第三章立体的投影

1、第3章 立 体 的 投 影,3.3 平面与立体相交,3.4 两立体相交,3.2 立体的三面投影,第3章 立 体 的 投 影,3.1 三视图的形成及投影规律,Y,X,Z,O,规定 : V面保持不动，H面向下向后绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ轴旋转900。,3.1 三视图的形成及投影规律,什么是视图？用正投影法绘制的物体的投影图称为视图。 一、三视图的形成与展开 将物体放在三投影面体系中，物 体的位置处在人与投影面之间，然后将物体对各个投影面进行 投影，得到三个视图,主视图,俯视图,左视图,(三视图的配置位置）,V,三视图是在物体安放位置不变的情况下,从三个不同的方向投影所得,它们共同表达

2、一个物体.并且每两个视图中就有一个共同的尺寸。,二、三视图的投影规律与位置关系,三视图尺寸对应关系,三视图之间的方位对应关系,主、俯视图 长对正 主、左视图 高平齐 俯、左视图 宽相等,三视图的投影规律,3.2 基本体的三视图,常见的基本几何体,平面基本体,曲面基本体,基本体是由各种面围成的。,3.2 基本体的三视图,1. 棱柱的组成,由两个底面和几个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。,如图,为一正六棱柱，放置在三投影面体系中时，使其顶面、底面均为水平面，它们的水平投影反映实形，正面及侧面投影重影为一直线。,一、平面基本体的三视图,（一） 棱柱,正六棱柱有六个侧棱面，放

3、置时使其前后棱面为正平面，它们的正面投影反映实形，水平投影及侧面投影重影为一条直线。,正六棱柱的其它四个侧棱面均为铅垂面，其水平投影均重影为直线。正面投影和侧面投影均为类似形。, 作图步骤：, 先用点画线画出水平投影的中心线，正面投影和侧面投影的对称线;,根据投影规律，再连接顶面和底面的对应顶点的正面投影和侧面投影，即为棱线,棱面的投影。, 最后检查清理底稿，按规定线型加深。, 画正六棱柱的水平投影（正六边形），根据正六棱柱的高度画出顶面和底面的正面投影和侧面投影。,2. 棱柱的三视图,3. 棱柱表面上取点,(b),C,C,C,（a） 投影特点,（b） 绘图过程,五棱柱的投影图,练习：五棱柱的

4、投影图,1. 棱锥的组成,由一个底面和几个侧棱面组成。侧棱线交于有限远的一点锥顶。,(二) 棱 锥,如图3-3所示为一正三棱锥，锥顶为S，其底面为ABC，呈水平位置，水平投影abc反映实形。,棱面SAB、 SBC是一般位置平面，它们的各个投影均为类似形。,棱面SAC为侧垂面，其侧面投影s”a”c”重影为一直线。,2. 棱锥的三视图,底边AB、BC为水平线，AC为侧垂线，棱线SB为侧平线，SA、SC为一般位置直线，它们的投影可根据不同位置直线的投影特性进行分析。,( ),b, 作图步骤：, 画反映实形的底面的水平投影（等边 ），再画ABC的正面和侧 面投影，它们分别积聚成水平直线段；, 根据锥高

5、再画顶点S的三面投影；, 最后将锥顶S与点A、B、C的同面投影相连，即得到三棱锥的投影图。, 最后检查清理底稿，按规定线型加深。,3. 在棱锥表面上取点,一般采用辅助线法。,判别可见性,作图步骤1如下：,连接sm并延长，与ac交于2，,2,m,2,在投影ac上求出点的水平投影2。,连接s2，即求出直线S的水平投影。,根据在直线上的点的投影规律，求出M点的水平投影m。,再根据知二求三的方法，求出m”。,m”,三棱锥表面上取点,作图步骤2如下：,1,1,m,过m作m1 ac，交sa于1。,求出点的水平投影1。,过1作1m ac，再根据点在直线上的几何条件，求出m 。,再根据知二求三的方法，求出m”

