第2讲：方程的图形法迭代法直接法(第1次课).ppt

1、第二讲 方程及方程组解法(上),方程 : 工程计算和科学分析的发动机。 若干世纪来，方程是工程师和数学家花费大量时间 进行研究的课题，即有古老的算法（如二分法），也有新颖的发现（如迭代的分形与混沌现象） 本讲主要介绍非线性方程的实用解法，对线性方程组及数值分析中的矩阵分解法略作介绍： 图形放大法（不要苛求精确解！） 简单迭代法（迭代函数的选取） 加速迭代法（加权平均的思想）,线性方程组解的存在性,线性方程组的矩阵形式：AX=B AX=B的解可能出现三种情况：有解/无解/无穷解 A=1 2 1;2 3 1;1 -1 -2; B=1;3;0; AB=A,B; rank(A)=rank(AB) %

2、ans=0 故原方程组无解 A=0 1 -3 4;1 0 -2 3;3 2 0 -5;4 3 -5 0; B=-5;-4;12;5; AB=A,B; rank(A)=rank(AB) % ans=1 有唯一解,线性方程组AX=B的求解,A=0 1 -3 4;1 0 -2 3;3 2 0 -5;4 3 -5 0; B=-5;-4;12;5; rank(A)=rank(A,B) x=AB %方法1：矩阵左除运算 x=inv(A)*B %方法2：逆矩阵求解法(须方阵) L,U=lu(A); %方法3：LU分解法 x=U(LB) Q,R=qr(A); %方法4：QR分解法 x=R(QB) rref(A

3、,B) % 方法5：rref化行最简形 p13,代数方程求根公式的探寻.,求解非线性方程更一般的方法,我们面对的大多数方程（组）都是非线性的。 定义：一些由实际问题列出的方程中常常包含三角函数、指数函数等，它们与n=2代数方程一起统称为非线性方程（组） 例如：3x-ex=0；xsinx=1； x2-3x+ex-2 所以，求解这一类方程（组）更具现实意义： 计算机技术和数学软件技术的飞速发展为我们实现经典方法（比如二分法）、创新新方法（比如图形放大法）提供了极大便利，甚至衍生出一些崭新的学科方向（比如课本第3章提到的 分形与混沌）,最简捷和最一目了然的方法？,图形放大法的最大优点在于：简捷和直观

4、，同时也为后继的迭代法和函数法提供了可参考的初值条件 演练一：p10，2.1 x=-6:.001:6; plot(x,x.5+2*x.2+4,-6,6,0,0,r-, linewidth,2)%参考线 grid on; axis(-2 2 -200 200)%坐标区域重定义 演练二：求解方程 8x5-12x4-26x3-13x2+58x+30=0 fplot(8*x5-12*x4-26*x3-13*x2+58*x+30,-1,3); set(findobj(type,line),linewidth,3); hold on; line(-5 5,0 0,color,r,linewidth,3);

5、 注意以上程序中作参考线(X轴)的几种方法,最简捷和最一目了然的方法？,图形放大法的最大局限在于：作图的显示精度以及数值的读取精度，一般不作为方程求解实际方法 演练三：求解非线性方程组 ezplot(x2+y2-5, -2.5,2.5,-2.5,2.5); %定义作图区间 hold on; ezplot(x*y-3*x+y-1, -2.5,2.5,-2.5,2.5); grid on; set(findobj(type,line),color,r, linewidth,2); %加粗 局限：坐标刻度默认显示精度为小数点后4位 提供一个控制函数：tickmore(w,n) tickmore(x,

6、6); tickmore(x,6);,图形放大法的步骤和技巧：,方程f(x)=0 (1)建立坐标系，画曲线f(x) (2)观察曲线f(x)与x轴的交点 (3)将其中一个交点局部放大 (4)该交点的横坐标值就是方程的根 技巧关键字（提高你的效率）： 步进精度选择（要足够适应放大倍数） 坐标区域设定（方便直观准确地读数） 交点追踪（强调x轴, 双击reset, 放大适可+tickmore） 延伸：能不能写出不需人工干预的图形放大法？,图形放大法的步骤和技巧：,交点放大,提取矩阵特征,简单迭代法（迭代收敛的情形）,回到早先我们接触的引例：3x-ex=0 xn+1= (xn), n=0,1,2., x

