1 2017apho理论试题质心中文版v1

1、 2017APhO亚洲物理奥赛试题中文翻译质心版本 V1Q1. Vortices in Superfluid 超流体涡旋 介绍 超流性是指液体无摩擦流动的性质。 蔡子星的日常经验告诉我们，一般的流体（比如室温下的水）流动的时候是损失能量的。所以除非有外力提供动力，液体的流动会逐渐变慢。与之形成对比的超流体就不会损失动能。 一旦用某种方式激发了超流体的流动，这个流动就会一直持续下去。 这种性质最初是在液氦的一些实验中发现的。 现在就让蔡子星来带领大家一起研究一下超流液氦在零度下的性质。这个情况下，我们把液氦当成密度为 r 的不可压缩连续流体。所谓连续流体是指单位时间内流入和流出一个确定 封闭曲面

2、的质量是一样的，也可以理解为流过封闭曲面的速度v 的通量（一般叫做流量） 为零。这样看来，子星就发现，原来和磁场强度的性质很像啊。类比磁感线，我们可以把流体画出流线。某点处流线的切线就表示了改点处流速速度方向；且流线的密度正比于速度大 小。 也就是沿着任意封闭曲线，速度矢量路径积分真正的超流，具有一个重要的性质：无旋。为零。 v dl = 0LFig. 1: 红色的“涡旋线”和几个积分路径。 可以看出积分 L1, L2 , L5 , L6都是零。 L3 , L4 分别是 2pk 注意他俩的符号是相反的 . 然而，这个模型需要修正。 当出现“漩涡线”（如图中的红线）的时候。在“漩涡线”周围 超流

3、性就没有了。这个“漩涡线”的宽度，我们用a表示，在原子尺度。这个“漩涡线”会激发远场的流场出现量子涡旋。 也就是下面这个积分，将体现出量子化。= 2pk（这是一个宏观量子化效应。 可以用波尔量子模型角动量量子化的角度 v dlL分析。 其中k =， m是氦原子质量 ）HemHe如果积分路径不会包住“涡旋线”，（或者说路径可以缩小到一个点，都不接触线）这个积分结果就是零。 这个模型就可以继续类比一个通电导线在周围空间中产生的磁场。空间中某个点的流速矢量，可以理解成是不同位置的线片段对于这个点产生的速度矢量的叠加。 与 之类比的是一根导线不同位置在空间中某点产生磁场的叠加。 Part A Stea

4、dy Filament 稳定的线（0.75 分） 考虑一个圆柱形的烧杯，半径是 R0a 。里面有一个固定的线在对称轴上，如图所示。 A1. 请画出流线分布。 并且求出在 r 处的速度矢量v（0.25 分）A2. 请求出液体自由表面形状。 已经知道重力加速度为 g 。表面张力可以忽略。 用 z(r )表示。 （0.5 分）Fig. 2: 圆柱轴线直线涡旋线.Part B。 Vortex Motion 涡旋运动（1.4 分） 自由的涡旋会在空间中流动。 也就是可以想象线，在空间中可以具有速度v 。 下面考虑一个例子：一对相反的漩涡，一开始距离为r0 。如图 Fig3 所示。他们各自在对方 = kr

5、的轴位置产生了v的速度。因此，他俩都会匀速向前流动，并且保持他们之间的距离 00不变。 Fig. 3: 平行涡旋的“涡旋线” ，涡旋方向相反.考虑两个完全一样的直线形涡旋初始相距距离为r0。如图 Fig4 所示，但是和刚才的例B1.子不同的是，他们的涡旋方向相同，大小也相同。求出他们初始的速度以及画出他们此后的轨迹。（0.15 分） Fig. 4: 平行同向等大涡旋 蔡子星丧心病狂，现在他弄了一个烧杯（见 PartA 部分）以三角形阵列的方式装满了涡旋。如图 Fig5 所示。 涡旋阵列常数uR0 。 这种阵列我们叫做蔡子星阵列。Fig. 5: 俯视图：烧杯中的涡旋三角阵列分布 B2. 请画出

