高三数学教案：最值问题

1、第十五专题最值问题考情动态分析：最值问题涉及到函数、不等式、三角、解析几何、立体几何等内容，求最值的方法较多，但要求学生熟练掌握以下方法：均值定理、利用单调性（对单调性的判断除应用单调性的定义外，还要熟练地应用导数判断） 、配方法、换元法、图象法等求最值 . 在近几年的高考中，求最值已成为热点，特别是导数知识的介入，因此在复习中，必须对求最值问题的常用方法和一般技能进行系统整理、深化训练.第一课时求最值的常见方法一、考点核心整合求最值常用的方法：均值不等式法、单调性法、判别式法、换元转化法、配方法、数形结合法 . 特别要注意利用导数判断单调性再求最值的方法.二、典例精讲：例 1当0 x时，函数

2、 f ( x)1cos 2x8 sin 2x）2sin 2x的最小值为（a 、 2b 、 2 3c、 4d、 4 3例 2求函数 y3x的最大值和最小值 .2x4例 3设函数 f ( x)2x33( a 1)x 26ax8 ，其中 ar.（）若 f (x) 在 x3处取得极值，求常数a 的值；（）若 f (x) 在 (,0) 上为增函数，求 a 的取值范围 .二、提高训练：（一）选择题：| pa | | pb | 3| pa |1已知定点a、b| ab | 4，动点p 满足，则的最小值是 （ ），且a 、13c、7d、 52b 、222xyx、y2242实数xy的最小值是（）满足，则xy2a

3、、 2 2 2b 、 2 2 2c、 24d、xy 3033设 zxy ，式中变量 x 和 y 满足条件x2 y，则 z 的最小值为（）0a 、 1a xb 、 1c、 3d、 34函数 f (x)log a ( x1) 在0,1上的最大值与最小值之和为a ，则 a 的值为（ ）a 、 1b 、 1c、 2d、 4425 在oab 中， o 为坐标原点，a(1, cos)、b(sin,1),(0, ，则当oab 的2面积达到最大时，等于（）第 1页共4页a 、b 、4c、d、632（二）填空题：6p 是抛物线 yx2 上任意一点， 则当点 p 和直线 x y 20 上的点的距离最小时，p 与该

4、抛物线准线的距离是_.、yxy20，则 y 的最大值是 _.7 设实数x2 y40x满足x2 y30（三）解答题：8 如图，在直径为1 的圆 o 中，作一关于圆心对称、x y邻边互相垂直的十字形，其中yx 0 .（）将十字形的面积表示为的函数；o（）为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？9 过点p( 2,1)作直线l，分别交 x 轴和y轴的正半轴于两点 .a、b（）当 | pa | | pb |取最小值时，求l 的方程；（）当 |oa | | ob |的面积取最小值时，求 l 的方程；（）当 aob 的面积取最小值时，求l 的方程 .10 已知函数f ( x)log 3 (ax b) 的

5、图象过点 a(2,1) 和 b(5,2) .（）求函数f (x) 的解析式；（）记 an3 f ( n ) , nn ，是否存在正整数 k ，使得 (11)(11)(1a1a2xy11 ) (1a3an )k2n1 对一切 nn 均成立？若存在，求出k 的最大值；若不存在，请说明理由.第二课时最值问题的综合应用一、考点核心整合在解题中，关键要熟悉求函数最值的几种基本方法，一般方法是什么，特殊方法是什么，在多种方法中选出最优方法，根据具体问题注意挖掘隐含条件，求最值没有通用方法和固定式，要靠自己积累经验 .二、典例精讲：例 1 已知 x、yr,2 y 2x21，则 x 24 y24xy 的最小值

6、为 _.例 2 某人在一山坡p 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高bc80（米），塔所在的山高 ob220 （米）， oa200 （米），图中所示的山坡可视为直线l 且点 p在直线 l上， l 与水平地面的夹角为， tan1. 试问，此人距水平地面多高时，观看bpc 最大？（不计此人的身高）c2塔的视角第 2页 b共4页l （山坡）p例 3已知函数 y sin1,(0, ) ，求 y 的最小值 .sin例 4已知函数 f ( x) 2ax1， x(0,1 .x 2（）若f (x) 在x(0,1（）求f (x) 在区间 (0,1上是增函数，求 a 的取值范围；上的最大值 .三、提高训练：

7、（一）选择题：1 已知 a0 ，函数 f ( x)x 3ax 在 1,) 上是单调减函数， 则 a 的最大值为 （）a 、 1b、 2c、 3d、 42 点 p( x, y) 在曲线 (x 2) 22 y 21上移动，则2 x 2 y 2 的最大值是（）a 、3 2b、3、5d、223222c 2223 下列命题中正确的是（）a 、函数 yx1 的最小值为 2b、函数 y23x4 ( x 0)的最小值为 2 43xxx 2c 、函数 y23x4 ( x0) 的最大值为 24 3 d 、函数 y3 的最小值为 2xx 224 如图，南北方向的公路l , a 地在公路的正东2 km 处， b 地在

8、 a 地东偏北 30方向p2 3km 处，河流沿岸pq （曲线）上任一点到公路l 和到la 地距离相等 . 现要在曲线pq 上选一处 m 建一码头，向mba、b两地转运货物，经测算从m 到 a 与从 m 到 b 修建a公路的费用均为a 万元 / 千米，那么修建这两条公路的总费用最低是（）qa 、 (23)a 万元 b、 2( 31) a 万元c、 5a 万元d、 6a 万元5 已知 a 2b 21, b2c22, c 2a 22 ，则 abbcac 的最小值为（）a 、 31b、 13c、13d、 132222（二）填空题：6 已知在abc 中，acb90， bc3, ac4, p 是 ab

9、上的点，则点p 到ac、bc 的距离之积的最大值是_.7 设 p 是曲线 y 24( x1) 上的动点， 则 p 到点 (0,1) 的距离与点p到 y 轴的距离之和第 3页共4页的最小值为 _.（三）解答题：8 在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线 yx2 上异于坐标原点o 的两个不同动点a、b满足 aobo （如图所示） .y（）求aob 的重心 g 的轨迹方程；（）aob 的面积是否存在最小值？若存在，ab请求出最小值；若不存在，请说明理由.x31 ax 2ox9 设函数 f (x)3x 5(a0) .2（）求 f (x) 的单调区间；（）若 a 2，且当 x 1,2 时， f ( x)| m 1 |恒成立 . 求实数 m 的取值范围 .10 已知焦点在x 轴上的双曲线c 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点a(0,