高三数学教案：圆的方程4

1、5圆的方程一、内容归纳1. 知识精讲 .圆的方程(1) 标准式： (x-a)2+(y-b) 2=r2 (r0) ，其中 r 为圆的半径， (a， b)为圆心。(2) 一般式： x2+y 2+dx+ey+f=0(d2+e2-4f0) ，其中圆心为(- d ， - e ) ，半径为1 ，222d 2e 24f(3) 直径式： (x-x 1 )(x-x 2)+(y-y 1 )(y-y 2)=0 ，其中点 (x1，y1)，(x 2，y2 )是圆的一条直径的两个端点。（用向量法证之）（ 4）半圆方程：yr2x a2b yc bx x2d 等,(5) 圆系方程：i) 过 圆c ： x2+y 2+dx+ey

2、+f=0和 直 线 l ： ax+by+c=0的 交 点 的 圆 的 方 程 为x2+y2+dx+ey+f+ (ax+by+c)=0ii) 过两圆12+y2111222222的交点的圆的方程为c： x+dx+ey+f =0， c： x +y+dx+ey+f =022+d22+dx+e y+f)=0( -1)该方程不包括圆c ；x+yx+e y+f + (x+y1112222（ 1 时为一条直线方程， 相交两圆时为公共弦方程； 两等圆时则为两圆的对称轴方程）(6) 圆的参数方程圆心在 (0,0), 半径为 r 的圆的参数方程为圆心在 (a,b),半径为 r 的圆的参数方程为xr cos为参数y

3、r sinx a r cos为参数ybr sin圆的一般方程与二元二次方程ax 2+bxy+cy2+dx+ey+f=0 的关系；二元二次方程表示圆的充要条件a=c 0， b=0 ， d2+e2-4af0 。二、问题讨论例 1、根据下列条件，求圆的方程。(1)和圆 x2+y 2=4 相外切于点 p(-1， 3 )，且半径为 4；(2)经过坐标原点和点 p(1， 1)，并且圆心在直线2x+3y+1=0 上；(3)已知一圆过 p(4，-2) 、q(-1 ， 3)两点，且在y 轴上截得的线段长为 43 ，求圆的方程。解： (1)设圆心 q 的坐标为 (a， b) o 与 q 相外切于 p o、 p、q

4、 共线，且 = oq =-6=-3由定比分点公式求得a=-3， b=3 3qp42所求圆的方程为(x+3) 2 +(y-33 )2=16第 1页共 5页(2)显然，所求圆的圆心在op 的垂直平分线上，op 的垂直平分线方程为：x2y 2 =(x1)2( y1) 2即 x+y-1=0解方程组x+y-1=02x+3y+1=0得圆心 c 的坐标为 (4， -3)。又圆的半径r=|oc|=5所求圆的方程为 (x-4) 2+(y+3) 2=25(3)设圆的方程为x2+y 2+dx+ey+f=0将 p、 q 点的坐标分别代入，得：4d-2e+f=-20d-3e-f=10令 x=0 ，由得 y2+ey+f=

5、0由已知 |y1-y2|=43，其中 y1、 y2 是方程的两根。 (y1-y2) 2=(y 1+y 2)2 -4y1y2=e 2-4f=48、组成的方程组，得d=-2d= -10e=0或e= -8f= -12f=4故所求圆的方程为x2+y 2-2x-12=0 或 x2+y2-10x-8y+4=0思维点拔 无论是圆的标准方程或是圆的一般方程，都有三个待定系数，因此求圆的方程，应有三个条件来求。一般地， 已知圆心或半径的条件，选用标准式， 否则选用一般式。例 2、 (优化设计p112 例 1)设 a(c,0), b(c,0)(c 0)为两定点，动点p 到 a 点的距离与到 b 点的距离的比为定值

6、a( a0)，求 p 点的轨迹。解：设动点 p 的坐标为（ x， y） .由 | pa |，得(xc) 2y2a.| pb |a( a 0)(x22c)y化简得(1a2)x22 (1a2)xc2(1a2) (1a2)y20.c当 a 1时,得x22c(1a2 )c2y20 ，整理得 (x1a222(2 ac2.1a2x2c)y2)a1a1当 a=1 时，化简得 x=0.时， p 点的轨迹是以 ( a21 c,0) 为圆心， | 22 ac所以当 a 12| 为半径的圆；a1a1当 a=1 时， p 点的轨迹为 y 轴。【评述】上述解法是直接由题中条件，建立方程关系,，然后化简方程，这种求曲线方