6、。（具体步骤略),正三棱锥表面点的投影1,正三棱锥表面点的投影2,（一）圆柱体的视图画法及表面取点,1. 圆柱体的形成,由圆柱面和上、下底面所围成。,圆柱面是由直线AA1绕与它平行 的轴线OO1旋转而成。,直线AA1称为母线,母线在回转面的任一位置称为素线 。圆柱面上的素线都是平行于轴线的直线。 母线上任一点随母线运动的轨迹圆成为该圆的纬圆。纬圆平面垂直于轴线。,二、曲面立体的投影,转向轮廓线：将回转面向投影面投影时，曲面上可见部分和不可见部分的分界线成为回转面对该投影面的转向轮廓线。不同的投影面有不同的转向轮廓线。,如图所示，圆柱的轴线垂直于H面，其上下底圆为水平面，水平投影反映实形，其正面

7、和侧面投影重影为一直线。而圆柱面则用曲面投影的转向轮廓线表示。,2. 圆柱体的三视图,圆柱投影图的绘制：,（1） 先绘出圆柱的对称线、回转轴线。,（2）绘出圆柱的顶面和底面。,（3）画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线。,正面转向轮廓线,侧面转向轮廓线,圆柱表面取点,已知圆柱表面上的点A，B ，M，N正面投影a、 b、m和n，求它们的其余两投影。,3.圆柱表面上取点,a,a”,a,b,(b”),b,圆锥面是由直线SA绕与它相交的轴线OO1旋转而成。 S称为锥顶，直线SA称为母线。圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。,1. 圆锥体的形成,（二）圆锥体的三视图画法及表面取点,由圆锥面和底面组成

8、。,(N),2、 圆锥的视图,圆锥表面由圆锥面和底圆组成。它是一母线绕与它相交的轴线回转而成。,如图所示，圆锥轴线垂直H面，底面为水平面，它的水平投影反映实形，正面和侧面投影重影为一直线。,对于圆锥面，要分别画出正面和侧面转向轮廓线。,正面转向轮廓线,侧面转向轮廓线,圆锥投影图的绘制：,c(d),（1） 先绘出圆锥的对称线、回转轴线。,（2）在水平投影面上绘出圆锥底圆，正面投影和侧面投影积聚为直线。,(3) 作出锥顶的正面投影和侧面投影并画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线。,3.圆锥表面取点,在圆锥表面上求点，有两种方法：一种是素线法，一种是辅助圆法。,方法一：素线法,过M点及锥顶S作一条素线

9、S,先求出素线S的投影,再求出素线上的M点。,已知圆锥表面的点M的正面投影m,求出M点的其它投影。,过ms作圆锥表面上的素线，延长交底圆为1。,1,1,1”,m,m”,求出素线的水平投影s1及侧面投影s”1”。,求出M点的水平投影和侧面投影。,方法二：辅助圆法,过M点作一平行与底面的水平辅助圆，该圆的正面投影为过m且平行于ab的直线23，它们的水平投影为一直径等于23的圆，m在圆周上，由此求出m及m”。,m,m”,以s为中心，以sm为半径画圆，,已知圆锥面上M点的水平投影m，求出其m和m”。,作出辅助圆的正面投影23。,2,3,2,3,求出m及m”的投影。,m,n,例：已知圆锥表面上点M及N的

10、正面投影m和n，求它们的其余两投影。,在圆锥表面上定点,a,a,(a”),球的表面是球面。球面是一条圆母线绕过圆心且在同一平面上的轴线回转而形成的。,1. 圆球的形成,球的三个投影均为圆，其直径与球直径相等，但三个投影面上的圆是不同的转向轮廓线。,回车继续,2. 球的三视图,（三）圆球的视图画法及表面取点,上下分界圆,前后分界圆,左右分界圆,已知M点的水平投影，求出其它两个投影。,1,2,1,m,m”,过m作平行于V面的正平圆12。,求正平圆的正面投影。,在辅助正平圆上求出m和m”。,R,3.球面上取点（辅助纬圆法）,2,3,3,1,2,2,1,2,3,1,1,圆球的投影,(a),(b),（1