6、ABC 三个点的涡旋的运动轨迹。 （0.15 分）处的涡旋的速度v(r )（0.4 分）B3. 请求出在 rB4. 如果已经知道 A, B 两点初始t = 0 时刻的间距 AB (0) ，请求出时刻t时候，他们的 间距 AB(t )o （0.35 分）把这样的蔡子星阵列液氦产生的自由表面，“平滑”处理一下，得到的形状，用 z (r )表 B5.示出来。（0.25 分） Part C 动量和能量 （1.75 分） 这种涡旋体系，主要的能量来源就是这些涡旋线的远距离速度贡献。 而且这个贡献对于线的具体形态结构不敏感。 这些线不能用宏观理论来解释。 我们也不用考虑奇点和无穷远 影响（影响太小）。在线

7、附近足够小的范围（比如半径a的细管）内，能量可以忽略。 细rv22管以外的流体的动能，可以用密度 r 表示成其中 r 是常数。这个事情又可以类比 B22m0场的能量，他们都是和自变量二次方成正比。 我们可以利用这样的类比，来计算超 流体的能量。例如，我们用一个已经知道的螺线管的电感公式 L m0 Rlog(Ra) ，其中 R ，是螺线管的半径， a 是导线的半径。 就可以类比出我们的超流体的能量应该表示成 U 2Rrp 2k 2 log(R )a超流体的角动量也可以用远场的速度分布来表示。 黄俏表示这个很容易积分：只要把 r v积分一下就行了。 考虑一个在 xy 平面的环形涡旋线，由于对称性，

8、黄俏看出了其中的美。于是写下了：= r (vzdz )dxdyq(x, y)P = rvzdV也就是动量了。 其中最里面的那个积分，黄俏认为是沿着平行于 z 轴的路径的积分。如图 Fig6 所示。可从前面的旋量积分（ v dl ）看出，可以理解成是分段，每段内为常数的。 v dl这个积分。 在环形涡旋线内部，是零。 在外部应该是2pk。 也就是说 q ( x, y) =L(x, y) Fig. 6: 环形涡旋线产生的流速场分布。 以及对 q ( x, y) 进行积分的绿色的积分路径。.这样就可以积分得到总动量为 P = r p R2 2pk = 2p 2rR2k（黄俏表示&*！& 直接 告诉我

9、结果不行么废话那么多） Fig. 7:近似矩形的涡旋线“环”,其中 .C1. 考虑一个如图 Fig 7 所示的近似矩形的涡旋线“环”。 请画出它产生的动量 P 的方向 并且求出这个动量的大小。 （0.3 分） C2. 计算能量U 。 （0.7 分） C3. 考虑一个长直涡旋线，我们把它在 x 方向上移动b 的距离。 如图 Fig 8 所示。 请问这样的操作，能改变多少动量？如果长直线的长度是d（因为容器导致不能无限长）的话（0.75 分） Fig. 8: 涡旋线平移产生的动量变化.Part D Trapped Charges （2.85 分） 如果电子注入了液氦，会被涡旋线困住。 我们假设液氦

10、的极化率可以被忽略也就是e =1. Fig. 9: 直线涡旋线在电场中.D1. 考虑一个直线形的涡旋线，均匀带电，电荷线密度为l0放置在匀强电场 E中，画出它的运动轨迹，并且求出它速度时间函数v(t)（0.5 分）Figure 10:（左图）环形涡旋线在匀强电场中。（右图）截面图.一个环形的涡旋线，如图 Fig 10 所示，半径为 R0 均匀带电密度为l t * 的速度随时间的函数v(t) （0.25 分）Part E Influence of the Boundaries 边界效应 （3.25 分） 固体的边界可以改变涡旋线产生的流速场。因为流体显然不能穿过固体进行流动 数学上我们可以理解成

11、墙面法向的流速等于零。 Fig. 11: 靠近平面墙面的直线涡旋线.E1. 直线涡旋线靠近平面墙，初始情况，一个涡旋线的距离为h0 ，如图 Fig11 所示，求出 它的速度随时间的函数。 （0.5 分） Fig. 12: 靠近墙角的直线涡旋线.E2. 考虑一个涡旋线距离直角墙角的两个墙面的距离都是 h0 。请求出它的初始速度v0（0.75 分） E3. 请画出这个涡旋线的轨迹（0.5 分） E4. 请求出很长时间之后的速度v （1.5 分） Q2. Evolution of Supermassive Black Holes Binary 超大质量黑洞双星体系 Introduction 介绍 引

