精编(人教版)必修一数学：30《函数应用（Ⅱ）》知识讲解 提高版(含答案).doc

1、函数应用（）【学习目标】1.能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用指数函数、对数函数模型解决实际问题，并初步掌握数学建模的一般步骤和方法.2.通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会指数函数、对数函数模型在数学和其他学科中的应用.3.通过函数应用的学习，体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观，培养分析问题、解决问题的能力，增强数学的应用意识.【要点梳理】【高清课堂：函数模型的应用实例392115 知识要点】要点一：解答应用问题的基本思想和步骤1.解应用题的基本思想2.解答函数应用题的基本步骤求解函数应用题时一般按以下几步进行：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数

2、量关系，初步选择模型.第二步：建模在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.第三步：求模运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.第四步：还原把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.上述四步可概括为以下流程：实际问题(文字语言)数学问题(数量关系与函数模型)建模(数学语言)求模(求解数学问题)反馈(还原成实际问题的解答).要点二：解答函数应用题应注意的问题首先，要认真阅读理解材料.应用题所

3、用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它.其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系.其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键.在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分.这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客

4、观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可.反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率.【典型例题】类型一、已建立函数模型的应用题例1人口问题是当今世界各国普遍关注的问题认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T. R. Malthus，17661834)就提出了自然状态下的人口增长模型：，其

5、中t表示经过的时间，y0表示t0时的人口数，r表示人口的年平均增长率 下表是19501959年的人口数据资料：年份1950195119521953195419551956195719581959人数/万人55196563005748258796602666145662828645636599467207(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0000 1)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符(2)如果按上表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口可达到13亿? 举一反三：【变式1】 设在海拔x m处的大气压强

6、是y Pa，y与x之间的函数关系式是y=cekx，其中c，k为常量，已知某地某天海平面上的大气压为1.01105 Pa，1000 m高空的大气压为0.90105 Pa，求600 m高空的大气压强（结果保留3位有效数字）。类型二、自建函数模型的应用问题例2某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高/cm60708090100110120130140150160170体重/kg6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地方一个身高175 cm

7、，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？ 举一反三：【变式1】医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的记录如下表天数l23456病毒细胞个数l2481632 已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡但注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物?(精确到天)(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命?(精确到天，lg 20.3010)例3在一条笔直的工艺流水线上有三个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示

8、，各工作台的坐标分别为，每个工作台上有若干名工人现要在与之间修建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短（1）若每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；（2）设三个工作台从左到右的人数依次为2，1，3，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值例4提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数（）

9、当时，求函数的表达式；（）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）类型三、拟合函数模型的应用问题这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应值（是搜集或用实验方法测定的）。为了降低难度，有时采用限定函数模型范围的方法。例5.某县20062011年财政收入情况：年份200620072008200920102011收入(万元)258993050437997488986680085000(1)请建立一个数学模型，预测该县以后几年的财政收入情况；(2)计算该县财政收入的平均增长率，并结合(1)分别

10、预测2012年该县财政收入，并讨论哪一种预测结果更具有可行性举一反三：【变式1】某汽车公司曾在2009年初公告：2009年销量目标定为39.3万辆；且该公司重事长极力表示有信心完成这个销量目标。2006年，某汽车年销量8万辆；2007年，某汽车年销量18万辆；2008年，某汽车年销量30万辆。如果我们分别将2006，2007，2008，2009年定义为第一，二，三，四年，现在有两个函数模型：二次函数型f (x)=ax2+bx+c（a0），指数函数型g (x)=abx+c（a0，b1，b0），哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？参考答案【典型例题】类型一、已建立函数模型的应用题例1

11、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T. R. Malthus，17661834)就提出了自然状态下的人口增长模型：，其中t表示经过的时间，y0表示t0时的人口数，r表示人口的年平均增长率 下表是19501959年的人口数据资料：年份1950195119521953195419551956195719581959人数/万人55196563005748258796602666145662828645636599467207 (1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0000 1

12、)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符(2)如果按上表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口可达到13亿? 【解析】 (1)设19511959年的人口增长率分别为，由55196(1+r1)56300，可得1951年的人口增长率r10.0200 同理可得r20.0210，r30.0229，r40.0250，r50.0197，r60.0223，r70.0276，r80.0222，r90.0184 于是，19511959年期间，我国人口的年平均增长率为 r(r1+r2+r9)90.0221 令55196，则我国在195l1959年期间的人口增

13、长模型为，tN根据表中的数据作出散点图，并作出函数y55196 e0.022 1t(tN)的图象(如图所示) 由上图可以看出，所得模型与19501959年的实际人口数据基本吻合 (2)将y130000代入y55196 e0.022 1t，由计算器可得t38.76 所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿由此可以看出，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国会面临难以承受的人口压力 【总结升华】明确解题的基本步骤： 阅读理解，审清题意引进数学符号，建立数学模解答函数(或方程)问题回归应用情境，回答具体问题举一反三：【变式1】 设在