11、）圆环的形成,圆环面是由一个完整的圆绕轴线回转一周而形成，轴线与圆母线在同一平面内，但不与圆母线相交。,（三）圆环的三视图画法及表面取点,（2）圆环的三视图,俯视图是内外环面在H面的转向轮廓线，细点划线圆母线圆心的轨迹圆的投影。主、左视图是内、外环面分界圆的投影和极限位置（环面上最上最下）的素线圆的投影。,k,k,k,（3）圆环表面取点,m,（n）,圆环表面取点,3.3 平面与立体相交（截交线）,概 述,在机器零件上经常见到一些立体与平面相交，或立体被平面截去一部分的情况。,截交：立体被平面所截。,截切体 :截切后的 物体。, 截交线 : 截平面与物体表面的交线。, 截断面 : 因截平面的截切

12、，在物体上形成的平面。,概念与术语, 截平面 : 用以截切物体的平面。,取决于立体的形状及截平面对立面体的截切位置。,1.截交线的性质：,截交线的性质与形状,公有性：截交线是立体表面与截平面的 公有线，也是它们的公有点。,封闭性：截交线是一个由直线 或曲线组成的封闭平面多边形。,2.截交线的形状：,根据其性质，求截交线的方法可归结为求截平面与立体表面一系列共有点的问题，也就是表面取点法。,平面与平面立体相交所产生的截交线是一个平面多边形，多边形的各边是截平面与立体各相关表面的交线，截交线的顶点是平面立体的棱线或底边与截平面的交点。,一、 平面与平面立体相交,因此，求平面立体截交线的问题，可以归

13、结为求被截棱线或底边与截平面的交点问题。,求截交线的方法与步骤：, 截平面与体的相对位置, 截平面与投影面的相对位置,确定截交线 的投影特性,确定截交 线的形状, 空间及投影分析, 画出截交线的投影,1画出完整立体的投影。,2求截交线的各投影。,3整理投影轮廓线，判别可见性。,4检查、加深图线、完成全图。,例1 已知斜截正六棱柱的正面投影和水平投影， 求其侧面投影。,（1）画出完整六棱柱的侧面投影,（2）求截交线的侧面投影,（1）画出完整六棱柱的侧面投影,（2）求截交线的侧面投影,（3）确定各棱线的侧面投影，并判别可见性。,（1）画出完整六棱柱的侧面投影,（2）求截交线的侧面投影,（3）确定各

14、棱线的侧面投影，并判别可见性。,（4）检查、加深图线、完成全图,例2 求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影,3,4,5,6,7,例3 求三棱锥S-ABC被正垂面P截切后的投影。,解： 分析：平面P与三棱锥的三个棱面相交，交线为三角形，三角形的顶点是三棱 锥三条棱线 SA、SB、SC与平面P的交点。,求截交线的步骤如下：,3,2,1,3,1,3,s,（1）画出完整三棱锥的投影。,（2）求截交线上的点。,（3）依次连线，判别可见性。,s,S,求截交线的步骤如下：,（1）画出完整三棱锥的投影。,（2）求截交线上的点。,（3）依次连线，判别可见性。,（4）检查、加深全图，完成全图。,例 3: 求八棱柱

15、被平面P截切后的水平投影。,P,截交线的形状？,1,5,4,3,2,8,7,6,2367,18,45,1,5,4,7,6,3,2,8,例 3: 求八棱柱被平面P截切后的水平投影。,回转体截切的基本形式,二、平面与曲面立体相交,平面截切回转体，截交线一般是由曲线围成、或曲线与直线围成的封闭的平面图形或者封闭的平面多边形。它的形状取决于 回转体的种类 和 与截平面的相对位置。,求平面与回转体的截交线的一般步骤, 空间及投影分析, 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便 确定截交线的形状。, 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已

16、知投影，予见未知投影。, 画出截交线的投影,当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：, 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。, 先找特殊点，补充中间点。,1)截平面平行于圆柱轴线,1、圆柱的截交线,2 )截平面垂直于圆柱轴线,3)截平面与圆柱轴线倾斜,圆柱截交线的形状有如下三种情况:,具体步骤如下：,1,1,5,5,3,7,3,(7),1”,5”,3”,7”,2,2,2”,4,6,8,4,4”,8”,6”,例1 如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个投影。,椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线夹角的变化而改变。,截平面与圆柱轴线成45时。,例2：求截切圆柱的侧面投影,虚实分界