7、程的方法称为直接法。例 3、 (优化设计p112 例 2)一圆与 y 轴相切，圆心在直线x3y0上，且直线y x 截圆所得的弦长为2 7 ，求此圆的方程。解 ： 因 圆 与y轴 相 切 ， 且 圆 心 在 直 线x3 y0 上 ， 故 设 圆 方 程 为( x3b) 2( yb) 29b2 ，由于直线yx 截圆所得的弦长为27 ，则有第 2页共 5页(3bb ) 2( 7) 29b 2 解得 b1 ，故所求圆方程为2(x 3) 2( y 1) 29 或 ( x 3) 2( y 1) 29【评述】求圆的弦长方法（ 1）几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边（ 2）代数法：用弦长公式(1

8、k 2 ) x1x2 ) 24x1 x2 例 4、已知 o 的半径为3，直线 l 与 o 相切，一动圆与 l相切，并与 o 相交的公共弦恰为 o 的直径，求动圆圆心的轨迹方程。y解：取过 o 点且与 l 平行的直线为x 轴，过 o 点且垂直于l 的直线为 y 轴，建立直角坐标系。o 与 m 的公共弦为ab ， m 与 l 切于点 c，则 mamco 的直径，amo 垂直m平分 ab 于 o。ox由勾股定理得22ao2y 29bmamox2cx2y 292y 3即： y 26x这就是动圆圆心的轨迹方程【点评】 建立适当的坐标系能使求轨迹方程的过程较简单、所求方程的形式较 “整齐”王新敞备用题：例

9、 5、设定点 m(-3 ，4)，动点 n 在圆 x2+y 2=4 上运动，以 om 、 on 为两边作平行四边形 monp ，求点 p 的轨迹。解：本题关键是找出动点p 与定点 m 及已知动点n 之间的联系，用平行四边形对角线互相平分这一定理即可。设 p(x，y)，n(x 00)，则线段 opx， y，y的中点坐标为 ()，线22段 mn 的中点坐标为 ( x03 ， y04 )。22因为平行四边形对角线互相平分，故x = x023 ， y = y02422从而x0=x+3y0=y-4n(x+3 ， y-4) 在圆上，故 (x+3) 2+(y-4) 2=4第 3页共 5页因此所求轨迹为圆：(x

10、+3) 2+(y-4) 2=4，但应除去两点： (- 9， 12 ) 和(-21 ， 28 )5555思维点拔 ：求与圆有关的轨迹问题，充分利用圆的方程和圆的几何性质，找出动点与圆上点之间的关系或动点所满足的几何条件。例 6、已知圆的方程是： x2+y2 -2ax+2(a-2)y+2=0 ，其中 a 1，且 a r。(1)求证： a 取不为 1 的实数时，上述圆恒过定点；(2)求与圆相切的直线方程；(3)求圆心的轨迹方程。解：将方程x2+y 2-2ax+2 （ a-2） y+2=0 整理得 x2+y 2-4y+2-a （ 2x-2y） =0令 x2+y 2-4y+2=0x-y=0解之得 x=1

11、y=1定点为 (1， 1)(2)易得已知圆的圆心坐标为（a， 2-a），半径为2 |a-1|。设所求切线方程为y=kx+b ，即 kx-y+b=0则圆心到直线的距离应等于圆的半径，即| ka(a2)b |2 |a-1|恒成立。k 21=整理得 2(1+k) 2 a2-4(1+k 2)a+2(1+k 2)=(k+1) 2 a2+2(b-2)(k+1)a+(b-2) 2 恒成立。比较系数可得2(1+k 2)=(k+1) 2-4(1+k 2)=2(b-2)(k+1)2(1+k 2)=(b-2) 2解之得 k=1， b=0 。所以，所求的切线方程是y=x 。(3)圆心坐标为 (a， a-2)，又设圆心坐标为(x， y)，则有x=ay=2-a消去参数得x+y=2 为所求的圆心的轨迹方程。思维点拔 ：本题是含参数的圆的方程，与圆的参数方程有本质的区别。当参数取某一确定的值时， 方程表示一个确定的圆， 当 a 变动时， 方程表示圆的集合， 即圆系。 解本题 (1) 可用分离系数法求解； (2)可用待定系数法求解； (3)可用配方法求解。一般地， 过两圆 c1：f(x ，y)=0 与 c 2：g(x，y)=0 的交点的圆系方程为： f(x ，y)+ g(x ， y)=0( 为参数 )。三、课堂小结1、求圆的方程：主要用待定系数法，有两种求数，一是利用圆的标准方程