7、0,迭代过程的图形化体现.,迭代过程体现在图像上如下图所示：,迭代算法的步骤与技巧：,方程f(x)=0 (1)经过简单变形，化为xn+1= (xn), n=0,1,2. (2)*绘出y=x和y= (x)的图形，并观察 (3)确定迭代初值x0，并代入程序进行迭代 (4)序列发散回到第1步；收敛获得求解 技巧关键字（提高你的效率）： 迭代格式的确定（是否唯一,是否一定收敛？） 迭代初值的选择（迭代与初值选择是否有关?） 迭代存在的缺陷（迭代能否逼近所有的解？） 演练：在讲解加速迭代法后一齐举例,简单迭代法的改进,当遇到迭代格式不收敛怎么办？ 如何加快迭代速度？ 加速迭代法就是为了解决上述问题而产生

8、的改进型迭代法： 若迭代格式xn+1=(xn), n=0,1,2.,不收敛，则我们不直接用(x)迭代，改用(x)与x的加权平均 h(x)= (x)+(1- )x 进行迭代，基于某个确定原则，比如： =1/(1- (xn) )改进后的加速迭代格式如下： 附注：确定原则一般来自理论和经验，参见P13,简单迭代法的改进,实践中，总结出了多种迭代格式xn+1=h(xn)构造方法,简单迭代与加速迭代的比较1,用两种方法迭代方法求解方程x3-x2-x-1=0 构造迭代格式： 初值x0=0 x1=1; x2=1; x3=1; for k=1:20 x1=x13-x12-1; x2=(x22+x2+1)(1/

9、3); x3=1+1/x3+1/x32; end x1, x2, x3,简单迭代与加速迭代的比较2,格式1发散，格式2,3收敛，具体细节为：,迭代格式1选取失败！迭代格式2,3成功收敛，收敛速度谁更快？,简单迭代与加速迭代的比较3,改进前面已经被判定为“失败的”迭代格式1： x=(x)=x3-x2-1 由前述确定原则有：,实验发现改进后的迭代格式1能够收敛，但速度仍然不如迭代格式2和3，相对自身而言“加速” 注意：改进后的迭代格式1在迭代103次后才渐近 至1.8393，并且需要在变量空间中双击查看 why?,除了简单迭代和加速迭代.,我们知道，简单迭代法和加速迭代法在迭代格式xn+1= (x

10、n)的选取上都是基于方程自身的，其实基于存根区间、基于函数曲线解析性还有多种算法，下面略作介绍： 介绍： p1213 这些算法形式多样，目标只有一个逼近 基于隔离存在根的区间，区间逼近：如二分法 基于函数曲线解析特性，解析逼近：如牛顿法,隔离存在根的区间，区间逼近,二分法: 简单，但效率很高的一种算法,函数曲线解析特性，解析逼近,牛顿切线法: 可变形为多种迭代格式，如割线法,非线性方程组的迭代法1,类似于单变量方程的简单迭代法，方程组要求一次迭代过程完成对n个变量的迭代.,非线性方程组的迭代法2,下面以实例促进对方法的理解和掌握： 问题：一次迭代过程x1的代入可以有几种选择？,例1,非线性方程

11、组的迭代法3,实例：用迭代法求解非线性方程组(格式1) x=0,0;2,0;3,3; n=input(选择初值 1/0,0 2/2,0 3/3,3 :); x=x(n,:); %指定不同的初值，以考察初值对迭代的影响 hold on for k=1:10 x(1)=0.1*x(1)2+ 0.1*x(2)2+0.8; x(2)= 0.1*x(1)*x(2)2+ 0.1*x(1)+0.8; disp(x) plot(k,x(1),ro,linewidth,2); plot(k,x(2),bp, linewidth,2); end grid on,通用的可控精度迭代程序,以方程 3x-ex=0 为例，演示如何将程序通用化： diedai.m 为固定计算x=1/3*exp(x)的可控精度