17、点,例2：求截切圆柱的侧面投影,检查加深，完成全图。,例3 在圆柱上铣出一个方形槽，已知它的正面及 水平投影，求它的侧面投影。,求截切实心圆柱后的侧面投影,1,2,3,4,2,4,1,3,3,1,4,2,5,6,5,6,5,6,例4 求空心圆筒开槽的H、W面投影图,（1）先作出完整基本形体的三面投影图。,（2）然后作出槽口三面投影图。,(3) 作出穿孔的三面投影图。,作图步骤如下：,例5求空心圆筒截切的H、W面投影图,例5 求空心圆筒截切的H、W面投影图,例6：求截切实心圆柱后的H、W面投影图,1,7,2,6,3,5,4,4,4,3,5,5,3,2,6,6,2,1,7,7,1,8,9,9,8,

18、9,8,a,b,a,b,a,b,注： 1）当单体被多个截平面截切时，要逐个截平面进行截交线的分析与作图。 2）当只有局部被截切时，可先考虑整体被截切的截交线形状，然后再取局部。,2. 圆锥的截交线及圆锥截交体画法,例7 已知切口圆锥的正面投影,求其余两个投影。,（2）求截交线的投影。,解题步骤：,(1)画出完整圆锥的投影。,（3）整理轮廓线，判别可见性。,（4）检查加深，完成全图。,例8：求圆锥被截切后的水平及侧面投影,12,1,2,1,2,例9 如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的另外两个投影。,此种截交线为一椭圆。由于圆锥前后对称，故椭圆也前后对称。椭圆的长轴为截平面与圆锥前后对称面的

19、交线正平线，椭圆的短轴是垂直与长轴的正垂线。,（1）先作出截交线上的特殊点。,1,2,1,2,1”,2”,34,3,4,56,6,5,（2）再作一般点。,（3）依次光滑连接各点，即得截交线的水平投影和侧面投影。,（4）补全侧面转向轮廓线。,3”,4”,5”,6”,78,7,8,具体步骤如下：,3,1,5,3,3,1,5,1,5,2,4,2,4,4,2,例10：求圆锥被截切后的侧面投影（双曲线）,3. 球的截交线及球截交体的画法,平面截切球时，不论截平面的位置如何，截交线的形状均为圆，截交线投影的形状不同。,例11 求半球体截切后的俯视图和左视图。,水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分圆

20、弧，在侧视图上积聚为直线。,两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。,例12 求圆球被截切后的水平投影和侧面投影,分析:球面被侧平面截切，侧面投影为圆；球面被水平面截切，水平面投影为圆。,4. 平面与组合回转体相交,有的机件是由组合回转体截切而成的，在求作其截交线时，应先分析组合回转体由哪些基本回转体组成及其连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接就是所求组合回转面的截交线投影。,例13 求顶尖的截交线 。,例13 求顶尖的截交线 。,小 结,一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成 的封闭的平面多边形，多边形的边是截平 面与棱面的交线。

21、,求截交线的方法：棱线法 棱面法,二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截 平面与被截立体轴线的相对位置。,截交线是截平面与回转体表面的共有线。,当截交线的投影为非圆曲线时，要先找特殊点，再补充中间点，最后光滑连接各点。 注意分析平面体的棱线和回转体轮廓素线的投影。, 分析截平面与被截立体对投影面的相对 位置，以确定截交线的投影特性。, 求截交线,三、解题方法与步骤, 空间及投影分析, 分析截平面与被截立体的相对位置，以 确定截交线的形状。, 当单体被多个截平面截切时，要逐个截 平面进行截交线的分析与作图。当只有 局部被截切时，先按整体被截切求出截 交线，然后再取局部。, 求复合回转体的截交线

22、，应首先分析复 合回转体由哪些基本回转体组成以及它 们的连接关系，然后分别求出这些基本 回转体的截交线，并依次将其连接。,概述,相贯体 : 参与相贯的立体叫做相贯体,相贯线：相交立体表面的交线叫做相贯线,相贯 ： 两立体相交称为相贯,3.4 两立体表面相交（相贯线）,1、相贯的基本形式,相贯的基本形式一般有以下三种:,平面立体与平面 立体相贯,平面立体与回 转体相贯,回转立体与回转体相贯,2、相贯线的性质,1) 表面性相贯线位于相交立体的表面上。,2) 封闭性相贯线一般是封闭的空间折线（通常由折线围成，或由折线与曲线共同围成）或空间曲线，特殊情况为封闭的平面图形或直线。,3) 共有性相贯线是两

