高三数学教案：向量及向量的基本运算

1、向量及向量的基本运算【知 点精 】1）向量的有关概念向量：既有大小又有方向的量。向量一般用a,b , c 来表示，或用有向 段的起点与 点的大写字母表示，如： ab 。向量的大小即向量的模（ 度）， 作 | ab |。零向量： 度 0 的向量， 0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行。 位向量：模 1 个 位 度的向量。平行向量（共 向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一 平行向量都可以移到同一直 上。相等向量： 度相等且方向相同的向量。相等向量 平移后 可以重合， a b 。2）向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。 ab a, bcb ， a + b = abbc = ac 。向量

2、加法有“三角形法 ”与“平行四 形法 ” 。 明：（ 1） 0aa 0 a ；（ 2）向量加法 足交 律与 合律；3)向量的减法 相反向量： 与 a 度相等、 方向相反的向量， 叫做 a 的相反向量。 作a ,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有：（ i） ( a) = a ；(ii) a +(a )=(a )+ a = 0 ；(iii) 若 a 、 b 是互 相反向量， a =b , b = a , a + b = 0 。向量减法：向量a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差， 作： aba ( b) 。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。a b 的作 法： a b 可以表示 从

3、 b 的 点指向 a 的 点的向量（a 、 b 有共同起点） 。注：（1）用平行四 形法 ，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条 角 ，而差向量是另一条 角 ，方向是从减向量指向被减向量。（ 2） 三角形法 的特点是“首尾相接” ，由第一个向量的起点指向最后一个向量的 点的有向 段就表示 些向量的和；差向量是从减向量的 点指向被减向量的 点。4) 数与向量的 数 与向量 a 的 是一个向量， 作 a ，它的 度与方向 定如下：（）aa ；（）当0 ， a 的方向与 a 的方向相同；当0 ， a 的方向与 a 的方向相反； 当0 ， a0 ，方向是任意的。数乘向量 足

4、交 律、 合律与分配律。5)两个向量共 定理向量 b 与非零向量 a 共 有且只有一个 数，使得 b = a 。6)平面向量的基本定理第 1 页共 3 页如果 e1 ,e2 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1 , 2 使：a1e12 e2 其中不共线的向量e1 ,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。7)特别注意 :（ 1）向量的加法与减法是互逆运算。（ 2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件。（ 3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。（ 4）向量的坐标与表示该向量

5、的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。【例题选讲】例 1、判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向(2) 若 ab , 则a b(3)单位向量都相等(4)向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同(6) 若 ab ， bc ，则 ac ；(7)若 a / b ， b / c ，则 a / c(8)若四边形 abcd 是平行四边形 ,则 ab cd, bcda(9)已知 a （ 3， 7）， b （ 5， 2），将 ab 按向量 a =（ 1， 2）平移后得到的向量a b 的坐标为（ 3， 3）(10） ab 的充要条件是 | a | | b | 且 a / b

6、 ；解： (1) 不正确，零向量方向任意 , (2)不正确，说明模相等,还有方向(3) 不正确，单位向量的模为1,方向很多(4)不正确，有向线段是向量的一种表示形式(5) 正确，（ 6）正确，向量相等有传递性（ 7）不 正 确 ， 因 若 b0 ， 则 不 共 线 的 向 量 a, c 也 有 a / 0， 0 / c 。 (8)不 正 确 , 如 图ab cd, bcdaxx1（ 9）不正确， a =（ 1，2），平移公式是y，将 a （ 3， 7）， b （ 5， 2）y2分别代入可求得a (4,9), b (6,4) ，故 a b =（ 6,4）（ 4,9） =（ 2, 5）。（ 10）

7、不正确，当 a / b ，且方向相反时，即使| a | | b | ，也不能得到 ab ；点评 正确理解向量的有关概念例 2: 已知 g 是 abc 的重心，求证： gagb gc0证明：以向量 gb, gc 为邻边作平行四边形gbec ，则gbgcge2gd ，又由 g 为 abc 的重心知ag2gd ，从而 ga2gd ， gagbgc2gd2gd0。说明：此题也可以用向量的坐标运算进行证明。练习：如图平行四边形abcd 的对角线od,ab 相交于点c，线段 bc 上有一点m 满足 bc=3bm, 线段 cd 上有一点 n 满足 cd 3cn, 设 oaa,obb,试用 a, b表示 om

8、 , on , mn第 2 页共 3 页解：bm1 bc1 ba,bm1 ba1 oaob1 ab36666omobbm1 a5 b .cn1 cd ,on4 cd2 od66333on2 od2oa ob2 abmnonom1 a1 b33326点评 根据向量的几何加减法则,能对图形中的向量进行互相表示例 3（同课本）：设 oa、ob 不共线，点p 在 ab 上，求证：opoaob且1, 、r 。解题过程请参考课本。变一：设 oa、ob 不共线， opoa ob且1, 、r ，求证： a 、 b 、p 三点共线。说明：当1时， op 1(oaob) ，此时 p 为 ab 的中点，这是向量的中点公式。22练习：设 e1 ,e2 是不共线的向量 ,已知向量 ab2e1k e2 , cbe1 3e2 ,cd 2e1 e2 ,若 a,b,d 三点共线 ,求 k的值分析 :使 abbd解： bd cdcbe14e2 , 使 abbd2e1 ke2(e1 4e2 )得2, k4k8点评 共线或平行问题 ,用向量或坐标平行的充要条件解决例 4（同课本）：若 a, b 是两个不共线的非零向量（t r) 。（ 1）若 a, b起点相同， t 为何值时， a, tb, 1 (ab) 三向量的终点在一直线上？3（ 2）若 ab 且