12、力波是爱因斯坦的广义相对论最厉害的预测之一。 引力波可以理解成以光速传播的，时空的波动，和电磁波类似。探测引力波十分困难。然而，人类太厉害，在 2015 年九月 14 日， LIGO 和 VIRGO 合作完成了引力波的探测工作。 大质量物体的快速运动可以产生引力波。 两个超大质量黑洞（SBH）的融合，最靠谱的产生 引力波的源泉。 在本题看来，SBH 就是质量炒鸡大的很小的物体，其他的黑洞的性质，我们就暂不讨论。 目前被广泛接受和认可的关于星系演化观点是： 的星系的中心存在者太阳质量105 109倍的 SBH。 所谓星系就是由1010 1011 个恒星组成的体系。 演化过程中，可能出现两个星 系

13、相撞，并且合并成一个。那中间那两个 SBH 将会怎样？这个演化过程可以分成三个阶段每个阶段，两个 SBH 都不断的靠近，但是物理原理是不一样的。 我们把这个问题也分解一下，我们本题的前三个部分，来分析这三个演化阶段，最后一部分，我们用前面的结论来计算整个 SBH 双星体系演化的时间。 在这个过程的最后，两个 SBH 会合并成一个 SBH。合并过程本身持续大概一个小时，并且射出大量的引力波。 以后 LISA 会进一步研究和探测引力波的辐射。 虽然这些研究和探测 还在进行当中，但是，我们已经可以窥探引力波天文学的明天。 基本信息 1.请用秒差距（parsecs， 简写 pc）作为长度单位来数值表达

14、计算结果。用 Gy 也就是 Giga year 十亿年年作为时间的单位。 我们用太阳质量 M s 来作为质量的单位。 你可能会 到如下常数： 1pc = 3.11016 m1Ms2.0 10 k30gtH = 13.7Gy 是宇宙的年龄 G = 6.6710-11 Nm2kg2c = 3.0108 m s2. 当你看到“估计”“估算”这种词汇的时候，就不用着急计算精确的答案了。 只要数量级对了就 ok 了。 当你看到“计算”“表示出”这样的词的时候，就需要有精确的数字或者表达式结果。 3. 整个计算过程中，考虑每个恒星都具有太阳质量。 4. 整个过程中除了引力波的辐射需要用到广义相对论之外，其

15、他的部分都只用牛顿万有引力理论计算就行了。 换句话讲，恒星和 SBH 都当成质点，用牛顿力学计算。 Part A Dynamic Friction 动态阻力（1.6 分） 这个部分我们计算一个简化的星系模型。 考虑星系的半径是 R 。我们可以忽略恒星的速 度，考虑恒星密度为 n。因为这个密度很小，所以忽略恒星之间的碰撞考虑一个质量Mm 远远大于太阳质量的SBH，在星系中以速度v运动。 令质心的孙鹏倍感惊讶的 是， 这个 SBH 受到的恒星的平均作用力竟然不是零。 因为这个作用力会使得 SBH 的运动变慢，所以孙鹏给它起名叫做动态阻力。 这个部分就来分析动态阻力。 = GMA1. 我们先来分析

16、SBH 的参考系看到的事情，如果一个瞄准半径bb“飞来”的1v2恒星，经过 SBH 之后会散射一个角度a = kb1 。 k 是某个常数，请求出k 的表达式。如b果你算不出来，就在以后的计算中把k 当成是1好了。 （0.75 分）Fig1. 其中 M 是 SBH 的质量， b 是瞄准距。恒星和 SBH 的最小距离用rm表示。 散射角 a用Ox 轴作为 SBH 速度方向的轴。求出恒星转移给 SBH 的动量大小Dpx （0.25 分）A2.A3. 考虑一个在星系中心的 SBH，如果我们忽略b b1 范围的恒星对于 SBH 的影响，请估 算瞄准距离b 的恒星作用在 SBH 上的平均的作用力 FDF