23、相交立体表面的共有线、分界线，线上所有点属于相交立体表面的共有点。是求相贯线投影的作图依据。,3、求相贯线投影的方法,求相贯线的投影实质是求相贯线上适当数量共有点的投影，然后根据其可见与不可见性，用相关图线光滑连接点的同面投影。常用的求相贯线上点的投影的方法有：,1) 利用表面投影积聚性法直接求相贯线上点的投影。,2) 利用辅助平面法求相贯线上点的投影。,两相贯立体中只要有一正圆柱轴线垂直于某一投影面，就可以利圆柱面投影的积聚性得到相贯线的一个投影。然后，用表面取点的方法求出相贯线的其他投影。,3.4.1利用积聚性法求相贯线的投影, 先找特殊点。,作图过程：, 补充中间点。,确定交线的 弯曲趋

24、势,确定交线 的范围,圆柱与其它回转体相贯,一. 两圆柱正交相贯,1.分析确定采用表面取点法。, 找特殊点, 补充中间点,判别可见性、光滑连接,2.画出相贯立体的投影轮廓 。,3.求相贯线的投影,例1 已知正交相贯两圆柱的水平投影和侧面 投影,求正面投影。,4.整理相贯立体在各投影中的投影轮廓线,当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。,1.两圆柱正交相贯的基本形式及其投影特点,当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。,相贯线的投影向大圆 柱一侧弯,相贯线的投影为两条 平面曲线（椭圆）,1.两圆柱正交相贯的基本形式及其投影特点,2.两轴线相交的圆柱,在零件上是最常见的,它们的相贯线一般有以下三种形式:

25、,( 1 ) 两实心圆柱相交（外表面交线）,( 2 ) 圆柱孔与实心圆柱相交（外表面与内表面的交线）,( 3 ) 两圆柱孔相交（内表面相交）,二、圆柱与回转体偏交,例2. 求两偏交相贯体的V投影,1求相贯线上的特殊点。,求相贯线的步骤:,2求相贯线上的一般点。,3依次连线,判别可见性。,4整理轮廓线。,1,2,3,5,6,7,8,10,1,2,例3. 求两偏交相贯体的V投影。,1,2,3,5,6,7,8,10,3,1,2,5,6,例3. 求两偏交相贯体的V投影。,1,2,3,5,6,7,8,10,3,1,2,5,6,7,8,10,例3. 求两偏交相贯体的V投影。,9,1,2,3,5,6,7,8

26、,10,3,1,2,5,6,7,8,10,9,4,4,例3. 求两偏交相贯体的V投影。,例3. 求两偏交相贯体的V投影。,3.4.2利用辅助平面法求相贯线的投影,辅助平面法求相贯线投影的原理：三面共点。,在适当位置选择一个合适的辅助平面截切相贯两立体，则辅助平面与两立体表面都产生截交线。两截交线的交点既属于辅助平面，又属于两立体表面，是三面公有点，即相贯线上的点。,利用这种方法求出相贯线上若干点，依次光滑连接起来，便是所求的相贯线。这种方法称为“三面共点辅助平面法”，简称辅助平面法,用辅助平面法求相贯线时，要选择合适的辅助平面，以便简化作图。 选择的原则是： 辅助平面与两曲面立体的截交线投影是简单易画的图形由直线或圆弧构成的图形。,1,1,1,2,2,2,例4 求圆柱与圆锥正交时相贯线的投影。,例5 求铅垂圆台与半球的相贯线的投影。,PH1,PV3,PV4,3.4.3相贯的特殊形式,两回转体相交，其相贯线一般为封闭的空间曲线，但特殊情况，其相贯线是平面曲线或直线。,1 .两等径圆柱正交 两等径圆柱正交的相贯线是平面曲线，是两个椭圆。,2 . 同轴回转体相贯 同轴回转体相交其相贯线是垂直于轴线的圆。交线圆在轴线垂直的投影面上的投影反映实形，在轴线平行的投影面上的投影是过两相交立体投影轮廓线交点的