平面向量的基本定理

1、平面向量的基本定理教学目标1. 知识与技能了解平面向量基本定理的条件和结论，会用它来表示平面图形中任一向量，为向量坐标化打下基础2. 过程与方法通过对平面向量基本定理的归纳、抽象和概括，体验数学定理的产生、形成过程，提升学生的抽象和概括能力3. 情感.态度与价值观通过对平面向量基本定理的运用，增强向量的应用意识，进一步体会向量是处理几何问题的强有力的工具之一教学重、难点重点：对平面向量基本定理的探究难点：对平面向量基本定理的理解及其应用教学过程1、复习引入同桌两人为一组，一个同学在平面上任意画两个不共线的向量、并分别乘以一个数再相加（减），如：3+2,请另一个同学做出所得的向量。现在由一个同学

2、在平面内任意画一个向量，同桌一起讨论能否用形如+的向量表示出来？教师讲解时边作图边回顾向量的加、减及数乘运算，三角形法则。并提示游戏其实是物理学中力的合成和分解2、探究新知 探究一：任意画出的向量是否一定可以用“一个”已知的非零向量表示？（复习向量共线定理）探究二：任意画出的向量是否一定可以用“两个”已知的不共线向量表示？如图1，设、是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内的任一向量。请将向量分解成图中所给的两个方向上的向量。小组对照，比较分解成的两个向量的方向和长度是否一致？(学生观察并讨论)探究结果：分解结果一致，即该分解唯一。问：既然可以分解成、两个方向上的向量，那么a是否可以用含有、

3、的式子表示出来？(学生回答，教师板书)板书画图(几何画板)： =，=1；=；=2；=+=1+2追问：一对数1，2是否唯一？(学生讨论并回答)教师点评：分解结果的唯一，决定了两个分解向量的唯一，由共线向量定理，有且只有一个实数1使得=1成立，同理，实数2也唯一，即一组数1，2唯一确定。探究三：探究二中的向量可否用其他两个不共线的向量表示出来？教师在黑板上另画出向量和不共线的向量、，请一位同学板演出新分解。探究结果：可以选取不同一组不共线的向量表示向量。探究四：请同学们把刚刚同学任意画出的向量用两个不共线的向量表示出来。探究结果：平面内任一向量都可以分解成两个给定方向上的向量。教师引导学生尝试概括

4、定理，得到平面向量的基本定理及相关概念。（思考并讨论）：（1）作为基底的这两个向量是什么位置关系？（共线还是不共线，共线为什么不行）（2）表示平面上任一向量的基底有多少组？（无数组）（几何画板演示）（3）当基底确定后向量的表示是否唯一？（唯一）总结出平面向量的基本定理：如果、是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意向量，有且只有一对实数1、2，使12.注意：基底不惟一，关键是不共线；探究五：向量的夹角不共线的向量有不同的方向，怎样来区别它们的位置呢？（试用方位和夹角）探究结果：我们可以用向量间的夹角来表示它们之间的位置关系总结结论：已知两个非零向量、，作，则叫做向量与的夹角说明：在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的.当时，与同向；当时，与反向如果向量与的夹角是，我们称与垂直，记3、定理应用 例1 已知向量， 求作向量-2.5+3.例2 如图 ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，和 4、课堂练习1. 已知：不共线向量，求作向量22. 已知：不共线向量，并且312，求