17、o 并且求出 FDF 的表达式（用 M , v, R,G 表示， 恒星的在空间中的质量密度用 r =mn表示）（0.4 分）A4. 前面的问题求好了之后，你会发现 FDF 的表达式含有系数logRb 。 孙鹏老师比较 1= 108 M，R = 20kpc = 20103 pc懒，把它表示成logL 。请数值求解logL。如s速度 v = 200 km s （0.2 分） Part B Gravitational Slingshot 引力弹弓（3.0 分） 这个部分我们考虑两个 SBH 各自处在星系中心，且质量相同。 满足 Mm。我们把他形成的体系叫做 SBH 双星体系。我们考虑在 SBH 附近

18、没有恒星。并且两个 SBH 都各自在另一个 SBH 的引力场作用下做圆周运动半径为a。B1. 求出每个 SBH 的运动速度vbin 。求出这个双星体系的总能量。 用a,G, M 表示（0.25分） 考虑到距离 SBH 双星较远（远远大于a）的范围内会有很多的恒星。这样的情况下，这个星系中恒星的运动轨迹各不相同，就像理想气体里面的分子的运动一样，是混乱的。 我们可以假设他们的运动速度都具有一个相同的大小s，他们的平均质量密度是 rvbin。这样的条件下，我们前一个部分考虑的“动态阻力”就不好使了，孙鹏发出了阴冷的笑声。我们需要用其他的现象来解释 SBH 双星体系的能量损失。 B2. 让我们先计算

19、一个相关的非常简单的问题。考虑一个质量为m 的恒星，飞过一个静止 m 质点。 已经知道恒星和质点的最小距离为rm ，远处恒星的速度s ，求出瞄准的 M 2距b的表达式。 （0.5 分）如果有恒星靠近双星体系到了a 附近的数量级，那么就会产生一个复杂的三体问题。这个问题的结果是，这个第三者恒星会获得一个相对于双星体系vbin左右的速度被扔出去。 这个现象可以认为是第三者恒星，和 SBH 双星体系发生了一次碰撞，然后第三者恒星被“甩” 了出去（请不要类比现实生活）。 这种碰撞被我们叫做“引力弹弓”。 B3. 考虑到s（1.0 分） B4. 请求出 SBH 双星体系的能量损失率dEdt 。 估算这个

20、双星体系半径的变化率dadt（用 a, r,s ,G 表示）（0.25 分） 双星体系碰撞的特征时间Dtvbin，估算平均相邻两次第三者恒星和 SBHB5. 如果我们把 SBH 双星体系的初始半径用a1 表示。 请估算因为前面这个“引力弹弓”和 好多个第三者相互作用之后，导致 SBH 双星体系半径变小一半，所经历的时间TSS 。并且用s =200 km s ， a = 1pc ， r =104 Ms，数值求解T 。 3pcss1 Part C Emission of Gravitational Waves （1.0 分） 这个部分我们考虑等质量SBH 双星体系并不和其他的恒星发生“第三者碰撞”

21、（“引力弹弓”） dE1024 Go 这里wc5 = -是双星体效应。能量的损失应该来自于引力波的辐射。 dt5系的角速度。 I = 2Ma2 系统的转动惯量（原文是 quadrupole moment 引力四极矩） daC1. 求出 SBH 双星体系由于辐射引力波造成的半径变化率 。（0.2 分） dt逐渐变化到和黑洞的半径差rg 不多大的时候，两个黑洞就很快的合并在一起。 当半径 a= 2GM其中 rgc2C2. 让我们用 a2rg来表示 SBH 双星体系的初始半径。估算这个体系的半径从初始半径 a2 变小到 rg 这么大所需要的时间TGW 。 求出TGW 的表达式，用a2 ， M ， c

