近世代数期末考试试卷及答案

1、;.近世代数试题一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设 g 有 6 个元素的循环群， a 是生成元，则 g 的子集（）是子群。a、 ab 、 a, ec 、 e, a 3d 、 e, a, a32、下面的代数系统（ g， * ）中，（）不是群a、g为整数集合， * 为加法b、g为偶数集合， * 为加法c、g为有理数集合， * 为加法d、g为有理数集合， * 为乘法3、在自然数集 n 上，下列哪种运算是可结合的？（）a、a*b=a-bb、a*b=max

2、a,b c、 a*b=a+2b d、a*b=|a-b|4、设1 、2 、 3 是三个置换，其中1 =（12）（23）（13）， 2 =（24）（14）， 3 =（ 1324），则3 =（）a、2b、12d 、 212c 、215、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）。a、不可能是群b、不一定是群c、一定是群d、 是交换群二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个-同构。2、一个有单位元的无零因子 - 称为整环。3、已知群 g 中的元素 a 的阶等于 50，则 a4的阶等于 -。4

3、、a 的阶若是一个有限整数n，那么 g与-同构。5、a=1.2.3b=2.5.6那么 ab=-。6、若映射既是单射又是满射，则称为-。7 、叫 做 域 f 的 一 个 代 数 元 ， 如 果 存 在 f 的 -a0 , a1 , , an 使 得a0a1ann0。;.;.8、 是代数系统( a,0)的元素，对任何 xa均成立x a x，则称a为-。a9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合g 作成一个群，如果满足 g对于乘法封闭；结合律成立、-。10、一个环 r 对于加法来作成一个循环群，则p 是-。三、解答题（本大题共3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、设集合 a=1,2,3

4、g是 a 上的置换群， h 是 g 的子群， h=i,(1 2)，写出 h的所有陪集。2、设 e 是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是 e 中的运算，（ e，）是一个代数系统，问（e，）是不是群，为什么？3、a=493, b=391,求 (a,b), a,b和 p, q 。四、证明题（本大题共2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、若 是群，则对于任意的a、 b g，必有惟一的 xg使得 a*x b。2、设 m是一个正整数，利用 m定义整数集 z 上的二元关系：a? b 当且仅当 mab。;.;.近世代数模拟试题三一、单项选择题 ( 本大题共 5 小

5、题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、6 阶有限群的任何子群一定不是（）。a、2 阶b、3 阶c、4 阶d、 6阶2、设 g是群， g有（ ）个元素，则不能肯定g是交换群。a、4 个b、 5 个c、6 个d、 7 个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。a、偶数b、奇数c、 4 的倍数d、2 的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）a、（n, ）b、（ z, ）c、（2,3,4,6,12,|（整除关系）d、 (p(a),)5、设 s3(1) ，(12)，(13) ，(23) ，(

6、123) ，(132)，那么，在 s3 中可以与 (123)交换的所有元素有（）a、(1) ， (123) ，(132)b、 12) ，(13) ，(23)c、(1) ， (123)d、 s3中的所有元素二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是 -的，每个元素的逆元素是-的。2、如果 f 是 a 与 a 间的一一映射， a 是 a 的一个元，则 f1 f a -。3、区间 1 ， 2 上的运算 abmina, b 的单位元是 -。4、可换群 g中|a|=6,|x|=8,则|ax|= 。5、环 z8 的

7、零因子有 -。6、一个子群 h 的右、左陪集的个数 -。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/ 它自己的 -。8、无零因子环 r 中所有非零元的共同的加法阶数称为r 的 -。9、设群 g 中元素 a 的阶为 m ，如果 a ne，那么 m 与 n 存在整除关系为 -。;.;.三、解答题（本大题共3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、用 2 种颜色的珠子做成有5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、s1， s2 是 a 的子环，则 s1 s2 也是子环。 s1+s2 也是子环吗？3、设有置换(1345)(1245) ，( 234)(456) s6 。11求和；12确定置换和的奇偶性

