高三数学教案：总体分布的估计2

1、总体分布估计教学目的：1 了解当总体中的个体取不同数值很少时， 可用频率分布表或频率分布条形图估计总体分布，并会用这两种方式估计总体分布；了解当总体中的个体取不同数值较多， 甚至无限时，可用频率分布表或频率分布直方图估计总体分布，并会用这两种方式估计总体分布教学重点： 用样本的频率分布估计总体分布教学难点： 频率分布表和频率分布直方图的绘制内容分析 ：统计学中有两个核心问题， 一是如何从整体中抽取样本？二是如何用样本估计总体？经过前面的学习， 我们已经了解了一些常用的抽样方法 本节课，我们在初中学过样本的频率分布的基础上，研究总体的分布及其估计教学过程 ：一、复习引入：1. 简单随机抽样： 设

2、一个总体的个体数为 n如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本， 且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等， 就称这样的抽样为简单随机抽样 用简单随机抽样从含有 n个个体的总体中抽取一个容量为 n 的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为1 ；在整个抽样过程中n各个个体被抽到的概率为n ； 简单随机抽样的特点是，逐个抽取，且各个个n体被抽到的概率相等； 简单随机抽样方法，体现了抽样的客观性与公平性，是其他更复杂抽样方法的基础 （4）. 简单随机抽样的特点： 它是不放回抽样；它是逐个地进行抽取；它是一种等概率抽样2. 抽签法： 先将总体中的所有个体（共有 n 个）编号（号码可从 1 到 n）

3、，并把号码写在形状、大小相同的号签上（号签可用小球、卡片、纸条等制作），然后将这些号签放在同一个箱子里， 进行均匀搅拌，抽签时每次从中抽一个号签，连续抽取 n 次，就得到一个容量为 n 的样本适用范围：总体的个体数不多时优点：抽签法简便易行，当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法3. 随机数表法 ： 随机数表抽样“三步曲” ：第一步，将总体中的个体编号；第二步，选定开始的数字；第三步，获取样本号码4.系统抽样 : 当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按预先定出的规则， 从每一部分抽取一个个体， 得到需要的样本， 这种抽样叫做系统抽样 系统抽样的步骤： 采用随机的方式将总体中的

4、个体编号 为简便起见，有时可直接采用个体所带有的号码， 如考生的准考证号、 街道上各户的门牌号，等等 为将整个的编号分段 （即分成几个部分），要确定分段的间隔 k 当 n n（ n为总体中的个体的个数， n 为样本容量）是整数时，k= n ; 当 n 不是整数时，nn第 1页共 6页通 从 体中剔除一些个体使剩下的 体中个体的个数 n 能被 n 整除， k= n . 在第一段用 随机抽 确定起始的个体 号 l 按照事先确定的 n抽取 本（通常是将 l 加上 隔 k，得到第 2 个 号 l +k, 第 3 个 号 l +2k， 下去，直到 取整个 本）系 抽 适用于 体中的个体数 多的情况，它与

5、 随机抽 的 系在于：将 体均分后的每一部分 行抽 ，采用的是 随机抽 ；与 随机抽 一 ，系 抽 是等概率抽 ，它是客 的、公平的 体中的个体数恰好能被 本容量整除 ，可用它 的比 作 系 抽 的 隔；当 体中的个体数不能被 本容量整除 ， 可用 随机抽 先从 体中剔除少量个体，使剩下的个体数能被 本容量整除在 行系 抽 5.分 抽 : 当已知 体由差异明 的几部分 成 ， 了使 本更充分地反映 体的情况，常将 体分成几部分，然后按照各部分所占的比例 行抽 ， 种抽 叫做分 抽 ，所分成的部分叫做 6. 不放回抽 和放回抽 : 在抽 中， 如果每次抽出个体后不再将它放回 体，称 的抽 不放回

6、抽 ；如果每次抽出个体后再将它放回 体，称 的抽 放回抽 随机抽 、系 抽 、分 抽 都是不放回抽 7. 分布列 :x1x2xipp1p2pi分布列的两个性 ： pi 0，i 1，2，； p1+p2+=1 二、 解新 ： 率分布表或 率分布条形 史上有人通 作抛 硬 的大量重复 ，得到了如下 果： 果 数 率正面向上 (0)361240.5011反面向上 (1)359640.4989抛 硬 的 果的全体构成一个 体， 上表就是从 体中抽取容量 72088 的相当大的 本的 率分布表尽管 里的 本容量很大，但由于不同取 有2 个（用0 和 1 表示），所以其 率分布可以用上表和右面的条形 表示其

7、中条形 是用高来表示取各 的 率 明： 率分布表在数量表示上比 确切，而 率分布条形 比 直 ，两者相互 充，使我 数据的 率分布情况了解得更加清楚各 条的 度要相同； 相 条之 的要适当 果当 次数无限增大 ，两种 正面向上 ( 记为 率 就成 相 的概率，得到右表，抽 造成的 差，精确地反映了 体取 的反面向上 ( 记为间 隔概率0)05果的除 了1)05概 率第 2页共 6页分布规律这种整体取值的概率分布规律通常称为总体分布 .说明：频率分布与总体分布的关系：通过样本的频数分布、频率分布可以估计总体的概率分布.研究总体概率分布往往可以研究其样本的频数分布、频率分布.2.总体分布： 总体取

