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文档简介

1、最新资料推荐梯形蝴蝶定理如上图，在梯形中，存在以下关系：1.2.3.4.5.相似图形，面积比等于对应边长比的平方S1 ：S2=a 2/b2S1:S2:S3:S4= a 2:b2:ab:abS3=S4S1S2=S3 S4(由 S1/S3=S4/S2 推导出 )AO:BO=(S1+S3):(S2+S4)【例】 E 是平行四边形 ABCD 的 CD 边上的一点， BD 、AE 相交于点 F ，已知三角形 AFD 的面积是 6，三角形 DEF 的面积是 4，求四边形 BCEF 的面积为多少？【解】如图，由梯形蝴蝶定理可得 BEF 面积等于 6，而 ABF 的面积为 664=9 因为 BCD 面积等于

2、ABD ，所以 BCE 面积为 9+6-6-4=5因此所求四边形面积为5+6=11 。蝴蝶定理的证明：1最新资料推荐右上角为 A ，左下角为BS1 和 S2 的的三角形是相似的（AAA ） 所以面积比 =边长比的平方即a2： b2设梯形高为h ， S3+S2=1/2 bh=S4+S2。所以S3=S4设 S3+S1 的三角形的 AB 上的高为 h1，可知 S3:S1=OB:OA因为 S1 和 S2 的的三角形是相似，S3:S1=OB:OA=b： a所以 S1 S2 S3 S4= a2 b2 ab ab射影定理公式 : 如图， Rt ABC 中， ABC=90 ，BD 是斜边 AC 上的高，则有射

3、影定理 如下：（ 1） (BD)2=AD DC ， （2 ） (AB)2=AD AC ， （ 3 ） (BC)2=CD CA 。等积式 （ 4） AB BC=AC BD( 可用 “面积法 ”来证明）直角三角形 射影定理 的证明射影定理 简图 (几何画板 )：（主要是从三角形的 相似比 推算来的）证法一在 BAD 与 BCD 中， ABD+ CBD=90 ，且 CBD+ C=90， ABD= C，又 BDA= BDC=902最新资料推荐 BAD CBD AD/BD=BD/CD即 BD2=AD DC 。其余同理可得可证注：由上述 射影定理 还可以证明 勾股定理 。有射影定理 如下： AB2=AD AC ， BC2=CD CA两式相加得：AB2+BC2=ADAC+CD AC = （ AD+CD) AC=AC2 .即 AB2+BC2=AC2 （勾股定理 结论）。证法二已知 :三角形中角A=90 度， AD 是高 .用勾股证射影 AD2=AB2-BD2=AC2-CD2， 2AD2=AB+AC-BD-CD=BC-BD-CD=(BD+CD)-(BD+CD)=2BDCD.故 AD2=BDCD.运用此结论可得:AB=BD+AD=BD+BDCD=BD(BD+CD) =BDBC ，AC=C

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