8、。四、证明题（本大题共2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、一个除环 r 只有两个理想就是零理想和单位理想。2、m为含幺半群，证明b=a-1 的充分必要条件是aba=a 和 ab2 a=e。;.;.近世代数模拟试题一参考答案一、单项选择题。1、c；2、d；3、b；4、c；5、d；二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 。1、 1, 1 , 1,0 , 1,1 2, 1 , 2,0 , 2,1 ；2、单位元； 3、交换环； 4、整数环； 5、变换群； 6、同构 ;7 、零、 -a ；8、s=i 或 s=r ；9、域；三、解答题（本大

9、题共3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：(1653)( 247)(8)(123)( 48)(57 )(6)可知为奇置换， 为偶置换。和 可以写成如下对换的乘积：(13)(15)(16)( 24)(27)(13)(12)( 48)(57)b1 ( a a ) c1 ( a a )2、解：设 a 是任意方阵，令2，2，则 b 是对称矩阵，而 c 是反对称矩阵，且 abc 。若令有 a b1c1 ，这里 b1 和 c1分别为对称矩阵和反对称矩阵，则 bb1c1c ，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即： bb1 ， cc1 ，所以，

10、表示法唯一。3、答：（ m m ， m ）不是群，因为 m m 中有两个不同的单位元素 0 和 m。四、证明题（本大题共2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、对于 g 中任意元 x，y，由于 (xy )2e ，所以 xy( xy) 1y 1 x 1yx （对每个 x，从 x2e 可得 xx 1 ）。2、证明在 f 里ab 1b 1 aa (a, br, b0)bq所有 a (a, br,b 0)有意义，作 f 的子集bq 显然是 r 的一个商域证毕。;.;.近世代数模拟试题二参考答案一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 。1

11、、c；2、d；3、b；4、b；5、a；二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 。1、变换群； 2、交换环； 3、25；4、模 n 乘余类加群； 5、2 ；6、一一映射； 7、不都等于零的元； 8、右单位元； 9、消去律成立； 10、交换环；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解： h的 3 个右陪集为： i,(1 2) ，(12 3 ) ，(1 3) ，(13 2 ) ， (2 3 )h的 3 个左陪集为： i,(1 2)， (1 2 3 )，(2 3) ，(1 3 2 )，(1 3 )2、答：（ e，）不是群，因为（ e，）中无单位

12、元。3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102b=3 102+85102=185+17由此得到 (a,b)=17, a,b=a b/17=11339。然后回代： 17=102-85=102-(b-3 102)=4102-b=4(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题（本大题共2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明设 e 是群 的幺元。令 x a 1*b ，则 a*x a*(a 1*b) (a*a 1)*b e*b b。所以， xa1*b 是 a*x b 的解。若 x g也是 a*x b 的解，则 x e*x (a 1*

13、a)*xa1*(a*x) a1*b x。所以， xa1*b 是 a*x b 的惟一解。2、容易证明这样的关系是z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合z 记为 zm，每个整数 a 所在的等价类记为 a= x z； mxa或者也可记为 a，称之为模 m剩余类。若 m a b 也记为 ab(m)。当 m=2时， z2 仅含 2 个元： 0 与 1 。;.;.近世代数模拟试题三参考答案一、 ( 本大 共 5 小 ，每小 3 分，共 15 分) 在每小 列出的四个 中只有一个是符合 目要求的， 将其代 填写在 后的括号内。 、多 或未 均无分。1、c；2、c；3、d；4、d；5、a；二、填空 (

14、本大 共 10 小 ，每空 3 分，共 30 分) 在每小 的空格中填上正确答案。 填、不填均无分。1、唯一、唯一； 2、 a ；3、2；4、24；5、；6、相等； 7、商群； 8、特征；9、 m n ；三、解答 （本大 共3小 ，每小 10 分，共 30 分）1、解 在学群 前我 没有一般的方法，只能用枚 法。用笔在 上画一下，用黑白两种珠子，分 行 算：例如，全白只1 种，四白一黑 1 种，三白二黑 2种，等等，可得 共8种。2、 由上 子 的充分必要条件，要 任意a,b s1s2 有 a-b, ab s1 s2：因 s1，s2 是 a 的子 ，故 a-b, ab s1 和 a-b, ab s2 ，因而 a-b, ab s1 s2 ，所以 s1 s2是子 。s1+s2不一定是子 。在矩 中很容易找到反例：3、解： 1 (1243)(56) ，1(16524) ；2两