的轨迹方程。;.解析： 两定圆的圆心和半径分别为o（ 3， 0）， r 1； o（ 3， 0），r 91122设动圆圆心为（，），半径为，则由题设条件可得 |1| 1 ， |2| 9rm xyrmormo | mo1| | mo2| 10由椭圆的定义知：m在以 o1、 o2 为焦点的椭圆上，且a 5， c 3。222b a c 25 9 16故动圆圆心的轨迹方程为 x2y2 1。2516点评： 正确地利用两圆内切、外切的条件，合理地消去变量

24、r，运用椭圆定义是解决本题的关键，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。例 4已知 p是椭圆x2y2 1 上的一点， f 、 f 是两个焦点，且 f pf 30，求 pff 的面积。1212122516分析： 如图所示，已知 p 30，要求 pf1f2 的面积，如用1 | f1f2| | yp| ，因为求 p点坐标较繁，所以用 s21| pf1| | pf2| sin30较好，为此必须先求出| pf| | pf2| ，从结构形式可看出用余弦定理可得出夹3021角的两边的乘积。解析： 由方程x2y2 1，得 a5， b 4，25 16 c 3， | f1f2| 2c6 | pf1| | pf2| 2a

25、 10 12 30f pf12122122212cos30在 f pf 中，由余弦定理得| f f | | pf| | pf| 2|pf| | pf|即 62 | pf1| 2 2| pf1| | pf2| | pf2| 2 2| pf1| | pf2| 3 | pf1| | pf2|（21 |2122 3664，3 ） | pf|pf| （ | pf| | pf| ） 36100;.| pf1| | pf| 64 64（ 23 ）223 s f1 pf2 1| pf1| | pf2| sin30 164（ 23） 1 16（ 23 ）222例 5椭圆 ax2 by2 1与直线 x y 1相交

26、于 p、 q两点，若 | pq| 22 ，且 pq的中点 c与椭圆中心连线的斜率为 2 ，求椭圆方程。2分析： 该题是求椭圆方程，即利用题设中的两个独立条件，求出a、 b之值即可;.22解析： 由axby1得（ a b）x2 2bx b 1 0xy1设p（ x1， y1），q（ x2， y2），则x1 x2 2b， x1x2 b 1aba b| pq| 1 12( x1x2 ) 24 x1 x22 ( 2b ) 24 b1a bab 22abab22aba bab a b又pq的中点 c（b，1b），即 c（b，a）abababa baa2koc ab由得1， 2bb2a3b3ab所求椭圆方程

27、为x22y 2 133例 6中心在原点的椭圆c的一个焦点是 f（ 0，50 ），又这个椭圆被直线l ： y 3x 2 截得的弦的中点的横坐标是 1 ，求该椭圆方程。2分析： 本题中涉及到弦的中点及弦所在直线的斜率，故可采用“平方差法”。;.解析： 据题意，此椭圆为焦点在y轴上的标准形式的椭圆，设其方程为y 2x2 0） 1（aba2b2设直线 l 与椭圆 c的交点分别为 a（ x1， y1）， b（ x2， y2），则有：y1 2x1 2 1， y2 2x2 21a 2b 2a 2b 2两式相减得：( y1 y2 )( y1y2 )( x1 x2 )( x1 x2 ) 0a 2b2 y1y2a 2 ( x1x2 )x1x2b2 ( y1y2 )即 3a21232b 2( 1)ab又因为椭圆焦点为f（ 0，50 ） c 50则 a2 b2 50由解得： a2 75，b2 25该椭圆方程为 y2x2 17525例 7设 p是椭圆x2y 21（a b 0）上的一点， f 、f 是椭圆的焦点，且 f pf=90，求证：椭圆的离心a 2b21212率e22.;.证明：