8、值的概率分布规律在实践中，往往是从总体中抽取一个样本，用样本的频率分布去估计总体分布 一般地，样本容量越大，这种估计就越精确3. 总体密度曲线 : 样本容量越大， 所分组数越多， 各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率 设想样本容量无限增大， 分组的组距无限缩小， 那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线 , 这条曲线叫做 总体密度曲线 频率 /组距总体密度曲线单位oab它反映了总体在各个范围内取值的概率根据这条曲线，可求出总体在区间 (a，b内取值的概率等于总体密度曲线，直线x a，x b 及 x 轴所围图形的面)=积三、讲解范例：例 1为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了

9、地区内 100 名年龄为 17.5 岁18 岁的男生的体重情况 , 结果如下 ( 单位 :kg)56.569.56561.564.566.56464.57658.57273.556677057.565.56871756268.562.56659.563.564.567.57368557266.574636055.57064.5586470.55762.5656971.573625876716663.55659.563.5657074.568.56455.572.566.5687657.56071.55769.57464.55961.5676863.5585965.562.569.57264.5

10、75.568.5646265.558.567.570.5656666.5706359.5试根据上述数据画出样本的频率分布直方图, 并对相应的总体分布作出估计解 : 按照下列步骤获得样本的频率分布 .(1) 求最大值与最小值的差 . 在上述数据中， 最大值是 76，最小值是 55，它们的差 ( 又称为极差 ) 是 7655=21)所得的差告诉我们，这组数据的变动范围有多大 .(2) 确定组距与组数 . 如果将组距定为 2，那么由 212=10.5 ，组数为 11，这个组数适合的 . 于是组距为 2，组数为 11.第 3页共 6页（3）决定分点 . 根据本例中数据的特点，第 1 小 的起点可取 5

11、4.5 ，第 1 小 的 点可取 56.5 ， 了避免一个数据既是起点，又是 点从而造成重复 算，我 定分 的区 是“ 左 右开 ”的 . ，所得到的分 是 54.5 ，56.5 ），56.5 ，58.5 ），74.5 ，76.5 ） .（ 4）列 率分布表 , 如表 率分布表分 数累 数 率54.5 ，56.5 ）20.0256.5 ，58.5 ）60.0658.5 ，60.5 ）100.1060.5 ，62.5 ）100.1062.5 ，64.5 ）140.1464.5 ，66.5 ）160.1666.5 ，68.5 ）130.1368.5 ，70.5 ）110.1170.5 ，72.5

12、）80.0872.5 ，74.5 ）70.0774.5 ，76.5 ）30.03合 1001.00（ 5） 制 率分布直方 . 率分布直方 如 所示频率 / 组距54.556.558.560.562.564.566.568.570.572.574.576.5体重由于 中各小 方形的面 等于相 各 的 率， 个 形的面 的形式反映了数据落在各个小 的 率的大小. 在反映 本的 率分布方面， 率分步表比 确切， 率分布直方 比 直 ，它 起着相互 充的作用.在得到了 本的 率后， 就可以 相 的 体情况作出估 . 例如可以估 ，体重在（ 64.5 ， 66.5 ）kg 的学生最多， 占学生 数的1

13、6%；体重小于 58.5kg的学生 少， 占 8%；等等例 2 某 子元件 行寿命追踪 ，情况如下：寿命（）100200 300 400500200300400500600个数2030804030出 率分布表；（）画出 率分布直方 和累 率分布 ；（）估 子元件寿命在100 400以内的概率；第 4页共 6页（）估计电子元件寿命在400以上的概率；（）估计总体的数学期望值频率解：（）寿命频数频率累计频率组距100 200200.10.10200 300300.150.25300 400800.400.65400 500400.200.85500 600300.151合计2001100 200

14、300 400 500 600寿命频率分布直方图（）频率分布直方图如右和累计频率分布图如下累 计频率10.800.600.400.200.100100 200 300 400 500 600寿命（）频率分布图可以看出，寿命在 100 400的电子元件出现的频率为 0.65 ，所以我们估计电子元件寿命在 100 400的概率为 0.65（）由频率分布表可知，寿命在400以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15 0.35 ，故我们估计电子元件寿命在400以上的概率为0.35（）样本的期望值为1002002003003004004005000.100.150.4020.20222所以，我5006

15、000.151537.51409082.53652们估计总体生产的电子元件寿命的期望值（总体均值）为 365四、课堂练习 ：1 . 为检测某种产品的质量，抽取了一个容量为 30 的样本，检测结果为一级品 5 件，二级品 8 件，三级品 13 件，次品 14 件列出样本频率分布表；画出表示样本频率分布的条形图；根据上述结果，估计此种商品为二级品或三级品的概率约是多少？第 5页共 6页解：样本的频率分布表为产品频数频率一级品50.17二级品80.27三级品130.43次品40.13样本频率分布的条形图如右：此种产品为二极品或三极品的概率为0.27+0.43=0.72. 如下表：分 组频数频率分 组

16、频数频率10.75，10.85)311.25， 11.35)2010.85，10.95)911.35，11.45)710.95，11.05)1311.45，11.55)411.05，11.15)1611.55，11.65)211.15，11.25)26合 计100完成上面的频率分布表根据上表，画出频率分布直方图根据上表，估计数据落在10.95 ，11.35) 范围内的概率约为多少 ?答案： 略数据落在 10.95 ，11.35) 范围的频率为 0.13+0.16+0.26+0.20=0.75 落在 10.95 ，11.35) 内的概率约为 075五、小结：用样本的频率分布估计总体分布，可以分成两种情况讨论：当总体中的