14、海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系式是y=cekx，其中c，k为常量，已知某地某天海平面上的大气压为1.01105 Pa，1000 m高空的大气压为0.90105 Pa，求600 m高空的大气压强（结果保留3位有效数字）。【答案】 0.943105.【解析】 这里已有函数模型，要求待定系数c、k，由x=0时y=1.01105 Pa和x=1000 m时y=0.90105 Pa可求。将x=0，y=1.01105，x=1000，y=0.90105分别代入函数关系式y=cekx中，得，。将c=1.01105代入0.90105=ce1000k中得0.90105=1.01105e100

15、0k，。由计算器算得k=1.15104，。将x=600代入上述函数关系式得，由计算器算得y=0.943105 Pa。答：600 m高空的大气压强约为0.943105 Pa。【总结升华】 函数y=cakx（a、c、k为常数）是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数即可。类型二、自建函数模型的应用问题例2某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高/cm60708090100110120130140150160170体重/kg6.137.909.9912.1515.0217.5

16、020.9226.8631.1138.8547.2555.05若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地方一个身高175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？【答案】偏胖 【解析】以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图，如图所示根据点的分布特征，可考虑以作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型 不妨取其中的两组数据(70，7.90)，(160，47.25)，代入得 用计算器计算得a2，b1.02，这样，我们就得到一个函数模型y21.02x 将已知数据代入上述函数解析式，或作出如图所示的函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的

17、拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系 将x175代入得，由计算器算得y63.98， 由于7863.981.221.2，所以，这个男生偏胖 【总结升华】 对于完全未建立模型的函数应用题，其建模程序如下：(1)收集数据；(2)画散点图；(3)选择函数模型；(4)求解函数模型；(5)检验；(6)检验符合实际，用函数模型解释实际问题；若检验不符会实际，则返回，重复上述步骤即可举一反三：【变式1】医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的记录如下表天数l23456病毒细胞个数l2481632

18、已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡但注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98 (1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物?(精确到天)(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命?(精确到天，lg 20.3010)【答案】（1）27（2）33 【解析】(1)由题意知病毒细胞个数y关于天数n(nN+)的函数关系式为(nN+)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，则，两边取对数，解得n27.6，即第一次最迟应在第27天注射该种药物 (2)由题意知注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为2262%再经过x天后小白鼠体内的病毒细胞个数为2

19、2622x，由题意22622x108，两边取对数得26 lg 2+lg 2-2+x1g 28，解得x6.2，即再经过6天必须注射药物，即第二次最迟应在第33天注射药物 【总结升华】本题反映的解题技巧是“不等式两边取对数”，这对解决有关指数运算是很有效的【高清课堂：函数模型的应用实例392115 例3】例3在一条笔直的工艺流水线上有三个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为，每个工作台上有若干名工人现要在与之间修建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短（1）若每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；（2）设三个工作台从左到右的人数依次为2，1

20、，3，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值【答案】（1）；（2）【解析】设供应站位置坐标为，则各工人到零件供应站距离之和为。（1）故当且仅当时，此时。答：当供应站修建在时，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短为（2） =由于函数单调递减所以时，又当时，故当时，均有答：当供应站修建在时，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短为。【高清课堂：函数模型的应用实例392115 例4】例4提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成

21、堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数（）当时，求函数的表达式；（）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）【思路点拨】首先应根据题意，建立车密度与车流速度之间的函数关系，然后再转化为求函数的最大值问题。求解本题的关键是建立目标函数及求最值的方法,配方法是求二次函数最值的常用方法，同学们一定要熟练掌握。【答案】（）（）100 3333【解析】（）由题意：当；当再由已知得故函数的表达式为 （）依题意并由（）可得当为增函数，故

22、当时，其最大值为6020=1200；当，所以，当时，在区间20，200上取得最大值综上，当时，在区间0，200上取得最大值即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时类型三、拟合函数模型的应用问题这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应值（是搜集或用实验方法测定的）。为了降低难度，有时采用限定函数模型范围的方法。例5.某县20062011年财政收入情况：年份200620072008200920102011收入(万元)258993050437997488986680085000(1)请建立一个数学模型，预测该县以后几年的财政收入情况；(2

23、)计算该县财政收入的平均增长率，并结合(1)分别预测2012年该县财政收入，并讨论哪一种预测结果更具有可行性【解析】(1)利用描点法，过A(1，2.59)，B(2，3.05)，C(3，3.80)，D(4，4.89)，E(5，6.68)，F(6，8.50)画一条光滑的曲线，如图所示，其中年份第一年为2006年，第二年为2007年，其它依次类推通过直观判断函数图象，它可以和前面已学过的两种函数模型进行比较：模型一：设(a0，a1)，将A、B、C三点的坐标代入，得.计算得4.57，5.73，7.30，它们与实际的误差分别为0.32，0.95，1.20模型二：设(a0，x1)，将A、B、C三点的坐标代入，得计算得4.84，6.17，7.79，它们与实际的误差分别为0.05，0.51，0.71对两个函数模型进行对比，发现与