数学必修四公式

1、数学必修四公式数学必修四公式公式 一 :设 为任意角 ，终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin(2k + )=sin cos(2k + )=cos tan(2k + )=tan cot(2k + )=cot 公式二 :设 为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系:sin( +-)=sin cos( + )=-cos tan( + )=tan cot ( + )=cot 公式三 :任意角 与 - 的三角函数值之间的关系:sin(- )=- sin cos(- )=cos tan(- )=- tan cot(- )=- cot 公式四 :利用公式二和公式三可以得到- 与 的三角函数值之

2、间的关系:sin( - )=sin cos( - )=- cos tan( - )=- tan cot( - )=- cot 公式五 :利用公式一和公式三可以得到2- 与 的三角函数值之间的关系:sin(2 - )=-sin cos(2 - )=cos tan(2 - )=- tan cot(2 - )=- cot 公式六 : /2 及 3 /2 与 的三角函数值之间的关系:sin( /2+ )=cos cos( /2+ -)=sin tan( /2+ -)=cot cot( /2+ -)=tan 数学必修四公式sin( -/2 )=cos cos( /2- )=sin tan( /2- )=

3、cot cot( /2- )=tan sin(3cos(3tan(3cot(3 /2+ -)=cos /2+ )=sin /2+ -)=cot /2+ -)=tan sin(3cos(3tan(3cot(3 /2- )=- cos /2- )=- sin /2- )=cot /2- )=tan (以上k Z)诱导公式记忆口诀规律 总结上面这些诱导公式可以概括为:对于 k /2 Z)(k的个三角函数值，当 k 是偶数 时，得到的同名 函数 值，即函数名不改变;当 k 是奇数 时，得到相应的余函数值，即sin cos;cos(奇变偶不变 ) sin;tan cot,cot tan.然后在前面加上把

4、(符号看象限 )看成锐角时原函数值的符号。例如 :sin(2 - )=sin(4 当 是锐角时，-/2)，k=4 为偶数，所以取sin 。2- (270 ， 360 ) ， sin(2- )0，符号为“- ”。所以 sin(2 - )=- sin 上述的记忆口诀是:奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把视为锐角时，角k 360 + (kZ)， - 、 180， 360-所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变;符号看象限。各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正这十二字口诀的意思就是说:第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+” ;第二象限内只有正弦是“+”

5、，其余全部是-“” ;第三象限内切函数是“+”，弦函数是-“” ;第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是-“” .;二正弦 ;三为切 ;四余弦”.数学必修四公式其他三角函数知识:同角 三角函数 基本关系同角三角函数的基本关系式倒数关系 :tan cot =1sin csc =1cos sec =1商的关系 :sin /cos =tan =sec /csc cos /sin =cot =csc /sec 平方关系 :sin2( )+cos2( )=11+tan2( )=sec2( )1+cot2( )=csc2( )同角 三角函数关系六角形 记忆法六角形记忆法 :(参看图片或参考资料链接)构造以

6、 上弦、中切、下割;左正、右余、中间1的正六边形为模型。(1)倒数关系 :对角线 上两个函数互为倒数;(2)商数关系 :六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积)。由此，可得商数关系式。(3)平方关系 :在带有 阴影线 的三角形 中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。两角 和差公式两角和与差的三角函数公式sin( + )=sin cos +cos sin sin( - )=sin cos-cos sin cos( + )=cos cos-in sin cos( - )=cos cos +sin si

7、n tan +tan tan( +-)=1- tan tan tan - tan tan( - )=-1+tan tan 数学必修四公式倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式 )sin2 =2sin cos cos2 =cos2( )-sin2( )=2cos2( )-1=1- 2sin2( )2tan tan2 =-1- tan2( )半角 公式半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式 )1- cos sin2( /2)=-21+cos cos2( /2)=-21- cos tan2( /2)=-1+cos 万能公式万能公式2tan( /2)sin =-1+tan2( /2)1-

8、 tan2( /2)cos =-1+tan2( /2)2tan( /2)tan =-1- tan2( /2)万能公式推导附推导 :数学必修四公式sin2 =2sin cos =2sin cos /(cos2( )+sin2( ).*，(因为 cos2( )+sin2( )=1)再把 *分式上下同除cos2( ) ，可得sin2 =tan2 /(1+tan2( )然后用 /2代替 即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3 =3sin -4sin3( )cos3 =4cos3( )-3cos 3tan - tan3(tan3

9、 =-1- 3tan2( ) )三倍角公式推导附推导 :tan3 =sin3 /cos3=(sin2 cos +cos2 sin )/(cos2-sin2cossin )=(2sin cos2( )+cos2( )sin-sin3( )/(cos3( - cos) sin2()-2sin2( )cos )上下同除以cos3( ) ，得:tan3 =(3tan -tan3( )/(1-3tan2( )sin3 =sin(2 + )=sin2 cos +cos2 sin =2sin cos2( )+(1-2sin2( )sin=2sin -2sin3( )+sin - 2sin2( )=3sin

10、-4sin3( )cos3 =cos(2 + )=cos2 cos-in2 sin =(2cos2( )-1)cos -2 cos sin2( )=2cos3( )-cos +(2cos -2cos3( )=4cos3( )-3cos 即sin3 =3sin -4sin3( )cos3 =4cos3( )-3cos 三倍角公式 联想记忆记忆方法 :谐音、联想正弦三倍角 :3 元 减 4 元 3 角(欠债了 (被减成负数 )，所以要“挣钱” ( 音似“正弦” ) 余弦三倍角 :4 元 3 角 减 3 元(减完之后还有“余” ) 注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。数

11、学必修四公式和差化积公式三角函数的和差化积公式 + -sin +sin =2sin- cos-2 2 + -sin -sin =2cos- sin-2 2 + -cos +cos =2cos- cos-2 2 + -cos - cos =-2sin- sin-2 2积化和差公式三角函数的积化和差公式sin cos =0.5sin( +-)+sin()cos sin =0.5sin( - sin(+)-)cos cos =0.5cos( + )+cos(-) sin sin- 0.5cos(= +-)cos( - )和差化积公式推导附推导 :首先 ,我们知道 sin(a+b)=sina*cosb

12、+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到 sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以 ,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2同理 ,若把两式相减 ,就得到 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同样的 ,我们还知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以 ,把两式相加 ,我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+

13、b)+cos(a-b)/2同理 ,两式相减我们就得到 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 这样 ,我们就得到了积化和差的四个公式 : sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2数学必修四公式sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式我们把上述四个公式中的a+b 设为 x,a-b 设为 y,那么 a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把

14、 a,b 分别用 x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式:.sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2)cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2)cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2)向量 的运算加法运算AB+BC=AC ，这种计算 法则叫做向量加法的三角形法则 。已知两个从同一点O 出发的两个向量OA 、 OB，以 OA 、 OB 为邻边作 平行四边形则以 O 为起点的对角线OC 就是向量OA 、OB 的和，这种计算法则叫做向量加法的边形法则

15、 。对于 零向量 和任意向量a，有 :0+a=a+0=a 。|a+b| |a|+|b|。OACB，平行四向量的加法满足所有的加法运算定律。减法运算与 a 长度相等，方向相反的向量，叫做 a 的相反向量 ， -(-a)=a ，零向量的相反向量仍然是零向量。(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。数乘运算实数 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 a， | a|=| |a|，当0时，a的方向和 a 的方向相同，当 0时，a的方向和 a 的方向相反，当 = 0时， a =0。设 、是实数， 那么 :(1)( )a = ( a)(2)( + )a = a + a(3) (a- )a b)=- (= a) a b(4)(= (