22、 ， G 几个量来表示（0.7 分） C3. 计算一对用了宇宙年龄辣么长时间才合并的 SBH 双星体系的初始半径aH 。假设这个质量 SBH 双星体系，两个黑洞质量都是 M =108M 。（0.1 分sPart D Full Evolution （4.4 分 ）这个部分我们用前面算过的各种结果来计算时间。 我们来考虑更“真”一点的天体物理模型。考虑两个质量相等的 SBH 各自具有质量 M =108M ，分别在两个星系核心的位置。这 S状对称的。半径是 R = 20kpc 。 我们假设恒星密度随着到星系中心距离r 的变化而发o 2(r ) =变化。表达式可以写成 4pGr2这里s =200 km

23、 sD1. 这里我们考虑一个以半径 a R的物体在恒星产生的引力场中做圆周运动。 不考虑 “动态阻力”求出这个速度v（0.25 分） 两个星系合并之后的一瞬间，两个黑洞的相对位置是在新的球状大星系内的随机的某两个初 始位置。而且这个瞬间，他们是相互没有影响的。我们考虑其中一个 SBH。我们考虑它径 a R 的圆周运动，绕转中心是大星系的中心。而且由于“动态阻力”它会逐渐损失能 量。 daD2. 估算这个黑洞的半径变化率 。在 Part A 那个部分中我们忽略了恒星的运动速度dt虽然在真正的星系中，恒星是有运动速度的。 并不是所有的恒星都具有运动速度s，我们估算的时候，可以认为他们是这个数量级。

24、 所以我们可以使用前面 A3 的结论。 A4 的结 论log L 和考虑恒星的密度 r (r ) =o 24pGr2过了一个特定的时间之后，两个 SBH 都十分靠近了大星系的中心，他们在恒星们的引力场中的圆周运动半径为 a 。 D3. 估算临界的半径 a1 ，低于这个临界半径之后，两个 SBH 之间的作用不可以忽略，我们 说从此他们形成了 SBH 双星体系。 并且计算这个临界半径a1 。 （0.25 分） Fig 2 SBH 双星体系形成双星系统的前后状态示意图D4. 假设两个星系合并的那个瞬间，两个 SBH 处在距离大星系中心a0 =2kpc 的初始位置， 请数值计算出他们在“动态阻力”的作

25、用下，达到临界半径a1 ，形成 SBH 双星体系所需要 的时间T1 当形成了 SBH 双星体系之后，他们会把周围的在大星系附近的恒星都“甩”出去。这样这两个 SBH 就可以幸福的“单独”在一起。从此以后，“动态阻力”的作用就可以忽略了。 SBH双星体系就开始因为“引力弹弓”效应损失能量了。 假设在 SBH 双星体系周围的恒星速度 o 24pGr 2o ，密度 r (r ) =用 r1=r(a1) 表示。 “引力弹弓”效应让 SBH 双星体系的半径 迅速减少，一段时间之后，体系的主要损失能量的因素又变成了引力波的辐射。D5. 当双星体系的半径小于特征半径a2时候，能量损失的主要因素就变成了引力波

26、辐射。 请求出 a2 的表达式，并且估算它的大小。 （0.3 分） D6. 估算半径从 a1 减小到 a2 所经历的时间T2 （也就是“引力弹弓”作用时间长度）。 估 算半径从 a3 减小到接近零所经历的时间T3 （也就是“引力波辐射”作用时间长度）。（1.75分） D7. 利用前面的分析和数据，计算总时间Tcv 。 这就是从两个星系合并，到最后两个 SBH合并到一起所经历的总时间。（0.3 分）历史的回忆。 曾经有很长的时间，天体物理学家们以为 SBH 双星体系的演化，会在“引力弹弓”效应阶段停下来。 因为双星体系会把很小的“瞄准距离”的这些可能和双星体系碰撞的恒星都甩出去，这个过程根本停不

27、下来，所以好像这两个 SBH 就永远都不合并。 这个纠结的问题被叫做 最后的秒差距 问题。 （The Final Parsec Problem）.真正的星系有更复杂的不对称的形状。 几年之前，人们发现在复杂形状的星系中，小的碰撞瞄准距的恒星会不停的出现。SBH 双星体系会不停的损失能量，但是比我们估算的模型， 损失的要慢一些。最后的秒差距问题 已经被解决。 Q3. Space Debris 空间碎片 简介在半个世纪以上的空间作业中，地球周围积累了大量的人造物体，其中不为任何特定目的物体，被称作空间碎片。我们通常最关注的是其中的大件碎片物，如废弃的，发射有效载荷之后留在轨道中的火箭上级，以及蔡子

28、星之类废弃星体等。这些物体的相互碰撞会产生成千上万的碎片，威胁着现在的空间任务。 有一个著名的假设场景，鉴于特定碰撞会产生更多的碎片，以增加产生新碰撞的可能性， 这种链式反应的结果是所有近地全部损失，并使未来的空间计划变为不可能，这被称作凯斯勒症候群（Kessler Syndrome）。 为阻止这种不良结果，我们策划了特别任务，通过将大件碎片物牵引至大气层或倾弃轨道的方式，来将其从其现有轨道移除。为此，一个特别设计的航天器太空拖曳船必须捕获一个碎片物。但在捕获一个不受控的物体之前，理解其转动动力学是非常重要的。 我们想让你跟唐鹏同学一起策划一个这样的任务，并找出碎片物的转动在不同参数条件 下如

29、何随时间变化。 火箭示意图 我们考虑的碎片物为“Kerbodyne 42”火箭的上级（为了好念，我们暂且将其称为“啸宇杜 42”火箭），其示意图如图所示。圆线标注出其球形燃料罐的轮廓。 我们建立一个固连于物体上的坐标系Cxy ，原点在质心教育哦不对质心C 处，x 为此级 火箭的对称轴， y 垂直于 x 。过 x 和 y 轴的转动惯量分别为 J x 和 J y （ Jx J yPart A. 旋转（3.8 质子） 我们考虑这级火箭有角动量为 L 的任意初始转动（如图），其中q 为对称轴和角动量方向之间的夹角。假设跟孙月作用。 同学肚子一样圆的燃料罐是空的，并且此级火箭不收外力矩 A.1 （0.2

30、 分） 求出角速度 w 在 x, y 方向上的投影， 已知当对称轴 x, y 有单位矢量 ex , ey 时 L = Jxwxex + J ywyey 。答案用 L = L ，角度q 和转动惯量 Jx , Jy 表示。A.2 （0.4 分） 求出与wx 相关的转动能 Ex 和与wy 相关的转动能 Ey 。求出此级火箭的总转动动 E = Ex + Ey ，以角动量 L 和cosq 表示。 在 A 部分的以下问题中，考虑此级火箭初始角动量为 L 和q (0) = q0 的自由转动。A.3 （1.2 分） 我们将此级火箭初始对称轴Cx 在惯性系中表示为 x0 。利用守恒定律求出此级火对称轴Cx 在自

31、由转动中与 x0 的最大角度y 。 注意：鉴于没有外力矩作用，角动量矢量保持恒定。 现在让我们引入坐标系Cx1 y1z1 ，其中 y1 沿恒定角动量 L 的方向（如图）。这个坐标系以 这样的方式转动：使此级火箭的对称轴总是在Cx1 y1 平面内。 A.4 （2.0 分） 已知 L,q (0) = q0 ，转动惯量 Jx , Jy ，求出坐标系Cx1y1 关于 y1 的角速度W(t )，以及此级火箭相对于坐标系Cx1y1的角速度ws (t )的方向和绝对值随时间的函数关系，方向以 ws (t )相对于对称轴Cx 的夹角g s (t )表示。 Part B. 暂态过程（1.6 质子） 虽然大部分燃料在推进过程中被使用了，但在有效载荷从火箭分离之后，仍有部分燃料留在燃料罐中，剩余燃料的质量m 与此级火箭的质量M 相比可以忽略。液体燃料的晃动和燃料罐内的粘滞阻力导致能量损失，经过一个不规则的暂态动力学过程之后，能量达到其最小值。 B.1 （0.6 分） 求出 L 和q (0) = q1 (0,p / 2)为任意初始值，且暂态过程结束后角度q 的值q2 。 B.2 （0.6 分） 计算角速度w 在暂态过程之后的值w2 ，已知初始角速度w (0) = w1 =1rad/s ，与此 g (0) = g1 = 30， 转 动